专题08 解三角形及其应用（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题08 解三角形及其应用 【考点1 正(余)弦定理解三角形】 【考点2 判断三角形的形状】 【考点3 三角形解的个数问题】 【考点4 三角形的面积公式及应用】 【考点5 求角或函数值的最值范围】 【考点6求边长或周长的最值范围】 【考点7 求三角形面积的最值范围】 【考点8 与中线有关的解三角形】 【考点9 与角平分线有关的解三角形】 【考点10 与高线有关的解三角形】 【考点11 多三角形或四边形的解三角形 】 【考点12解三角形的实际应用】 知识点1 正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 知识点2 三角形常用面积公式 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点3 解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 知识点4 测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【考点1 正(余)弦定理解三角形】 【典例1】（2024·北京东城·二模）在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【典例2】（2024·海南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·广东江门·一模）在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【考点2 判断三角形的形状】 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为，若，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边为直径的圆的面积为，若的面积不小于，则的形状为（    ） A．等腰非等边三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【考点3 三角形解的个数问题】 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点4 三角形的面积公式及应用】 【典例1】（2024·江西上饶·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，则的面积等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【典例3】（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【典例5】（2024·陕西西安·模拟预测）在中，，则的面积为（    ） A． B． C．15 D．30 【考点5 求角或函数值的最值范围】 【典例1】（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（22-23高一下·山东烟台·期中）在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·四川·高考真题）在ABC中，．则的取值范围是（ ） A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，） 【考点6求边长或周长的最值范围】 【典例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·全国·模拟预测）在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【典例5】（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例6】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【考点7 求三角形面积的最值范围】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，若等腰直角的直角边为圆的一条弦，且圆心在外，点在圆外，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·安徽·二模）已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考点8 与中线有关的解三角形】 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．4 C． D． 【考点9 与角平分线有关的解三角形】 【典例1】（2024·河北·模拟预测）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为（    ） A． B． C． D．16 【典例2】（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【考点10 与高线有关的解三角形】 【典例1】（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若在中满足：则边上的高为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【考点11 多三角形或四边形的解三角形 】 【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 【典例3】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【典例4】（2024高三下·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【考点12解三角形的实际应用】 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（   ）米 A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 【典例4】（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【典例5】（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）． (1)求楼高MO和楼尖MN； (2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO． 参考数据：，，， 一、单选题 1．（2024·湖南衡阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·上海·专题练习）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（    ） A．10 B．11 C． D．12 5．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·新疆·三模）在中，，.则 . 三、解答题 7．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值. 8．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的值和的面积； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)若，求的值. 9．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)求； (2)若的面积为，求． 10．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 11．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 12．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且． (1)求A； (2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值． 13．（2024·全国·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 14．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 15．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求边及的面积； (3)在（2）的条件下，求的值. 16．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解三角形及其应用 【考点1 正(余)弦定理解三角形】 【考点2 判断三角形的形状】 【考点3 三角形解的个数问题】 【考点4 三角形的面积公式及应用】 【考点5 求角或函数值的最值范围】 【考点6求边长或周长的最值范围】 【考点7 求三角形面积的最值范围】 【考点8 与中线有关的解三角形】 【考点9 与角平分线有关的解三角形】 【考点10 与高线有关的解三角形】 【考点11 多三角形或四边形的解三角形 】 【考点12解三角形的实际应用】 知识点1 正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 知识点2 三角形常用面积公式 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点3 解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 知识点4 测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【考点1 正(余)弦定理解三角形】 【典例1】（2024·北京东城·二模）在中，，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由题意可得：，结合正弦定理运算求解. 【详解】由题意可得：， 由正弦定理可得. 故选：D. 【典例2】（2024·海南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用正弦定理分析求解. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 【典例3】（2024·广东江门·一模）在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 【考点2 判断三角形的形状】 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为，若，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据题意可得，，利用余弦定理整理得，结合面积关系可得，进而可得，即可得结果. 【详解】因为以AC为直径的圆的面积为，可知， 又因为a，b，c成等差数列，则， 由余弦定理可得， 即，整理得， 且，整理得， 联立方程，解得或， 且，可得，即， 可得，解得， 所以的形状为等边三角形. 故选：D. 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，以边为直径的圆的面积为，若的面积不小于，则的形状为（    ） A．等腰非等边三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据题意可得，，由，得即，又由余弦定理结合基本不等式得，所以，此时，得解. 【详解】根据题意可得，，， ，又，则， 又，所以， 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时等号成立，所以，此时， 所以，即为等边三角形. 故选：D. 【考点3 三角形解的个数问题】 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，分析可知关于A的方程：在有两解，结合正弦函数图象分析求解. 【详解】由正弦定理可得， 由题意可知：关于A的方程：在有两解， 在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，    因为它们有两个不同的交点，所以，所以. 故选：C. 【典例2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形不唯一的条件进行求解即可. 【详解】因为，则， 要使满足条件的三角形不唯一，则，即. 故选：A. 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，即. 故选：A. 【考点4 三角形的面积公式及应用】 【典例1】（2024·江西上饶·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为， 可得，且， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 所以的面积为. 故选：A. 【典例2】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，则的面积等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】由余弦定理得，，因为为三角形内角， 则， 所以， 故选：B． 【典例3】（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以， 在中，D为的中点，则， 则， 即，解得（舍去）， 所以. 故选：D. 【典例4】（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理结合圆的性质分别得到和，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦展开式求解. 【详解】    设， 则，，， 在和中，由正弦定理可得；同理， 所以四边形的面积 ， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形面积公式表示出四边形面积，再结合正弦定理求解. 【典例5】（2024·陕西西安·模拟预测）在中，，则的面积为（    ） A． B． C．15 D．30 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合余弦定理和面积公式进行运算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理，得，解得， 另外可得， 所以， 故选：A. 【考点5 求角或函数值的最值范围】 【典例1】（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值． 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 【典例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得，即， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 而，则，所以角的最大值为. 故选：A 【典例3】（22-23高一下·山东烟台·期中）在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果． 【详解】因为，由正弦定理可知， ， 又，所以 所以， 所以 即， 又是锐角，则， 则，，所以，即， 所以，解得， 所以. ，则，则， 故选：B. 【典例4】（2023·四川·高考真题）在ABC中，．则的取值范围是（ ） A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，） 【答案】C 【详解】试题分析： 由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C. 【考点6求边长或周长的最值范围】 【典例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解. 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 【典例2】（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为，所以，由于，故，则， 由正弦定理得， 故， 又，则，所以，则， 故△ABC周长的最大值为. 故选：D. 【典例3】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将已知条件中的切分离开来且切化弦，再结合三角恒等变换公式进行整理得出角A，接着利用正弦定理进行边化角利用三角函数有界性即可探究周长取值范围，从而得出周长最大值. 【详解】由题意得， 整理得， ，又，故角为， 所以由正弦定理得， 所以，， 所以的周长为： ， 因为是锐角三角形，所以，，， ，所以，则， 所以， 故周长的最大值为. 故选：B. 【典例4】（2023·全国·模拟预测）在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】已知，由正弦定理边化角，化简可得，设，在和中，由余弦定理可得，可求的最小值. 【详解】由及正弦定理可得， 由，可得，故． 通解  设，由可得， 由余弦定理可得，又， 所以，得． 在和中，由余弦定理得，， 由可得， 故， 当时，取得最小值12，即，得，故的最小值为2． 优解  由题意知， 两边同时平方得， 又，所以当且仅当，即时取等号， 则，故的最小值为2． 故选：B 【典例5】（2022·江苏盐城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由及正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，，∵，∴． 由，， 两边平方，得 即 ， 当且仅当，即时取等号，即， ∴线段CD长度的最小值为． 故选：D． 【典例6】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可. 【详解】在中，由可得， 由正弦定理得： 又为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C 【考点7 求三角形面积的最值范围】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，可得，进而可求的最大值. 【详解】为中线，则，两边平方得， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 则. 故选：B. 【典例2】（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，若等腰直角的直角边为圆的一条弦，且圆心在外，点在圆外，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出的面积，相加得到四边形的面积，利用辅助角公式求出最大值. 【详解】如图所示，设，则， 故， 由余弦定理得 ， 故等腰直角三角形的面积为， 故四边形的面积为， 其中，， 其中，故， 则当时，取得最大值，最大值为. 故选：A 【典例3】（2024·安徽·二模）已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得，然后根据余弦定理求出，再利用重要不等式求出即可 【详解】由， 由正弦定理得， 又，且， 所以，故， 又，所以， 由，即，得， 面积的最大值为， 故选：C． 【考点8 与中线有关的解三角形】 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 【典例2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 先求得，然后利用三角形的面积公式、向量法求得边上的中线长度. 【详解】设是的中点，连接. 依题意，在中，， 设，由余弦定理得， 所以为钝角，所以， 所以， ，两边平方得 ， 所以. 故选：D 【考点9 与角平分线有关的解三角形】 【典例1】（2024·河北·模拟预测）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】B 【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，由内角平分线可得，由此求出点的坐标满足的关系，进而求出点到直线距离的最大值即可得解. 【详解】抛物线焦点，直线的方程为， 由，解得，，不妨令， 则，由为的内角平分线， 得，设点， 于是， 整理得，显然点在以点为圆心，2为半径的圆上，因此点到直线距离的最大值为2， 所以面积最大值为. 故选：B    【点睛】关键点点睛：借助三角形面积公式求出角平分线的性质，进而求出角顶点的轨迹方程是解题之关键. 【典例2】（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，进而得到，在中，由正弦定理得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 其中，， 所以，， 故， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 故， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 故选：A 【考点10 与高线有关的解三角形】 【典例1】（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B 【典例2】（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若在中满足：则边上的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，再利用面积相等求解即可. 【详解】因为 所以由余弦定理可得 即， 解得，或（舍去）， 设边上的高为， 则， 即， 故选：B. 【典例3】（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 【考点11 多三角形或四边形的解三角形 】 【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由于四点共圆，所以， 因此，然后在两个三角形中分别用这两角余弦定理建立等式即可求解； （2）利用三角形面积公式可得：，然后结合第一问的可得出含四边形面积的表达式，再结合三角形内角的范围及余弦函数的性质得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由于四点共圆，所以， 因此， 上述两式相加得：， 得． （2）由（1）得：， 化简得，① 四边形的面积：， 整理得，② ①②两边分别平方然后相加得： 由于，， 因此当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，得， 故四边形面积的最大值为． 【典例3】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以 . 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 【典例4】（2024高三下·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 【考点12解三角形的实际应用】 【典例1】（2024高一下·全国·专题练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理得出的长，再利用直角三角形可求答案. 【详解】在中，则， 因为， 且， 则， 在中，则． 故选：B． 【典例2】（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可. 【详解】由题意， 而， 所以. 故选：D 【典例3】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可. 【详解】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为：. 【典例4】（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 【典例5】（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）． (1)求楼高MO和楼尖MN； (2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO． 参考数据：，，， 【答案】(1)， (2)FO为37．4m 【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，进而求得MO，进而求得CE，计算可求得楼离MO和楼尖MN； 法二：利用，，可求得ME，进而计算可求得楼离MO和楼尖MN； （2）设，，，进而可得 ，利用基本不等式可求得楼尖MN的视角最大时x的值． 【详解】（1）法一：，，∴． 在中，由正弦定理得，， 又，∴． ∴， ∴． （m）． ∴． ∵，∴，． 法二：，， ∴， 即，∴， ∴． m． ∴． ∵，∴，． （2）设，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立． ∴测角仪底到楼底的距离FO为37．4m处时，测得楼尖MN的视角最大． 一、单选题 1．（2024·湖南衡阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，为AC的中点，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】在中，由正弦定理得，又且，化简可得的值. 【详解】由已知，在中，由正弦定理得， 所以，又，故. 故选：A. 2．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3．（2024高二下·上海·专题练习）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二面角的平面角定义，可得为平面和平面所在的两个半平面所成的二面角的平面角，设，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表达式，进而求得取值范围． 【详解】设，，则， 由题意，，在上的投影是同一点，设为，连接，， 则为平面和平面所在的两个半平面所成的二面角的平面角， 则， 由，可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，所以，则． 故选：D． 4．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（    ） A．10 B．11 C． D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出即得. 【详解】在四棱锥中，连接交于，连，则为的中点，如图，    正方形中，，， 在与中，，则≌， 于是， 由余弦定理得， 所以的周长为. 故选：C 5．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】由余弦定理得，即， 所以三角形的面积为. 故选：A 二、填空题 6．（2024·新疆·三模）在中，，.则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理可得，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解. 【详解】由正弦定理，， 所以由可得， 所以，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 7．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，结合余弦定理可得，从而得证； （2）由（1）及正弦定理得，结合同角基本关系式可求； （3）根据，结合诱导公式得，或，分情况求解. 【详解】（1）因为， 又由余弦定理， 可得， 由知， 所以， （2）由（1）及正弦定理得， 又因为， 所以， 又因为， 解得． （3）由（2）知， 所以，， 因为，即， 则，或， 当时， ． 当，B为，此时． 8．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的值和的面积； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求，再根据求，进而求得的面积； （2）由二倍角公式求得和，再由两角和与差的余弦公式得解； （3）由正弦定理得到与的关系，再结合余弦定理求解的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，即， 化简得，解得或(舍)，， ， 的面积. （2）， ， . （3）在中，由正弦定理得， ，化简得， 由余弦定理得， ，解得（负值舍去）， 所以. 9．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)求； (2)若的面积为，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式求出，再由正弦定理得解； （2）由三角形面积求出，再由余弦定理求出. 【详解】（1）由， 则， 又由， 所以， 又由，可得， 在中，又由正弦定理得：， 所以，可得； （2）由，可得， 又由的面积为，有，可得， 在中，由余弦定理有． 10．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 11．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【详解】（1）由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. （2）由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 12．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且． (1)求A； (2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值． 【答案】(1). (2)4 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果； （2）方法一：根据题意，分别在与中由正弦定理化简，即可得到，从而得到结果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， 所以，所以， 因为，所以，因为，所以. （2）方法一：设，则： 在中，，①，在中，，② ：，所以，所以，所以AD的最大值是4 解法二：在中，由余弦定理得，=， 因为， 所以四边形存在一个外接圆，所以圆的直径为 因为，即，当AD为圆O直径时取等号，故的最大值为4. 13．（2024·全国·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 14．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解. （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，则， 即， 由余弦定理可得：， 因为，所以. （2）因为为的中点，所以， 则 ， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号， 即， 所以，即中线长的最大值为. 15．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求边及的面积； (3)在（2）的条件下，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. （3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，即， 又，所以，则，又，所以. （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. （3）由正弦定理得，即，解得， 因为，故角为锐角，故， 所以， ， 所以 . 16．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【详解】（1）因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． （2）由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$