专题05 垂径定理及推论（9大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题05 垂径定理及推论 目录 【题型一 由垂径定理及其推论判断正误】 1 【题型二 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 2 【题型三 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 3 【题型四 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 4 【题型五 利用垂径定理求平行弦问题】 5 【题型六 利用垂径定理求同心圆问题】 5 【题型七 垂径定理的实际应用】 6 【题型八 垂径定理在格点中的应用】 7 【题型九 利用垂径定理求最值或取值范围】 8 【题型一 由垂径定理及其推论判断正误】 例题：如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【题型二 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 例题：如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．4 C．8 D．6 2．如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【题型三 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 例题：如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【变式训练】 1.如图，是的直径，弦与相交于点E，． (1)写出图中一对你认为全等的三角形 ； (2)求证：； (3)若的半径为4，，求的长． 【题型四 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 例题：如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，点、，半径为的经过、，则点坐标为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，且点A、B、C的坐标分别为、、． (1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)的直径为______； (3)点在______；（填内、外、上）； (4)点O到上的点最远的距离为______． 【题型五 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式训练】 1．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 2．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【题型六 利用垂径定理求同心圆问题】 例题：如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式训练】 1．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【题型七 垂径定理的实际应用】 例题：数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 【题型八 垂径定理在格点中的应用】 例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．    2．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【题型九 利用垂径定理求最值或取值范围】 例题：如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练】 1．如图，点B是圆内一个定点，且点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，则经过点B的弦的长度取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，的直径为10，弦的长为8，M是弦上的动点，则的长的取值范围为 ． 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 2．（2024·广西梧州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024·陕西西安·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 二、填空题 6．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径 ． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    9．（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 10．（2024·甘肃武威·二模）如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 三、解答题 11．（2023·四川广安·一模）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．    (1)求所在圆的半径； (2)若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，． (1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，若，求的半径．    14．（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 15．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 垂径定理及推论 目录 【题型一 由垂径定理及其推论判断正误】 1 【题型二 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 3 【题型三 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 5 【题型四 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 8 【题型五 利用垂径定理求平行弦问题】 12 【题型六 利用垂径定理求同心圆问题】 15 【题型七 垂径定理的实际应用】 17 【题型八 垂径定理在格点中的应用】 20 【题型九 利用垂径定理求最值或取值范围】 23 【题型一 由垂径定理及其推论判断正误】 例题：如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出． 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 2．如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”． 【详解】解：A．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故A不符合题意； B．根据无法判断，故B符合题意； C．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故C不符合题意； D．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 【题型二 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 例题：如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据垂径定理得到，利用勾股定理求得，即可得到的值，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 【详解】解：弦，，直径， ，， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【题型三 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 例题：如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【答案】(1)4 (2)见详解 【分析】（1）由于垂径定理，得，结合三角形的外角性质，得，即可通过证明，则，即可作答． （2）结合半径相等，得点O在的垂直平分线上，由（1）知，则，得到，点H在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：    ∵B为弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 连接，交于一点，如图所示：    ∵ ∴，点O在的垂直平分线上 由（1）知， ∴ ∴，点H在的垂直平分线上 ∴所在的直线是的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练】 1.如图，是的直径，弦与相交于点E，． (1)写出图中一对你认为全等的三角形 ； (2)求证：； (3)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键． （1）由得，再证明，从而证明出； （2）由垂径定理可得结论； （3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵， ， ． （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 【题型四 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 例题：如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图，线段的垂直平分线即， 线段的垂直平分线的交点即为弧的圆心． 即圆心的坐标是， 故选：B． 【变式训练】 1．如图，点、，半径为的经过、，则点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A作于B，连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过A作于B，连接， ∵过圆心A， ∴， ∵半径为5的与y轴相交于、， ∴，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，且点A、B、C的坐标分别为、、． (1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)的直径为______； (3)点在______；（填内、外、上）； (4)点O到上的点最远的距离为______． 【答案】(1) (2) (3)上 (4) 【分析】本题考查了圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，点与圆上点的距离最值． (1)根据、，得到圆心一定在线段的垂直平分线上，根据同圆的半径相等，确定位置即可． (2)根据(1)得的半径为，直径是半径的2倍，计算即可． (3)根据，，计算，与的半径为，比较，解答即可． (4)根据直径最大，连接，并延长交于点Q，此时最大，，解答即可． 【详解】（1）∵、， ∴圆心一定在线段的垂直平分线上， ∵同圆的半径相等，且, ∴， 故答案为：． （2）根据(1)得的半径为，直径是半径的2倍， ∴的直径为， 故答案为：． （3）∵，， ∴， ∵的半径为， ∴点在上， 故答案为：上． （4）∵直径最大， ∴连接，并延长交于点Q，此时最大， ∴， 故答案为：． 【题型五 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式训练】 1．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 2．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【题型六 利用垂径定理求同心圆问题】 例题：如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【变式训练】 1．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【题型七 垂径定理的实际应用】 例题：数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 【变式训练】 1．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 【答案】A 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则， ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得：， ∴（寸）． 故选：A． 【题型八 垂径定理在格点中的应用】 例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 连接，作出的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点A的坐标为， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：C． 【变式训练】 1．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．    【答案】 【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点A坐标得出原点位置即可得出答案．本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键． 【详解】解：如图：分别作与的垂直平分线，相交于点O，    则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为，∴点O的坐标为． 2．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）如图，点即为所求．      【题型九 利用垂径定理求最值或取值范围】 例题：如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当时，最小，即最小，进而可得是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直于 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∴是等腰直角三角形， 设， 则， ∵， 在中， 即 解得：（负值舍去） 故选：B． 【变式训练】 1．如图，点B是圆内一个定点，且点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，则经过点B的弦的长度取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．当经过O、B时，线段的长度最长，当时，线段的长度最短，分别求解即可． 【详解】解：∵点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8， ∴经过点B的弦最大时，是圆的直径，此时的最大值为， 当时，线段的长度最短， 如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴． 故选：D． 2．如图，的直径为10，弦的长为8，M是弦上的动点，则的长的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、以及垂线段最短，过点作于点，连接，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，根据垂线段最短可知，当运动到点时，取得最小值，当运动到点或点时，取得最大值，即可解题． 【详解】解：过点作于点，连接， 的直径为10， , 弦的长为8， , , M是弦上的动点，根据垂线段最短可知，当运动到点时，取得最小值，当运动到点或点时，取得最大值， 的长的取值范围为， 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 2．（2024·广西梧州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握求解的方法是解题的关键． 过点向下作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据计算，利用勾股定理计算，最后根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点向下作于点，交于点，连接， ∴，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C 4．（2024·陕西西安·二模）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接由垂径定理得设，则，然后在中，由勾股定理求出的长即可， 【详解】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作于点N，延长交于点M，连接，如图所示∶ 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴ 在中，由勾股定理得∶ ， 即∶’， 解得∶ 即截面的半径长是． 故选∶C． 5．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【详解】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 二、填空题 6．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．再利用网格与勾股定理求解即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，连接， ， 故答案为：． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【答案】12.5 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点， ∴垂直平分，则圆心在上，则分米， 连接， 设半径分米，分米， 在中，，即：， 解得：， 即：半径为12.5分米， 故答案为：12.5． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为 ．    【答案】10 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故答案为：10． 9．（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积． 【详解】 为的中位线 又 ，点是中点 即为中点 是的中位线 是直径 的面积 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 10．（2024·甘肃武威·二模）如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ∵为的直径， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 三、解答题 11．（2023·四川广安·一模）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．    (1)求所在圆的半径； (2)若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理： （1）根据垂径定理得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； （2）根据（1）即可得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为O，连接，， 是的中点，，即为圆的半径， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 故所在圆的半径为； （2）解：如图，连接，设与交于点G，则， 在中，，， ， ， 故此时水面的宽度为．    12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，． (1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征． （1）过点作轴于点，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， 当时，，解得， ， ， ， 在中，， 点到轴的距离为； （2）连结，，如图， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，若，求的半径．    【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，过点分别作于点于点，由矩形的判定及性质得到，再根据垂径定理，得为的中点，为的中点，连接，在中，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：过点分别作于点于点，连接，如图所示：     由垂径定理，得为的中点，为的中点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ∴在中，由勾股定理可得． 14．（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质： （1）作于点E，交于点F，连接运用证明，可得出结论； （2）设的半径为，在中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， 又， ∴， 在中，， 即：， 解得，， ∴. 15．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理： （1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． （2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出 【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． 理由：连接， ∵， ∴ 又， ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分， 由垂径定理：点P是的中点， ∴平分． （2）解：过点O作，垂足为H， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵ ∴， ∴ 又 ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$