精品解析：陕西省安康市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级期末综合素养评估数学 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，15 D. 5，12，13 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线互相垂直且平分 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 4. 如图，某数学兴趣小组打算测量公园内两地之间的距离，但两地之间有一个水池，于是兴趣小组的同学们在处取点，连接，，测出，的中点之间的距离是，则两地之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 已知正比例函数（）向下平移个单位长度，其图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为，以为斜边向外作等腰直角，为正方形的对角线，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下： … … … … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数值随着的增大而增大 B. 函数图象不经过第四象限 C. 不等式的解集为 D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果二次根式有意义，那么实数x的取值范围是________． 10. 甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为，方差分别为，，则成绩比较稳定的是________同学．（填“甲”或“乙”） 11. 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是______． 12. 若一次函数，y随x的增大而减小，则k的值可以是______．（写出一个即可） 13. 如图，的对角线，相交于点O，M，N分别是，上的动点，且经过M，N的直线把分成面积相等的两部分．，E为的中点，连接，当线段最小时，的长为_______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算： 16. 已知，化简：． 17. 如图，在中，，请用尺规作图的方法，在的右侧找一点D，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，点，在对角线上，连接，．，．求证：四边形是平行四边形． 19. 2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 20. 南宫山国家森林公园位于岚皋县东北部岚河流域，是安康市热门旅游景点．小琪家在这里开了一家地方特产专卖店，售卖桂花香米，龙安茶，苦荞等产品．五一假期，小琪家上了葛根产品进行试销．通过几天的观察记录，小琪发现，每天的销量（件）是售价（元）的一次函数．若售价为每件元，每天的销量为件；若售价为每件元，每天的销量为件．请求出与之间的函数解析式． 21. 已知实数a，b，c满足．若以，，为边长，能否构成三角形？若能，请求出该三角形的面积；若不能，请说明理由． 22. 骑行，是心灵的洗涤，每一步都踏着自由与梦想．周末，小宇爸爸和小轩爸爸一起骑行．他们从永宁门出发，沿着相同的道路骑行去秦岭山脚下．小宇爸爸从永宁门先出发，小时后，小轩爸爸再出发，同时，小宇爸爸减慢骑行速度继续向前骑行．小宇爸爸和小轩爸爸各自与永宁门的距离（千米）与小宇爸爸出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． 请你根据图中信息，解答下列问题． （1）小轩爸爸骑行的速度为______千米/小时． （2）求小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式，并写出的取值范围． （3）当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要多长时间才能到秦岭山脚下？ 23. 青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在八（1）班和八（2）班各随机抽取了名同学参加． 比赛成绩（满分分）收集、整理如下： 八（1）班成绩：． 八（2）班成绩： 成绩/分 人数/人 比赛成绩分析： 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 八（2）班 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：______，______，______． （2）如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由． 24. 如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，且，求菱形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． （1）求直线l的解析式及点A，B的坐标． （2）M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 26. 【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末综合素养评估数学 注意事项： 1.满分120分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，15 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； B．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； C．， 不能构成三角形， 故选项不符合题意； D．，， ， 能构成直角三角形， 故选项符合题意； 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线互相垂直且平分 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误； B、正方形具有菱形和矩形的所有性质，即正方形的对角线互相垂直且平分，故选项正确； C、菱形的对角线平分一组对角，故选项错误； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； 故选：B． 4. 如图，某数学兴趣小组打算测量公园内两地之间的距离，但两地之间有一个水池，于是兴趣小组的同学们在处取点，连接，，测出，的中点之间的距离是，则两地之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 由分别是，的中点，得到是的中位线，由三角形的中位线定理即可求出两地之间的距离． 【详解】解：∵分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 同理可证：， ，即， 平行四边形是矩形． 6. 已知正比例函数（）向下平移个单位长度，其图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的平移求解析式，一次函数的性质． 根据“函数上加下减常数项”，得出平移后的函数解析式，再将代入新得的函数解析式，即可选出正确结果． 【详解】解：∵正比例函数（）向下平移个单位长度， ∴函数解析式为， ∵的图象经过点， ∴将点代入，可得， 解得：， 故选． 7. 如图，正方形的边长为，以为斜边向外作等腰直角，为正方形的对角线，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，交延长线于点，根据正方形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质和三角函数值的应用，可得是等腰直角三角形，和的长，最后由勾股定理可得的长． 【详解】如图，作，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数值的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下： … … … … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数值随着的增大而增大 B. 函数图象不经过第四象限 C. 不等式的解集为 D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，即可选出正确选项． 【详解】解：由表格可得一次函数经过点，， 将两点代入（）中，可得， 解得， 所以一次函数函数关系式为； A、由于，即函数值随着的增大而减小，故选项错误； B、由于，，故函数图象经过第四象限，故选项错误； C、将代入，解得，故根据，不等式的解集为解集为，故选项正确； D、由表格可得一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为，，即图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，故选项不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果二次根式有意义，那么实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据“二次根式中被开方数大于等于0”即可求解． 【详解】解：如果二次根式有意义，则， 解得． 故答案为：． 10. 甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为，方差分别为，，则成绩比较稳定的是________同学．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴成绩比较稳定的是：乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差，掌握方差的意义是进行比较的关键． 11. 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是______． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 12. 若一次函数，y随x的增大而减小，则k的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的增减性即可得． 【详解】一次函数，y随x的增大而减小 则k的值可以是 故答案为：．（答案不唯一，即可） 13. 如图，的对角线，相交于点O，M，N分别是，上的动点，且经过M，N的直线把分成面积相等的两部分．，E为的中点，连接，当线段最小时，的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角线性质，平行四边形的面积被经过对称中心的直线平分，直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握的平行四边形性质是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分得，根据经过M，N的直线把分成面积相等的两部分，得经过对称中心O点；当线段最小时，，结合E为的中点，得 【详解】四边形是平行四边形 E为的中点 经过M，N的直线把分成面积相等的两部分 经过对称中心O点 当线段最小时， 此时是直角三角形， E为的中点， 故答案为：2 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算、二次根式的性质及化简，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算． 根据二次根式的化简和加减运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 15. 计算： 【答案】10 【解析】 【分析】利用平方差公式直接计算，再求和即可． 【详解】原式 ===10． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解答本题的关键． 16. 已知，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的双重非负性，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据的取值范围和二次根式的双重非负性，化简式子，合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据二次根式的被开方数和开绝对值的结果必须大于等于零， ∴，， 故， 故答案为． 17. 如图，在中，，请用尺规作图的方法，在的右侧找一点D，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 分别以，为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，四边形即为所求． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，点，在对角线上，连接，．，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 解：， ， ， ，即， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质平行四边形的证明，证明，得，又根据，即可得出结论． 【详解】略 19. 2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 【答案】5米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人跑步x米与乐乐相遇，在中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：设机器人跑步x米与乐乐相遇，则米，米， ∵机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴机器人跑步5米与乐乐相遇． 20. 南宫山国家森林公园位于岚皋县东北部岚河流域，是安康市热门旅游景点．小琪家在这里开了一家地方特产专卖店，售卖桂花香米，龙安茶，苦荞等产品．五一假期，小琪家上了葛根产品进行试销．通过几天的观察记录，小琪发现，每天的销量（件）是售价（元）的一次函数．若售价为每件元，每天的销量为件；若售价为每件元，每天的销量为件．请求出与之间的函数解析式． 【答案】与之间的函数解析式为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质，设与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将，；，代入 得：， 解得：， 与之间的函数解析式为． 21. 已知实数a，b，c满足．若以，，为边长，能否构成三角形？若能，请求出该三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】能构成三角形，三角形面积为 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，能根据题意判断出三角形是直角三角形是解题的关键． 直接根据非负数的性质求出，，的值即可；根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：、、满足， ，，， ，，； 三边能构成三角形，理由如下： ，，， ，，， ， 、、为边能构成三角形，此三角形是直角三角形， 三角形的面积． 22. 骑行，是心灵的洗涤，每一步都踏着自由与梦想．周末，小宇爸爸和小轩爸爸一起骑行．他们从永宁门出发，沿着相同的道路骑行去秦岭山脚下．小宇爸爸从永宁门先出发，小时后，小轩爸爸再出发，同时，小宇爸爸减慢骑行速度继续向前骑行．小宇爸爸和小轩爸爸各自与永宁门的距离（千米）与小宇爸爸出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． 请你根据图中信息，解答下列问题． （1）小轩爸爸骑行的速度为______千米/小时． （2）求小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式，并写出的取值范围． （3）当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要多长时间才能到秦岭山脚下？ 【答案】（1） （2）， （3）小时 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由图象即可得出小轩爸爸骑行的速度． （2）利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数图象，即可出的取值范围． （3）利用待定系数法求出小轩爸爸骑行的函数解析式，将代入解析式，可得，故根据图象可得两人到达时间差小时，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可得小轩爸爸在开始骑行一小时内，骑行了千米， ∴小轩爸爸骑行的速度为千米/小时， 故答案为：． 【小问2详解】 设小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式为， 由图象可得其经过，， 将其代入中，可得， 解得， 故函数解析式为，的取值范围是． 【小问3详解】 设小轩爸爸小时出发时，与永宁门的距离与之间的函数解析式为， 由图象可得其经过，， 将其代入中，可得， 解得， 故函数解析式为， 将代入上式，可得， 解得， 由图像可得小宇爸爸小时到达秦岭山脚下，而小轩爸爸小时到达秦岭山脚下， 故两人到达时间差（小时）， ∴当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要小时才能到秦岭山脚下． 23. 青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在八（1）班和八（2）班各随机抽取了名同学参加． 比赛成绩（满分分）收集、整理如下： 八（1）班成绩：． 八（2）班成绩： 成绩/分 人数/人 比赛成绩分析： 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 八（2）班 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：______，______，______． （2）如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由． 【答案】（1），， （2） 八（1）班歌唱水平比较好，因为八（1）班成绩的平均数和中位数均高于八（2）班，众数两班相等，综合来说，八（1）班歌唱水平比较好． 【解析】 【分析】本题考查数据分析，熟练掌握平均数，中位数和众数的计算方法，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的求解方法，进行求解即可． （2）比较两组数据即可得出结论． 【小问1详解】 解：八（1）班成绩的平均数为， 由八（2）班成绩表格可知，第个数据是，第个数据都是； ∴八（2）班中位数为； ∵由八（2）班成绩表格可知，数据出现了次，出现的次数最多， ∴八（2）班众数为； 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 24. 如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，且，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵是中的中线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）通过，，得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得，即可证明四边形是菱形． （2）根据，，得，而 ，用勾股定理可得，代入数值求解可得，故，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故在中，用勾股定理可得， 代入数值为， 化简得， ∴， ∴菱形的面积为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． （1）求直线l的解析式及点A，B的坐标． （2）M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】（1），， （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 26. 【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）元 【解析】 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，， ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $