第06讲 坐标法、直线的倾斜角与斜率（8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第06讲 坐标法、直线的倾斜角与斜率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平面直角坐标系中的基本公式，结合具体图形，体会坐标法及应用. 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念、直线的方向向量与法向量，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的方向向量、法向量. 知识点 1 平面直角坐标系中的基本公式 1.数轴上的两点间距离公式：已知两点A(x1)，B(x2)，|AB|＝|x1-x2| 2.数轴上的中点坐标公式：已知两点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点M(x)坐标（）. 3.平面直角坐标系内两点间的距离公式： 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离为|AB|＝. 4.平面直角坐标系内的中点坐标公式： 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x,y)坐标为， 知识点2 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化成代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法. 总结：（1）建立适当的平面直角坐标系； （2） 确定点的坐标； （3） 将几何条件用代数式子（方程）表示出来； （4） 化简代数式（解方程）； （5） 做出结论. 知识点3 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为α，称α为这条直线的倾斜角. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)). 2．直线的斜率 (1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率． (2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 点拨：三个不同的点共线的充要条件，从倾斜角考虑，是任意两点确定的直线的倾斜角都相等；从斜率考虑，是任意两点确定的直线的斜率，要么都不存在，要么都相等. 知识点4 直线的方向向量 1.定义：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量.记作a//l 2.直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量. 知识点5 直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量.记作v⊥l. 点拨：一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地，当x0,y0不全为0时，向量（x0,y0）与（y0，-x0）互相垂直，其中一个是直线的方向向量，另一个时直线的法向量. 考点一：坐标系中基本公式的应用 例1.（23-24高二上·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【答案】 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解. 【详解】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式1-1】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案. 【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 【变式1-3】（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 考点二：坐标法及其应用 例2.（22-23高二·全国·课堂例题）已知是一个长方形，.判断线段上是否存在点P，使得.如果存在，指出满足条件的P有多少个；如果不存在，说明理由. 【答案】存在，两个 【分析】建系标点，根据等价于，结合向量的坐标运算求解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设是线段上一点，则， 可得，    因为的充要条件是，即， 等价于，解得或， 所以满足条件的P点存在，而且有两个. 【变式2-1】（2020·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据数形结合分析可知，根据的位置关系求的最大值. 【详解】取的中点，连接， ，， , 由图象可知， 当三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A. 【变式2-2】（21-22高二·全国·课后作业）已知，在y轴上的点P满足，求P的坐标． 【答案】 或 【分析】设出点P坐标，根据列出方程，解方程可得答案. 【详解】由题意可设点P坐标为 ， 由得： , 即 ， 解得 或 ， 故P的坐标 为 或. 【变式2-3】（19-20高二·全国·课后作业）如图，在中，，P为三角形内一点，且.求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】如图，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，设.利用面积相等可得P的坐标为.再代入两点间的距离公式，即可证明结论； 【详解】如图，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，设. 因为，所以， 即，所以. ，即，所以. 所以符合条件的点P的坐标为. 此时，， ， ， 所以， 故结论成立. 考点三：直线的倾斜角问题 例3.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【分析】根据给定图形，结合倾斜角的定义求解. 【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 【变式3-1】（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角的定义判断. 【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 【变式3-3】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可. 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 考点四：直线的斜率问题 例4.（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 【答案】 【分析】当直线垂直轴时设为，此时直线不存在斜率，可分“从PN位置转到位置、当从位置转到PM位置”两种情况分开讨论. 【详解】如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线． 当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到，而，所以． 又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于， 由正切函数的性质知，，所以． 综上所述，． 故答案是：. 【变式4-1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】， ， 故， 则， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用斜率公式，分别求得线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，点，直线过点， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 如图所示，要使得直线与线段有交点， 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 考点五：直线的倾斜角与斜率的关系 例5.（23-24高二上·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 【变式5-1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【变式5-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 考点六：根据直线的倾斜角、斜率求参数 例6.（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 【变式6-1】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据确定直线斜率存在，再根据三点共线可得斜率相等，即可得实数的值. 【详解】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【详解】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 【变式6-3】（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 考点七：斜率公式的应用 例7.（23-24高二上·全国·课后作业）求证：顺次连接，，，四点所得的四边形是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】利用斜率与直线的位置关系证明. 【详解】由题可得， 所以， 又因为 所以四边形有且仅有一组对边平行，即为梯形. 【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【变式7-2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【答案】 【分析】由斜率公式建立方程求解即可. 【详解】由直线过点，， 得直线的斜率， 又直线过点和， 得直线的斜率， 因为两条直线的斜率相等， 所以，解得. 故答案为：. 【变式7-3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 【答案】A，B，C共线，A，B，D不共线． 【分析】若三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式求解判断即可. 【详解】因为， 所以，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 考点八：直线的方向向量、法向量问题 例8.（19-20高二·全国·课后作业）已知直线的斜率为10，则直线的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜率可得其的一个方向向量，从而可逐项验证可得结果 【详解】解：由题意知，直线的一个方向向量为， 所以直线的法向量可以是或． 故选：A． 【变式8-1】（2022·上海闵行·一模）若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积为确定正确选项. 【详解】，A错误. ，B错误. ，C正确. ，D错误. 故选：C 【变式8-2】（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为. 故选：B 【变式8-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 1．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的倾斜角为， 则l的斜率为， 故选：C 2.（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标. 【详解】因为点M在第四象限， 所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为(4，-6) . 故选：A 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】解：因为直线经过， 所以经过该两点的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：D 4．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解. 【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：C. 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D 7.（2023高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 8．（多选）（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 9．（23-24高二上·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 10．（22-23高二·全国·课堂例题）已知是的三个顶点，求这个三角形边上中线的长. 【答案】 【分析】求出的中点坐标，即可得出这个三角形边上中线的长. 【详解】由题意， 在中， 设的中点为，则 ， 从而可知所求中线长为 .    ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 坐标法、直线的倾斜角与斜率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平面直角坐标系中的基本公式，结合具体图形，体会坐标法及应用. 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念、直线的方向向量与法向量，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的方向向量、法向量. 知识点 1 平面直角坐标系中的基本公式 1.数轴上的两点间距离公式：已知两点A(x1)，B(x2)，|AB|＝|x1-x2| 2.数轴上的中点坐标公式：已知两点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点M(x)坐标（）. 3.平面直角坐标系内两点间的距离公式： 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离为|AB|＝. 4.平面直角坐标系内的中点坐标公式： 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x,y)坐标为， 知识点2 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化成代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法. 总结：（1）建立适当的平面直角坐标系； （2） 确定点的坐标； （3） 将几何条件用代数式子（方程）表示出来； （4） 化简代数式（解方程）； （5） 做出结论. 知识点3 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为α，称α为这条直线的倾斜角. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)). 2．直线的斜率 (1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率． (2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 点拨：三个不同的点共线的充要条件，从倾斜角考虑，是任意两点确定的直线的倾斜角都相等；从斜率考虑，是任意两点确定的直线的斜率，要么都不存在，要么都相等. 知识点4 直线的方向向量 1.定义：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量.记作a//l 2.直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量. 知识点5 直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量.记作v⊥l. 点拨：一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地，当x0,y0不全为0时，向量（x0,y0）与（y0，-x0）互相垂直，其中一个是直线的方向向量，另一个时直线的法向量. 考点一：坐标系中基本公式的应用 例1.（23-24高二上·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【变式1-1】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 考点二：坐标法及其应用 例2.（22-23高二·全国·课堂例题）已知是一个长方形，.判断线段上是否存在点P，使得.如果存在，指出满足条件的P有多少个；如果不存在，说明理由. 【变式2-1】（2020·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-2】（21-22高二·全国·课后作业）已知，在y轴上的点P满足，求P的坐标． 【变式2-3】（19-20高二·全国·课后作业）如图，在中，，P为三角形内一点，且.求证：. 考点三：直线的倾斜角问题 例3.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【变式3-1】（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 考点四：直线的斜率问题 例4.（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 【变式4-1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【变式4-3】（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 考点五：直线的倾斜角与斜率的关系 例5.（23-24高二上·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【变式5-1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 考点六：根据直线的倾斜角、斜率求参数 例6.（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【变式6-1】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【变式6-2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【变式6-3】（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 考点七：斜率公式的应用 例7.（23-24高二上·全国·课后作业）求证：顺次连接，，，四点所得的四边形是梯形． 【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【变式7-2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【变式7-3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 考点八：直线的方向向量、法向量问题 例8.（19-20高二·全国·课后作业）已知直线的斜率为10，则直线的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2022·上海闵行·一模）若直线l的一个方向向量为，则l的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 2.（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7.（2023高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 9．（23-24高二上·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 10．（22-23高二·全国·课堂例题）已知是的三个顶点，求这个三角形边上中线的长. 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