专题拓展：抽象函数的性质及应用（技巧解密+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：抽象函数的性质及应用 一、抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性． 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 三、抽象函数周期性的常用结论（是不为0的常数） 1、若，则； 2、若，则； 3、若，则； 4、若，则； 5、若，则； 6、若，则（）； 四、抽象函数的对称性 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称. 考点一：抽象函数求值问题 例1．（22-23高一上·安徽滁州·月考）函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【变式1-3】（23-24高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 考点二：抽象函数的奇偶性问题 例2.（23-24高一上·浙江·期中）已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·河北·月考）（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【变式2-3】（23-24高一上·广东珠海·月考）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 考点三：抽象函数的单调性问题 例3.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性. 【变式3-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【变式3-2】（23-24高一上·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【变式3-3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 考点四：抽象函数周期性问题 例4.（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知是上的奇函数且，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．2023 【变式4-1】（23-24高一下·安徽淮北·月考）若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【变式4-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．10 C．11 D．1024 考点五：抽象函数的对称性问题 例5.（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．-3 D． 【变式5-1】（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【变式5-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）已知定义在R上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（    ）． A．是奇函数 B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D．的图象关于原点对称 考点六：解抽象函数不等式 例6. （23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·黑龙江双鸭山·月考）已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·河北沧州·月考）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【变式6-3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南大理·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．1 C．5 D． 2．（23-24高一下·广东高州·月考）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 3．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通淢后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 4．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（    ） A．0 B．-2 C．2 D．4 6．（23-24高一下·河北张家口·开学考）已知函数的定义域为，对于任意实数满足，且，则（    ） A．1011 B．2022 C．3033 D．4044 二、多选题 7．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 8．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（    ） A． B．关于对称 C． D．为减函数 三、填空题 9．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知定义域为的函数，对于任意的恒有，且，则 . 10．（23-24高一上·四川绵阳·期末）若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 11．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，当时，． (1)求的值； (2)证明：函数在上为单调减函数； (3)解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：抽象函数的性质及应用 一、抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性． 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 三、抽象函数周期性的常用结论（是不为0的常数） 1、若，则； 2、若，则； 3、若，则； 4、若，则； 5、若，则； 6、若，则（）； 四、抽象函数的对称性 1、轴对称： （1）函数关于直线对称 （2）函数关于直线对称. 2、中心对称： （1）函数关于点对称； （2）函数关于点对称 3、函数的奇偶性和对称性的关系： （1）若为奇函数，则关于对称； （2）若为偶函数，则关于对称； （3）若为奇函数，则关于对称； （4）若为偶函数，则关于对称. 考点一：抽象函数求值问题 例1．（22-23高一上·安徽滁州·月考）函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以令，得，得， 所以令，得，得.故选：C 【变式1-1】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，，可得， 当时，，可得， 函数是定义在上且不恒为零的函数， 令，可得，则函数是奇函数， 令，, 得，所以， 所以.故选：. 【变式1-2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】C 【解析】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以.故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ， 依次类推可得。故选：C 考点二：抽象函数的奇偶性问题 例2.（23-24高一上·浙江·期中）已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是上的奇函数，所以， 又函数， 令，即， 所以， 所以函数的图象恒过点.故选：D. 【变式2-1】（23-24高一上·河北·月考）（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为函数为奇函数，所以，A正确； 由为偶函数，得，即，B正确； 由为奇函数，得， 所以，即，C错误． 由上可知，则，则， 所以，D正确．故选：ABD 【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，；(2)奇函数，证明见解析； 【解析】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【变式2-3】（23-24高一上·广东珠海·月考）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1)；(2)为偶函数，证明见解析 【解析】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 考点三：抽象函数的单调性问题 例3.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性. 【答案】在定义域上单调递增 【解析】令，则，解得， 令，则， 所以，故在R上是奇函数. 任取，且，令，则， 因为在R上是奇函数，所以， 所以，因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在定义域上单调递增. 【变式3-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【答案】在上为减函数，证明见解析 【解析】任取，且， 因为，， 所以，故， 因为，所以，又因为当时，，所以， 所以，所以，即，所以在上为减函数. 【变式3-2】（23-24高一上·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）令，得，则， 而， 又，所以； （2）任取，且，， 当时，，， ，即 在上为减函数． 【变式3-3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）在等式中， 令，可得，解得； （2）因为，则， 任取，则， 由时，，可得， 则，即， 因此，函数在上是增函数． 考点四：抽象函数周期性问题 例4.（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知是上的奇函数且，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．2023 【答案】B 【解析】,则，则函数的周期， 则， 又函数为奇函数，所以，所以.故选：B. 【变式4-1】（23-24高一下·安徽淮北·月考）若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【解析】因为，所以，所以周期为6， 当时，，.故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【解析】因为，由， 令，则， 即，得， 两式相加得，则有，即， 则有，所以函数的一个周期为6， 令，则，得， 令，则，得， 又，得，， ，， 所以， 由周期性得.故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．10 C．11 D．1024 【答案】C 【解析】因为定义在上的函数，满足， 所以令，得，所以， 令，得， 因为，所以， 所以.故选：C 考点五：抽象函数的对称性问题 例5.（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．-3 D． 【答案】C 【解析】由函数的图象关于直线对称，可得， 再结合为奇函数，可得， 求得，故选：C. 【变式5-1】（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】由已知可得，. 因为是定义在R上的偶函数，所以，. 又的图象关于点对称，所以，.故选：B. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）已知定义在R上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（    ）． A．是奇函数 B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题得函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上， 所以， 对于A：函数的图像由函数的图像向右平移一个单位得到， 则函数的图像关于点对称，不能得到函数为奇函数，所以A选项错误； 对于B：由，令，则有，故B选项错误； 对于C：由，令，则有，故C选项正确； 对于D：由，令，则有，∴，故D选项正确． 故选：CD． 【变式5-3】（23-24高一上·江苏·月考）（多选）已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D．的图象关于原点对称 【答案】ABC 【解析】因为为偶函数，得，故的图象关于对称， 故，故A正确； 由得，，代入中， 得①，令，得，故B正确； 因为为偶函数，故， 故由得，， 则，故②， 联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确； 而，故的图象关于y轴对称，故D错误，故选：ABC． 考点六：解抽象函数不等式 例6. （23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数向右平移1个单位得到函数， 由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为， 因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数， 且，根据对称性可知，，在区间， 在区间，， 上图是满足函数性质的图象， 不等式，等价于或， 即或，得或， 所以不等式的解集为.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·黑龙江双鸭山·月考）已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，则，即， 故在上单调递减， ，解得， 从而，即， 则，解得 所以原不等式的解集是．故选：D. 【变式6-2】（23-24高二下·河北沧州·月考）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）令， 所以，故， 令，所以，所以. （2）令，因为，所以，故， 所以是偶函数， 由，，则， 又是偶函数，所以上式可转化为， 又在上单调递减， 所以上式可转化为，解得或. 故不等式的解集为. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南大理·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又因为是定义域为的奇函数，所以，且, 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故选：B. 2．（23-24高一下·广东高州·月考）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.故选：C 3．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通淢后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【解析】任取，令， 则， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增.故选：B. 4．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任取，从而, 因为，所以，所以，则在R上单调递增． 不等式等价于不等式，即． 因为在R上单调递增，所以，解得．故选：A. 5．（23-24高一上·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（    ） A．0 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【解析】令 ，则原式变为，即， 所以或者，当时，令得到， 所以，不满足题意舍去，所以， 令 ，可得，所以 令 ，可得，所以 所以故选：A. 6．（23-24高一下·河北张家口·开学考）已知函数的定义域为，对于任意实数满足，且，则（    ） A．1011 B．2022 C．3033 D．4044 【答案】C 【解析】函数的定义域为，对于任意实数满足， 取，得， 所以.故选：C 二、多选题 7．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】令，则，注意到不恒为，故，故A正确； 因为的图象关于点(2，0)对称，所以， 令，得， 故，故B错误； 令，得， 令，得，故， 从而，故, 令，得，化简得，故C正确； 令，得，而，故D正确.故选：ACD. 8．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（    ） A． B．关于对称 C． D．为减函数 【答案】ABC 【解析】由对于任意实数， 令，则，即,故A正确； 令，则，即，故B正确； 令，，则， 即，故C正确； 对于任意，则设，当时，， 则，即， 所以单调递增，故D错误．故选：ABC 三、填空题 9．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知定义域为的函数，对于任意的恒有，且，则 . 【答案】 【解析】由题意，令，，得， 又令，则， 又令可得， 所以令，可得， 令，可得. 故答案为：. 10．（23-24高一上·四川绵阳·期末）若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意令得，，解得， 令得，，即，所以是奇函数， 当时，，且即，即是减函数， 又， 所以或. 故答案为：. 11．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】令，则，故①正确； 由可得， 用换可得， 令，则满足，而， ，则不恒相等，故②错误； 由，用代替可得， 又由对任意实数成立知，所以，故③正确； 由③知，，所以， 用替换可得，， 所以，当且仅当时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 四、解答题 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为的定义域为， 所以有，即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得，即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ，解得，即不等式的解集为． 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，当时，． (1)求的值； (2)证明：函数在上为单调减函数； (3)解不等式． 【答案】(1)-1；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由题意知，令， 则，得； （2）当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上为单调减函数； （3）由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$