精品解析：河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期期末适应性考试数学试题

南阳地区2024年春季高二期末适应性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列满足，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推式结合求出的值，从而可出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以， ， 所以. 故选：A 2. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数公式求导后代入计算即可得. 【详解】，当时，有， 故该物体在秒时的瞬时速度为米/秒. 故选：D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 令，得， 则有，即的系数为. 故选：B. 4. 若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表示出，然后由且可求出公差取值范围. 【详解】由，得，得， 因为是正项无穷的等差数列， 所以，所以，得， 即的公差的取值范围是. 故选：D 5. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 6. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线斜率为的切线方程可得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与的图象有两个不同的交点． 故选：A. 7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.525 C. 0.575 D. 0.595 【答案】C 【解析】 【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列，最后代入计算即可. 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，依题可知，， 则， 即， 设，解得，则， 又，则，所以是首项为，公比为的等比数列， 即，． 则第次投篮的人是甲的概率为. 当时， 故选：C. 8. 设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据可分数列的定义即可验证结论 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故②正确；对于③，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确；所以真命题有个. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛.统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由正态分布的对称性计算可得A，由概率乘法公式计算可得B，由二项分布的期望与方差公式计算可得C、D. 【详解】对A：由题意可得，则， 即，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：由题意可得，则，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】A.当时，，得或（舍）， 此时为常数列，故A正确； B.，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确； C.若，，所以，故C错误； D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有极小值，则 B. 若在上单调递增，则 C. 对任意的存在唯一零点 D. 若恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，对函数求导后，当时求函数的极值判断，对于B，由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值即可，对于C，由，得，构造函数，利用导数判断其单调性进行分析判断，对于D，由，得，令，利用导数判断其在上单调递增，则有，再转化为，再构造函数利用导数求出其最小值即可. 【详解】对于A，， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，故A错误． 对于B，若在上单调递增，则在上恒成立， 所以，即． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故B正确． 对于C，令，则． 令，则，所以在上单调递增． 因为，且当时，，当时，， 所以与曲线只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确． 对于D，由，得， 即．令，则． ，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增． 因为，所以，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查函数的极值问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，再利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在直线的上方，则当曲线上的动点到直线的距离最短时，点的坐标为________________ 【答案】 【解析】 【分析】作曲线与直线平行的切线，可得该切线切点到直线的距离最短，计算该切点坐标即可得. 【详解】曲线与直线平行的切线切点到直线距离最短， 令，则，令， 即，解得或（舍），， 即切点坐标为. 故答案为：. 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示， 易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 14. 设的个位数为，则数列的前100项和为________________，从数列的前100项中任选2项，则这2项中至少有1项是质数的概率为________________. 【答案】 ①. 500 ②. 【解析】 【分析】先求出为周期为4的数列，从而得到前100项和，再根据前100项中有25个7,25个9,25个3,25个1，结合组合知识求出概率. 【详解】，……，可以发现为周期为4的数列， 则数列的前100项和； 的前100项中有25个7，25个9，25个3，25个1， 由于1既不是质数，也不是合数，3,7为质数，9为合数， 任选2项，共种情况， 其中这2项中至少有1项是质数的情况为， 故这2项中至少有1项是质数的概率为 故答案为：500， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，已知，，，，. （1）证明：为直角三角形. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出对应空间向量后计算向量数量积即可得； （2）借助空间向量求出平面的法向量后借助夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 由题可得，， 则，故， 故为直角三角形； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则有，，即， 则有， 则直线与平面所成角正弦值为. 16. 某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． （1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； （2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）先计算分析“有效促销”和“过度促销”品牌个数，然后根据排列组合知识列出基本事件总数以及所求问题的事件数，计算比值即可； （2）由（1）可知“有效促销”的品牌数，得出随机变量的取值，再求相应的概率即可求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据题意计算得，7个品牌中“有效促销”的品牌是1，2，3号品牌，共有3个，“过度促销”的品牌是6，7号品牌，共有2个． 设“取出的4个品牌中‘有效促销’ 的个数比‘过度促销’的个数多”为事件， 则． 【小问2详解】 由（1）知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，所以的可能取值是0，1，2，3， 因为，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 已知数列满足且. （1）求的通项公式. （2）设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，为定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造数列，结合等差数列定义计算即可得； （2）①借助错位相减法计算即可得；②构造数列，结合数列单调性可得当时，，即可得为定值. 【小问1详解】 由，则，即， 则数列是以为公差的等差数列，又， 故，即； 【小问2详解】 ①由，则， ， 则 ， 故； ②令，则， 则， 故数列为单调递减数列，又， 故当时，，故， 即当时，恒成立，即为定值. 18. 已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. （1）求双曲线的方程； （2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； （2）讨论直线斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. 【小问1详解】 设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键. 19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． （1）若是“反转函数”，求取值范围． （2）①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 【答案】（1） （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“反转函数”的定义，分和两种情况讨论即可求出的取值范围； （2）①根据“反转函数”的定义证明，令，求导后可得在上递减，然后分和两种情况证明即可；②由①可得，当时，，令，则化简变形可得，然后累加可得结论. 【小问1详解】 当时，由，得， 所以，所，即， 所以，得， 因为在上递减，所以， 所以， 当时，由，得， 所以，所以，得， 所以， 因为在上递增，所以， 所以， 综上，，即的取值范围为； 【小问2详解】 ①证明：令，则 ， 所以在上递减， 所以当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 所以为“反转函数”； ②证明：由①知，当时，，即， 所以， 所以对任意时，， 所以， 整理得. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合，考查函数的新定义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是根据为反转函数可得当时，，然后令化简变形，考查计算能力和数学转化思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南阳地区2024年春季高二期末适应性考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列满足，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 6. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.525 C. 0.575 D. 0.595 8. 设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛.统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为 B. C. D. 10. 已知数列满足，且，则下列说法正确是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有极小值，则 B. 若在上单调递增，则 C. 对任意存在唯一零点 D. 若恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在直线的上方，则当曲线上的动点到直线的距离最短时，点的坐标为________________ 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 14. 设的个位数为，则数列的前100项和为________________，从数列的前100项中任选2项，则这2项中至少有1项是质数的概率为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，已知，，，，. （1）证明：为直角三角形. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． （1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； （2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 17. 已知数列满足且. （1）求的通项公式. （2）设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，定值. 18. 已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. （1）求双曲线的方程； （2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． （1）若是“反转函数”，求的取值范围． （2）①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$