专题06 弧 弦 圆心角（9大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题06 弧 弦 圆心角 目录 【题型一 圆心角 弧 弦的概念辨析】 1 【题型二 利用圆心角 弧 弦的关系求角度】 2 【题型三 利用圆心角 弧 弦的关系求线段长度】 3 【题型四 利用圆心角 弧 弦的关系求周长】 4 【题型五 利用圆心角 弧 弦的关系求面积】 4 【题型六 利用圆心角 弧 弦的关系求弧的度数】 5 【题型七 利用圆心角 弧 弦的关系求比较大小】 6 【题型八 利用圆心角 弧 弦的关系进行证明】 7 【题型九 利用圆心角 弧 弦的关系求最值】 8 【题型一 圆心角 弧 弦的概念辨析】 例题：（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（22-23九年级上·北京·单元测试）下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型二 利用圆心角 弧 弦的关系求角度】 例题：（2024·陕西西安·一模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 2．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 【题型三 利用圆心角 弧 弦的关系求线段长度】 例题：（2023·陕西渭南·二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练】 1.（2023·陕西渭南·二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．    【题型四 利用圆心角 弧 弦的关系求周长】 例题：（21-22九年级上·陕西西安·期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 【变式训练】 1．（2021·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    【题型五 利用圆心角 弧 弦的关系求面积】 例题：如图，AB是半圆的直径，AB＝2，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（    ） A．π B．π C．π D．π 【变式训练】 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【题型六 利用圆心角 弧 弦的关系求弧的度数】 例题：（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【题型七 利用圆心角 弧 弦的关系求比较大小】 例题：（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【变式训练】 1．（21-22九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 2．（21-22九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）． 【题型八 利用圆心角 弧 弦的关系进行证明】 例题：（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，，比较与的长度，并证明你的结论． 2．在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F （I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小； （Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．      【题型九 利用圆心角 弧 弦的关系求最值】 例题：（22-23九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 一、单选题 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南岳阳·一模）下列说法中正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．检查某种灯的使用寿命用全面调查 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 4．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 7．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 8．（2023·黑龙江·一模）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 9．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 10．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若．，求的直径． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 13．（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 14．（20-21九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D． (1)若，则弧的度数为______． (2)若，，求的长． 15．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，若，且，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 弧 弦 圆心角 目录 【题型一 圆心角 弧 弦的概念辨析】 1 【题型二 利用圆心角 弧 弦的关系求角度】 3 【题型三 利用圆心角 弧 弦的关系求线段长度】 6 【题型四 利用圆心角 弧 弦的关系求周长】 9 【题型五 利用圆心角 弧 弦的关系求面积】 12 【题型六 利用圆心角 弧 弦的关系求弧的度数】 15 【题型七 利用圆心角 弧 弦的关系求比较大小】 17 【题型八 利用圆心角 弧 弦的关系进行证明】 20 【题型九 利用圆心角 弧 弦的关系求最值】 23 【题型一 圆心角 弧 弦的概念辨析】 例题：（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·北京·单元测试）下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线性质、圆心角概念、等腰三角形性质，连接，根据平行线性质得到，利用等腰三角形性质得到，再次利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：连接， 弦直径， ， ， ， ， ． 则所对的圆心角的度数为． 故选：A． 【题型二 利用圆心角 弧 弦的关系求角度】 例题：（2024·陕西西安·一模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出． 【详解】解：连接，   是直径， ， ， ， 是的中点， ． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆心角的度数是 ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【题型三 利用圆心角 弧 弦的关系求线段长度】 例题：（2023·陕西渭南·二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点B是的中点，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【变式训练】 1.（2023·陕西渭南·二模）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点B是的中点，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D．    【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长． 【详解】解：连接，    ∵ ，是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 【题型四 利用圆心角 弧 弦的关系求周长】 例题：（21-22九年级上·陕西西安·期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 【答案】B 【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果． 【详解】解：如图,连接OD、OC． ， ∠AOD=∠DOC=∠COB，； ∠AOD+∠DOC+∠COB=180°， ∠AOD=∠DOC=∠COB=60°； OA=OD， △AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm， AD=OD=OA=2cm； ， AD=CD=BC=OA=2cm； 四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm; 故选：B． 【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等． 【变式训练】 1．（2021·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接AB、OA、OD，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角△AOD中，设OA=OD=R， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴圆的周长为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．    【答案】12 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：连接，    ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长等于为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 【题型五 利用圆心角 弧 弦的关系求面积】 例题：如图，AB是半圆的直径，AB＝2，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（    ） A．π B．π C．π D．π 【答案】D 【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可． 【详解】解：连接OC、OD． ∵△COD和△CDA等底等高， ∴S△COD=S△ACD． ∵点C，D为半圆的三等分点，AB=2， ∴∠COD=180°÷3=60°，OA=1， ∴阴影部分的面积=S扇形COD= 故选：D． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法，圆心角，弧的关系，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则，， 的面积， 阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】 本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 【题型六 利用圆心角 弧 弦的关系求弧的度数】 例题：（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧的度数求解，求出弧所对的圆心角度数是解题的关键，连接，根据结合即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故劣弧的度数为， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接，    ∵， ∴，，，皆为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则度数为． 故选：B． 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 【题型七 利用圆心角 弧 弦的关系求比较大小】 例题：（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：如图， 在圆上截取， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系知，， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】连接AB，BC，根据得，再根据三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接AB，BC，如图， ∵ ∴ 又 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键． 2．（21-22九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】= 【分析】过点作于点，交于点，根据 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， AD⊥OC， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键． 【题型八 利用圆心角 弧 弦的关系进行证明】 例题：（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：连接，作于点， ∵弧的度数为，弧的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是弦，弦的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，，比较与的长度，并证明你的结论． 【答案】＝，见解析． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AD=BC解得＝，继而得到＝． 【详解】解：＝， 证明如下： ∵AD＝BC， ∴＝， ∴＋＝＋， 即＝． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 2．在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F （I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小； （Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．      【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6. 【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案; （2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案. 【详解】解:(1)如解图①,连接OD, ∵BC切⊙O于点D, ∴∠ODB=90°, ∵∠C=90°, ∴AC∥OD, ∴∠CAD=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°, ∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°, ∵∠ODB=90°, ∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°; (2)如解图②,连接OF,OD, ∵AC∥OD, ∴∠OFA=∠FOD, ∵点F为弧AD的中点, ∴∠AOF=∠FOD, ∴∠OFA=∠AOF, ∴AF=OA, ∵OA=OF, ∴△AOF为等边三角形, ∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°, ∴∠B=30°, ∵在Rt△ODB中,OD=2, ∴OB=4, ∴AB=AO＋OB=2＋4=6. 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键. 【题型九 利用圆心角 弧 弦的关系求最值】 例题：（22-23九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，的长度为的最小长度，连接，过点作，则，垂直平分，根据即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，的长度为的最小长度， ， ， 是的中点， ， ， 连接，过点作， 则，垂直平分， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值问题，垂径定理，得出的长度为的最小长度是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点， 此时，点为的最小值时的位置， 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径．则． 故答案为：16． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，    根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【详解】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， 所对的圆心角的度数为 故选：D 3．（2024·湖南岳阳·一模）下列说法中正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．检查某种灯的使用寿命用全面调查 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查的是圆相关知识点，平行线的性质，统计调查，事件发生的可能性大小等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆相关知识点，平行线的性质，统计调查，事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故该项不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该项不符合题意； C、检查某种灯的使用寿命用抽样调查，故该项不正确，不符合题意； D、“掷一次股子，向上一面的点数是6”是随机事件，故该项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接， 则，； ∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得：， 即的最小值为； 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断、选项，根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断选项，可利用垂径定理及全等三角形的性质判断；要判断选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意在中，，，， ∴根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”可得：，，， ∴、、正确，错误， 故选：． 二、填空题 6．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 7．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023·黑龙江·一模）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 9．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【答案】3 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 图中与相等的线段有条， 故答案为：． 10．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长线上时， ∵， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若．，求的直径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆中弧、弦的关系、勾股定理等知识点． 连接，根据垂径定理可得，；结合点D是的中点，可推出，；设，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴ ∴， ∴， ∴ 设， ∵， ∴ ∴， ∴的直径． 故答案为： 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即C为的中点． 13．（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 14．（20-21九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D． (1)若，则弧的度数为______． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出可求解． （2）作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题． 【详解】（1）解：连接． ，， ， ， ， ， 弧的度数为， （2）如图，作于． 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，若，且，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，根据，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$