专题09 平面向量及其应用（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题09 平面向量及其应用 【考点1 平面向量的概念辨析】 【考点2 平面向量的线性运算】 【考点3 向量共线及其应用】 【考点4 基底的概念及判断】 【考点5 用已知基底表示向量】 【考点6向量运算的坐标表示】 【考点7 平面向量数量积的运算】 【考点8 平面向量的垂直问题】 【考点9 平面向量模的有关问题】 【考点10 平面向量的夹角问题】 【考点11 平面向量的投影向量问题】 【考点12平面向量数量积的取值范围】 【考点13向量与几何最值】 【考点14平面向量在几何其他的应用】 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：平面向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 2.数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 常用结论 1． 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．＝λ＋μ(λ,μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线 4．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 【考点1 平面向量的概念辨析】 【典例1】多选题（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【考点2 平面向量的线性运算】 【典例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 向量共线及其应用】 【典例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【典例2】（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（    ） A．1 B． C． D．2 【典例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【典例4】（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【典例5】（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【考点4 基底的概念及判断】 【典例1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【典例2】（2023·陕西西安·一模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【考点5 用已知基底表示向量】 【典例3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【典例4】（2024·河北衡水·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【典例5】（2024·全国·模拟预测）如图，在边长为3的正三角形中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【典例6】（黑龙江·期中）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，E为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【考点6向量运算的坐标表示】 【典例1】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知是单位向量，且 在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（21-22高三下·云南·阶段练习）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点7 平面向量数量积的运算】 【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·重庆九龙坡·三模）已知，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【典例4】（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 【考点8 平面向量的垂直问题】 【典例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量，满足，，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【典例3】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点9 平面向量模的有关问题】 【典例1】（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量的夹角为，则（    ） A． B． C． D．5 【典例3】（2023·全国·模拟预测）平面向量，，且．若，则（    ） A．0 B．2 C．0或 D． 46．（2024·全国·模拟预测）若向量与的夹角为，，，则 ． 【考点10 平面向量的夹角问题】 【典例1】（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河南·三模）在菱形中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·山东日照·三模）已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考点11 平面向量的投影向量问题】 【典例1】（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．0 D． 【考点12平面向量数量积的取值范围】 【典例1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·河南·模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 . 【考点13向量与几何最值】 【典例1】（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 【典例2】（2023·山东·模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【考点14平面向量在几何其他的应用】 【典例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知 (1)求角 (2)过作，交线段于D，且，求角. 【典例2】（2024·广东广州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求的周长. 【典例3】（2024·吉林白山·一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角； (2)过作，交线段于，且，求角． 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 6．已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 10．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，已知，为线段的中点，若，则 ． 12．已知向量，，则在上的投影向量的模为 ． 三、解答题 13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积. (1)求角的大小； (2)设是边的中点，若，求的长. 14．已知向量，，，图象上相邻的最高点与最低点之间的距离. (1)求的值及在上的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，且，求的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平面向量及其应用 【考点1 平面向量的概念辨析】 【考点2 平面向量的线性运算】 【考点3 向量共线及其应用】 【考点4 基底的概念及判断】 【考点5 用已知基底表示向量】 【考点6向量运算的坐标表示】 【考点7 平面向量数量积的运算】 【考点8 平面向量的垂直问题】 【考点9 平面向量模的有关问题】 【考点10 平面向量的夹角问题】 【考点11 平面向量的投影向量问题】 【考点12平面向量数量积的取值范围】 【考点13向量与几何最值】 【考点14平面向量在几何其他的应用】 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：平面向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 2.数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 常用结论 1． 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．＝λ＋μ(λ,μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线 4．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 【考点1 平面向量的概念辨析】 【典例1】多选题（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 【考点2 平面向量的线性运算】 【典例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】在中，取为基底， 则， 因为点分别为的中点，, 所以， 所以. 故选：B. 【典例2】（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得. 【详解】在中，由，， 得. 故选：A 【典例2】（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意可得 ． 故选：D 【典例3】（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【详解】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 【考点3 向量共线及其应用】 【典例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 【典例2】（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解. 【详解】由，得. 因为共线，所以，解得. 故选：B. 8．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出.思路二：由共线向量基本定理即可得解. 【详解】方法一：由已知有，，解得. 方法二：设，由题意，解得. 故选：B. 【典例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 【典例4】（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 又，不共线， 所以，解得. 故选：A 【典例5】（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个向量平行的性质可得，化简可得，利用齐次式即可得到答案. 【详解】因为，为非零向量，所以，即 因为，所以，则， 即， 即，由于，所以两边同除， 可得：，解得：或(舍去), 所以. 故选：D 【典例6】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】由中点和三等分点得到，结合，，得到， 由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值. 【详解】因为为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，则， 而，，三点共线，所以，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：B． 【考点4 基底的概念及判断】 【典例1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 【典例2】（2023·陕西西安·一模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决. 【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误； 对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误； 对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确. 故选：C 【考点5 用已知基底表示向量】 【典例3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】，，且， 而三点共线，，即， ， 所以. 故选：A. 【典例4】（2024·河北衡水·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】C 【分析】将把与用来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】，， . 故选：C. 【典例5】（2024·全国·模拟预测）如图，在边长为3的正三角形中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得到，再由数量积的运算代入数值求解即可. 【详解】由题意知，， 则 ， 所以 . 故选：C. 【典例6】（黑龙江·期中）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，E为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设，由直角三角形求得，再根据向量分解（或向量的线性运算）得结论． 【详解】作于点，则，设， 由已知，，即， 所以，，则，， 所以， 故选：A．    【考点6向量运算的坐标表示】 【典例1】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知是单位向量，且 在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，推理得到，再由投影向量求得，联立得到，利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】因为是单位向量，且， 两边平方得，，即（*）， 由在上的投影向量为，可得， 所以，即，代入（*）可得，，即， 所以， 因为，所以． 故选：B． 【典例2】（21-22高三下·云南·阶段练习）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为，又与的夹角为钝角， 当与共线时， ， 所以且与的不共线，即且， 所以， 故选：D． 【考点7 平面向量数量积的运算】 【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，根据数量积的运算律求出、，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 所以， 设与的夹角为， 所以，又，所以. 故选：A 【典例2】（2024·重庆九龙坡·三模）已知，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再将平方，结合数量积的运算律求出，再根据向量夹角的运算公式计算即可. 【详解】由，得， 由，得， 即，所以， 所以， 又，所以向量的夹角为. 故选：D. 【典例3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【答案】D 【分析】先根据题意确定向量，的倍数关系，然后可直接求解. 【详解】因为向量，满足同向共线，所以设， 又因为，，所以， 所以或，即或. ①当时，； ②当时，； 所以的值为3或15. 故选：D. 【典例4】（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，化简得，代入即可. 【详解】向量满足 ， ,即, , , 故选：A. 【典例5】（2024·上海·三模）已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，，，得， 所以. 故答案为： 【考点8 平面向量的垂直问题】 【典例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量，满足，，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据求出，根据即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以，其中是的夹角， 所以. 故选：B. 【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【详解】解：，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得. 故选：A. 【典例3】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系的向量表示，结合模的坐标表示求解即得. 【详解】由，得，则，即， 因此，所以. 故选：B 【考点9 平面向量模的有关问题】 【典例1】（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】把给出的两个等式两边平方化简后，解方程组即可求解. 【详解】解：由，可得，① 由，可得， 整理得， 代入①得， 解得 故选：D. 【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量的夹角为，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】由题意，根据和平面向量数量积的定义和运算律计算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：A. 【典例3】（2023·全国·模拟预测）平面向量，，且．若，则（    ） A．0 B．2 C．0或 D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的模与数量积运算可求得结果. 【详解】因为，所以， 即， 又因为，，， 所以，即，解得或． 故选：C． 46．（2024·全国·模拟预测）若向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】4或 【分析】根据向量的数量积定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以， 因为， 所以， 所以或． 故答案为：4或 【考点10 平面向量的夹角问题】 【典例1】（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 【典例2】（2024·河南·三模）在菱形中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由、菱形的对角线平分对角计算即可. 【详解】如图所示， 在菱形中，， 所以向量与的夹角等于向量与的夹角， 所以向量与的夹角为. 故选：C. 【典例3】（2024·山东日照·三模）已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解. 【详解】因为和是单位向量，所以又因为， 所以， 所以， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为. 故选：B. 【考点11 平面向量的投影向量问题】 【典例1】（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义直接求解即可. 【详解】依题意，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 【典例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设点，根据投影向量的公式求解. 【详解】根据题意，设点，则， 则在上的投影向量为 . 故选：C 【典例3】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 即，可得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：A. 【典例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，则， 故向量在上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：C 【考点12平面向量数量积的取值范围】 【典例1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由 ， 所以. 故选：B. 【典例2】（2023·全国·模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出外接圆半径，建立平面直角坐标系，求出三角形顶点坐标，设，根据向量的坐标运算，求出的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案. 【详解】由题意等腰中，，， 故，设外接圆半径为R，则； 以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为y轴， 过点O作的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，， 则， ， 故， 因为，故， 即的取值范围是， 故选：C 【典例3】（2023·河南·模拟预测）已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案. 【详解】 ， 由向量与的夹角是锐角，，解得或； 且向量与不共线，则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【考点13向量与几何最值】 【典例1】（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当时，取得最小值. 【详解】如图所示：    设， 当时，取得最小值， 过点作于点，即可得的最小值为， 又与的夹角为，即，易知， 所以. 即的最小值为1. 故答案为：1 【典例2】（2023·山东·模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】将中向量进行分解，即：， 由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值. 【详解】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以， 取的中点，所以，，如图所示： 因为, 因为是的中点，所以， ， 所以若最大，所以只需最大， 所以， 所以. 故选：A 【考点14平面向量在几何其他的应用】 【典例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知 (1)求角 (2)过作，交线段于D，且，求角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为变换角，最后进行三角恒等变化即可求解； （2）利用，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得. 【详解】（1）由正弦定理得：． ∵，∴， ∴ ∴， 又，∴，又为三角形内角，∴． （2） 因为在边上，且，所以． 因为，所以， 即， 所以． 在中，由，，可得. 【典例2】（2024·广东广州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果； （2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长. 【详解】（1）由，则， 又，故. （2）由（1）可知，，又，则； 由题可知，， 故， 所以， 因为，所以，， 在中，， 故的周长为. 【典例3】（2024·吉林白山·一模）在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角； (2)过作，交线段于，且，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可； （2）根据平面向量基本定理可得，再根据数量积为0求解得即可. 【详解】（1）由正弦定理得：． ∵，∴， ∴ ∴， 又，∴，又为三角形内角，∴． （2）因为在边上，且，所以． 因为，所以 ， 所以． 在中，，，∴． 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由，得，所以． 故选：D． 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出， ，再根据向量共线的坐标表示及数量积的坐标运算判断即可. 【详解】因为，， 所以， ， 因为，所以与不共线，故A错误； 因为，所以与不共线，故B错误； 因为，所以与不垂直，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 3．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 当时， ，即 解得 所以“”是的充分不必要条件. 故选：A. 4．若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，将两边同时平方，即可求解. 【详解】设向量夹角为， 两边平方得则， 又， 即，解得. 故选：A. 5．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 6．已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案. 【详解】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 故选：A． 7．在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得. 【详解】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 8．已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为. 故选：B. 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由得，进而得到，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】由得，， 故，即，得， 设的高为，可得，    由得，，故， 而，故，则， 故，化简得，故A正确. 故选：A 10．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，进而可得，，结合夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为，解得， 则，即， ， 可得， 且，所以与的夹角为． 故选：D． 二、填空题 11．在中，已知，为线段的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，在中，已知，则， 由于为线段的中点， 则， 又，、不共线，故，， 所以． 故答案为：． 12．已知向量，，则在上的投影向量的模为 ． 【答案】 【分析】结合投影向量的模，即可得到答案. 【详解】由向量，，可得，所以在上的投影向量模为， 故答案为： 三、解答题 13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积. (1)求角的大小； (2)设是边的中点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的数量积和三角形的面积公式以及正弦定理化简已知等式可得，再由两角和的正弦展开式结合特殊角的三角函数化简整理即可； （2）法一：结合已知由正弦定理可得，代入数据化简后可得，再由两角差的正弦展开式和同角三角函数关系求出，即可得到结果； 法二：由三角形的面积公式结合已知可得，再在中，据余弦定理得，解出，然后在中，据勾股定理解出结果即可； 法三：延长到点，使得，由三角形中位线的性质结合勾股定理和三角函数定义关系求出即可； 法四：延长到，使，连结，，由已知结合三角函数的定义和勾股定理解出即可； 【详解】（1）据，可得， 即， 结合正弦定理可得. 在中，， 所以， 整理得. 因为，，故，即， 又，所以. （2） 法一：因为是边的中点，，所以. 在中，，则. 在中，，，， 据正弦定理可得，，即， 所以. 所以，即， 所以， 又，， 所以，解得， 所以. 法二：因为是边的中点，故， 所以，即， 整理得① 在中，据余弦定理得，， 即② 联立①②，可得，. 在中，据勾股定理得，， 所以. 法三：延长到点，使得. 在中，，，故， 又是的中点，所以是的中点， 所以，，且. 在中，，，， 所以，且. 所以，即，解得（负舍）， 所以. 法四：延长到，使，连结，. 因为是的中点，且， 故四边形是平行四边形，. 又，所以. 在中，，，，， 所以，且. 在中，，，，， 据勾股定理，可得， 将代入上式，可得（负舍）， 所以. 14．已知向量，，，图象上相邻的最高点与最低点之间的距离. (1)求的值及在上的单调递增区间； (2)设的内角，，的对边分别为，，，且，求的值域. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为，则，即可求出，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范围，即可得到的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）依题意可得 ， 由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为，设函数的最小正周期为， 则，解得（负值已舍去），则，解得. . 令， 解得， 所以的单调递增区间为， 又，故在上的单调递增区间为. （2）因为，， 由余弦定理， 又且，所以，当且仅当时取等号， 所以，又，所以， 所以，则， 则，所以的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$