专题10 复数及其应用（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题10 复数及其应用 【考点1 复数的基本概念及应用】 【考点2 复数的四则混合运算】 【考点3 复数的高次幂计算】 【考点4 复数相等与共轭复数】 【考点5 复数的几何意义】 【考点6复数的模长及简单应用】 【考点7 复数范围内的解方程】 【考点8 复数代数式与三角形互化】 知识点1：复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 知识点2：复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系. 知识点3：复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 常用结论 1.i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2. 知识点4 复数的三角形式 1、复数的辅角 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 2、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 3、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 （1）复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 （2）复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 （3）复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时， 5、复数除法运算的三角表示及其几何意义 （1）复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. （2）两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 【考点1 复数的基本概念及应用】 【典例1】（2024·陕西西安·三模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【典例2】（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C．3 D． 【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）若的虚部为2，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【典例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2024·广东深圳·模拟预测）复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．1 D． 【典例6】（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为 . 【考点2 复数的四则混合运算】 【典例1】（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·青海海西·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 【考点3 复数的高次幂计算】 【典例1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）若满足对应的点关于原点对称的点为，则对应的为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·江西鹰潭·三模）复数复平面内对应的点位于（    ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【典例4】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【典5】（2024·河南南阳·三模）若，则 【考点4 复数相等与共轭复数】 【典例1】（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·全国·模拟预测）为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为 ． 【考点5 复数的几何意义】 【典例1】（2024·山东日照·模拟预测）设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（2024·福建南平·模拟预测）已知，则在复平面内的对应点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例3】（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 【典例4】（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例5】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【考点6复数的模长及简单应用】 【典例1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数，表示z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例3】（2024·湖南邵阳·三模）已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【典例4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，则 . 【考点7 复数范围内的解方程】 【典例1】（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【典例2】（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 【典例3】（2024·广东广州·模拟预测）已知，是关于的实系数方程的一个根，则 . 【考点8 复数代数式与三角形互化】 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（2024·西藏林芝·模拟预测）复数的模为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·青海·模拟预测）设，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·广东汕头·三模）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2024·山西阳泉·三模）已知是实系数方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．1 D．9 9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山西运城·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为虚数单位，且，则（    ） A． B． C． D． 12．多选题（2024·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 13．多选题（2024·山东济南·二模）已知方程在复数范围内有个根，且这个根在复平面内对应的点等分单位圆.下列复数是方程的根的是（    ） A．1 B． C． D． 14．多选题（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为 B．复数在复平面中对应的点在第四象限 C． D． 15．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 复数及其应用 【考点1 复数的基本概念及应用】 【考点2 复数的四则混合运算】 【考点3 复数的高次幂计算】 【考点4 复数相等与共轭复数】 【考点5 复数的几何意义】 【考点6复数的模长及简单应用】 【考点7 复数范围内的解方程】 【考点8 复数代数式与三角形互化】 知识点1：复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 知识点2：复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系. 知识点3：复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 常用结论 1.i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2. 知识点4 复数的三角形式 1、复数的辅角 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 2、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 3、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 （1）复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 （2）复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 （3）复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时， 5、复数除法运算的三角表示及其几何意义 （1）复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. （2）两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 【考点1 复数的基本概念及应用】 【典例1】（2024·陕西西安·三模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法化简，即可判断. 【详解】因为，所以，所以的虚部为． 故选：B 【典例2】（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】设复数，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得的值，即可求解. 【详解】设复数， 因为复数z满足，可得， 即，则，，解得， 所以复数的虚部为. 故选：A. 【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）若的虚部为2，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简即可得解. 【详解】由题得， 则. 故. 故选：D. 【典例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对式子进行化简,再根据除法规则,分母实数化即可. 【详解】,则,虚部是. 故选:A. 【典例5】（2024·广东深圳·模拟预测）复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，进而可求得，可得结论. 【详解】因为， 则， 故复数z的虚部是1． 故选：C． 【典例6】（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数的四则运算可得，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】， 所以复数Z的虚部为. 故答案为： 【考点2 复数的四则混合运算】 【典例1】（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 【典例2】（2024·青海海西·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算即可得解. 【详解】. 故选：A． 【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共轭复数的模长公式结合复数相等的条件计算即可. 【详解】设， 则由已知得， 由实部、虚部分别相等得，解得，． 所以. 故选：D. 【典例4】（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 【答案】/ 【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的乘法计算即可. 【详解】， . 故答案为：. 【考点3 复数的高次幂计算】 【典例1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）若满足对应的点关于原点对称的点为，则对应的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，从而， 所以. 故选：B. 【典例3】（2024·江西鹰潭·三模）复数复平面内对应的点位于（    ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【答案】B 【分析】利用复数的乘方运算以及除法法则可得，求得其对应点坐标可得结论. 【详解】易知， 所以， 可得复数复平面内对应的点坐标为，位于直线上. 故选：B 【典例4】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简复数，再根据复数的特征求虚部. 【详解】， 所以的虚部是. 故选：C 【典5】（2024·河南南阳·三模）若，则 【答案】/ 【分析】由复数的乘除法运算法则及模长计算公式求解即可. 【详解】， 所以， 故答案为：. 【考点4 复数相等与共轭复数】 【典例1】（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数相等求出，再由共轭复数概念即可求解. 【详解】因为， 所以，故， 所以复数的共轭复数为， 故选：A. 【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出复数z的代数形式，结合共轭复数及复数加减法运算，再利用复数相等求解即得. 【详解】令复数，则， 根据两个复数相等的条件有，解得，所以． 故选：A 【典例3】（2024·山东·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果. 【详解】复数满足， 则有， 所以 . 故选：D. 【典例4】（2024·全国·模拟预测）为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为 ． 【答案】 【分析】设复数，代入，利用复数的相等求出，得复数和，可求的虚部. 【详解】解法一： 设复数，则， 由复数相等，得，解得，即复数， 所以，所以的虚部为． 解法二： 由，得．因为是实数，所以也是实数， 则有，所以的虚部为． 故答案为： 【考点5 复数的几何意义】 【典例1】（2024·山东日照·模拟预测）设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念化简复数，然后利用复数的几何意义求解点所在的象限. 【详解】因为， 所以，所以，对应的点为， 所以在复平面内对应的点在第三象限. 故选：C 【典例2】（2024·福建南平·模拟预测）已知，则在复平面内的对应点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算、几何意义可得答案. 【详解】 ， 故，所以在复平面内的对应点在第一象限. 故选：A． 【典例3】（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解. 【详解】z对应的点坐标为，所以， 所以 故选：B. 【典例4】（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 【典例5】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 【考点6复数的模长及简单应用】 【典例1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数，表示z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解即得. 【详解】，因此， 所以. 故选：C 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数，然后利用复数模长公式求出复数的模长即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【典例3】（2024·湖南邵阳·三模）已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用复数的乘方运算及除法运算可求得，再由模长公式计算即可. 【详解】，，． 故选：B． 【典例4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 【考点7 复数范围内的解方程】 【典例1】（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 【典例2】（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 . 【答案】 【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解. 思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】方法一：由已知可得，即， 所以，解得，所以. 方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根， 所以也是该方程的一个根， 由韦达定理得，解得，所以. 故答案为：. 【典例3】（2024·广东广州·模拟预测）已知，是关于的实系数方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】方法1：先对化简得到，.再将代入方程中，建立二元一次方程组，分别求出的值，即可得到结果. 方法2：由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，，都是关于的实系数方程的根,然后利用根与系数的关系求得的值，即可得到的值. 【详解】已知，则，，为实系数方程的一个根. 方法1：将代入方程有，化简得. 所以，解得，，所以. 方法2：因为，都是方程的根，由韦达定理有，， 所以. 故答案为： . 【考点8 复数代数式与三角形互化】 【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. 【典例2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得. 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 【典例3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 1．（2024·西藏林芝·模拟预测）复数的模为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用复数乘法法则化简复数，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案． 【详解】因为， 所以， 则，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算法则得到复数，再求复数的共轭复数的模即可. 【详解】由已知条件，, 共轭复数， 所以. 故选：C. 4．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为. 故选：B 5．（2024·青海·模拟预测）设，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算法则求出，再求其模长即得. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：A. 7．（2024·广东汕头·三模）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念以及复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， ，即复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 8．（2024·山西阳泉·三模）已知是实系数方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】根据虚根成对原理也是实系数方程的一个复数根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是实系数方程的一个复数根， 则也是实系数方程的一个复数根， 所以，解得， 所以. 故选：A 9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算及模长公式即可求得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 10．（2024·山西运城·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法、乘方运算化简，再求出其共轭复数. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B 11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为虚数单位，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方及除法运算，再结合复数相等建立方程求解即得. 【详解】依题意，， 因此，而，所以， 故选：C 12．多选题（2024·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 根据同角三角函数关系和复数模的运算即可判断A，根据复数乘方运算即可判断B，根据复数乘法代数运算即可判断C，根据复数模的计算和余弦函数的有界性即可判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，因为复数，则， 则，而，则，故B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由题意得， ， 因为，则当，故D错误. 故选：ABC． 13．多选题（2024·山东济南·二模）已知方程在复数范围内有个根，且这个根在复平面内对应的点等分单位圆.下列复数是方程的根的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】用立方差公式分解因式，求出根，再利用复数的运算直接代答案求解. 【详解】对于A选项，显然成立，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 由题令，则 或即或 对于C选项，成立，故C正确； 对于D选项， ，故D正确； 故选：ACD. 14．多选题（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为 B．复数在复平面中对应的点在第四象限 C． D． 【答案】ABD 【分析】先化简得到，然后用实部和共轭实数的定义判断A和B选项；由于虚数不能比较大小，故C错误；直接计算即知D正确. 【详解】我们有，故的实部为，A正确； 由知，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确； 都不是实数，它们不能比较大小，C错误； ，D正确. 故选：ABD. 15．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论． 【详解】复数的实部为0， ． ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$