第04讲 重难点：特殊平行四边形常考问题-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第04讲 特殊平行四边形常考问题精练 本讲目录 题型01 特殊平行四边形的折叠问题 题型02 特殊平行四边形的最值问题 （1）最小值问题 （2）最大值问题 题型03 中点四边形 题型04 与线段有关的探究问题 题型05 以尺规作图为背景的探究问题 题型06 正方形的常见模型 （1）一线三垂直模型 （2）45°角模型 （3）“十字架”模型 题型07 与特殊平行四边形有关的动点问题 题型08 一次函数与特殊平行四边形的综合问题 题型01特殊平行四边形的折叠问题 1．【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出    的长；若不存在，请说明理由． 2．已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 3．综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 4．在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折，剪、叠得到一个菱形”的探究活动． 【动手操作】 第一小组：如图，将一张矩形的纸片对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，即可得一个菱形． 第二小组：如图，把矩形纸片沿着对角线折叠，沿着边剪下两个三角形，展开后得四边形． 第三小组：如图，将两块矩形纸片叠在一起，其中重叠的部分为菱形． 【过程思考】 （1）第一小组得到的四边形是菱形的理由是____________； （2）第二小组经过上述的操作，认为四边形即为菱形，请你判断第二小组的结论是否正确，并说明理由； 【拓展探究】 （3）第三小组通过操作还发现，将两张矩形纸片沿着对角线按如图2的方式叠放，得到的菱形面积最大，已知矩形卡片的长为8，宽为6，请求出此时菱形的面积． 5．【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠，如图1，具体操作过程如下： 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接， 观察所得到的，，，这三个角有什么关系？你能证明吗？ 【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时， ， ； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，试判断的度数是否为定值，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长． 6．【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边上，，与相交于点P．线段的关系是______． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G， （1）若，求的长度=______； （2）点E，F在边上运动时，连接，求的度数． 7．数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：． ①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线． ②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类别分析】 （2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明； 【学以致用】 （3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比． 题型02特殊平行四边形的最值问题 （1）最小值问题 8．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 10．如图，已知正方形的边长为6，动点从点A出发在边上运动，同时动点从点出发以同样的速度在边上运动．分别连接、，与相交于点，连接，则线段的最小值为 ． 11．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是 ． （2）线段长度的最小值是 ． 12．如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 13．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 14．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形．若是的中点，连接，则的最小值为 ．    （2）最大值问题 15．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 17．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ． 解：如图：取线段的中点E，连接， ∵，矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大． ∴点D到点O的最大距离， 故答案为：． 18．如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值． 题型03中点四边形 19．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形是平行四边形； ②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形； ④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 20．如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 21．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 22．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 23．综合与探究：如图1，四边形中，、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形的形状是________（直接回答，不必说明理由）． (2)如图2，在四边形内一点，使，，，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，，，，，求四边形的面积． 题型04与线段有关的探究问题 24．矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 25．在四边形中，对角线上有一点，延长线上有一点，连接交于点，且． (1)如图，若四边形是正方形． 求证：； 求的度数； (2)如图，若四边形是菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 26．正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． (1)如图①，当点F在线段上时，求证：； (2)如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； (3)如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 27．四边形是凸四边形，若线段（可以重合）满足，则称线段是关于点A的等角线段组． (1)若四边形是平行四边形，，点M，N分别在线段上．（均不与端点重合），线段是关于点A的等角线段组． ①证明：； ②写出一个的值，使得，并证明； (2)凸四边形中，，点E在线段上，且，若线段是关于点A的等角线段组，线段，是关于点C的等角线段组，求的值． 28．在正方形中，，点O为对角线的中点，动点E在射线上，连接，过点E作交射线于点F．当点E与A重合时，；当点E与重合时，（点F与A重合）．    (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E在线段上时，请补全图形，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点P、C在直线的异侧，且，动点E沿着从点P向点C运动，请直接写出伴随动点F的运动路径的长为______． 29．【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题引申】如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，求的长度． 30．如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，． (1)请判断：与的数量关系是______，位置关系是_____； (2)如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 31．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． (1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 题型05以尺规作图为背景的探究问题 32．如图，在中，，，平分交于点D，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线，分别交于点E，O，F；③连接．根据以上作图步骤，则下列结论错误的是（    ） A．与互相垂直且平分 B．图中等腰直角三角形有8个 C．四边形为正方形 D．若，，则 33．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为 ． 34．如图，在中，以点A为圆心、长为半径画弧交边于点E，连接，再分别以点B、E为圆心、相同的长为半轻（大于）画弧交于点F，作射线，交边于点G．若，则 ．    35．如图，正方形中，点P是线段上的动点（不与端点重合），连接． (1)仅用无刻度的直尺和圆规在直线上作点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若正方形的边长为1，，，求y关于x的函数解析式． 36．如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线分别交于点M，N，O，连接和； (2)在（1）的条件下，若四边形的周长为16，求的长． 37．如图，已知矩形，点是中点，连接． (1)尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 38．情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 题型06正方形的常见模型 （1）一线三垂直模型 39．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 40．下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．） (1)请你思考题中“提示”，并进行证明； (2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ． 41．如图，四边形是正方形，点是线段的延长线上一点，点是线段上一点，连接，以点为直角顶点作交的角平分线于，过点作交于，连接，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． （2）45°角模型 42．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 43．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 44．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． 45．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长． 46．如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求线段的长； (3)如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长．    （3）“十字架”模型 47．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 48．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接、，点M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 题型07与特殊平行四边形有关的动点问题 49．如图，在矩形中，O为对角线的中点，，动点E在线段上，动点F在线段上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持，点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中．四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→平行四边形→正方形→平行四边形→菱形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→菱形→平行四边形 50．如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 51．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； (3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 52．在矩形中，，，E，F是对角线上的两个动点，点E，F分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，G，H分别是，的中点，连接，，，． (1)四边形的形状一定是______（点E，F相遇时除外）． (2)当四边形为矩形时，请求出t的值． (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，请直接写出t的值． 53．综合实践 【问题】  小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图1，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为，在整个过程中，四边形形状的变化依次是什么？ 【探究】（1）小张觉得在点运动的过程中，四边形的两组对边分别相等，所以四边形形状必定为______； （2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索： ①小王看到四边形的四边分别经过了原矩形的四个顶点，并说道：在图1中，连接和，只要能说明为即可，其余三条边都可以用这个方法证明．请你根据小王的说法，证明边经过点． ②小王发现，点在点时，四边形为菱形；点分别运动到终点时，四边形为菱形；并猜想点在运动过程中，四边形能为矩形．请你利用图2判段点在运动过程中，四边形否能为矩形？若能请找到点的位置并证明此时四边形为矩形；若不能，也请说明理由． 【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、菱形的结论．如图3，在原题的基础上，将条件变为，，其余条件不变，小袁发现在点运动过程中，四边形依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩形的周长． 54．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．    (1)的长是_______，的长是_______． (2)在D、E的运动过程中，线段与的关系是否发生变化？若不变化，那么线段与是何关系，并给予证明．若变化，请说明理由． (3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (4)当t为何值，的面积是？ 题型08一次函数与特殊平行四边形的综合问题 55．如图，正方形的顶点A，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ． 56．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向右平移个单位得线段，其中点的对应点为点．    (1)请直接写出点的坐标和长方形的面积； (2)点是轴上的动点，连接． 当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，若三角形的面积为，请求出此时三角形的面积； 当将长方形的面积分成相等的两部分时，连接，画出图形，求点的坐标． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线：交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点D是线段上一点，且的面积是面积的，求直线的解析式； (3)点P是直线上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 58．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、顶点，且b、c满足，点． (1)顶点C的坐标为_______；线段的长度是________； (2)已知点E是线段上的动点，点F是线段AC上的动点，点，当的值最小时，求F点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，请问存在以点A、F、P、Q为顶点的四边形是以AF为边的矩形吗？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 59．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点； ①求出所在直线的解析式及点F坐标； ②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 60．在平面直角坐标系中，如果点，为某个菱形一组对角的顶点，且点，在直线上，那么称该菱形为点，的“关联菱形”．例如，图1中的四边形为点，的“关联菱形”． 已知点，点．    (1)当时， ①在点，，中，点　　　　能够成为点，的“关联菱形”的顶点； ②当点，的“关联菱形”的面积为8时，求点的坐标； (2)已知直线与轴交于点，与轴交于点，若线段，且点是点，的“关联菱形”的顶点，直接写出的取值范围．    试卷第2页，共142页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 特殊平行四边形常考问题精练 本讲目录 题型01 特殊平行四边形的折叠问题 题型02 特殊平行四边形的最值问题 （1）最小值问题 （2）最大值问题 题型03 中点四边形 题型04 与线段有关的探究问题 题型05 以尺规作图为背景的探究问题 题型06 正方形的常见模型 （1）一线三垂直模型 （2）45°角模型 （3）“十字架”模型 题型07 与特殊平行四边形有关的动点问题 题型08 一次函数与特殊平行四边形的综合问题 题型01特殊平行四边形的折叠问题 1．【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出    的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，最后再证明是正方形； （2）过点E作于点G，可得为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，故由代入求解即可； （3）①点F在线段上，根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形，即 ，对运用勾股定理得，则，点F在线段延长线上，同理可求． 【详解】解：（1）如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴此时， ∵翻折， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）过点E作于点G，则 ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ∵翻折， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即， ∴； （3）①点F在线段上，当F、E、D三点共线时，如图： ∵翻折 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴， ②点F在线段延长线上，当F、E、D三点共线时，如图： 同理可求：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．． 2．已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，可得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）过点E作于点D，由题意可得，则有，，设，则，然后根据勾股定理可求解； （3）当时，过点E作于点N，连接，进而得出是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 在矩形中，， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点D，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，过点E作于点N，连接，如图所示：    由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：； 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 3．综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 4．在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折，剪、叠得到一个菱形”的探究活动． 【动手操作】 第一小组：如图，将一张矩形的纸片对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，即可得一个菱形． 第二小组：如图，把矩形纸片沿着对角线折叠，沿着边剪下两个三角形，展开后得四边形． 第三小组：如图，将两块矩形纸片叠在一起，其中重叠的部分为菱形． 【过程思考】 （1）第一小组得到的四边形是菱形的理由是____________； （2）第二小组经过上述的操作，认为四边形即为菱形，请你判断第二小组的结论是否正确，并说明理由； 【拓展探究】 （3）第三小组通过操作还发现，将两张矩形纸片沿着对角线按如图2的方式叠放，得到的菱形面积最大，已知矩形卡片的长为8，宽为6，请求出此时菱形的面积． 【答案】（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）正确，见解析；（3） 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）裁剪后展开可知四边相等，故理由为四条边都相等的四边形是菱形； （2）先证明，则，在图③中，由折叠重合可得，，故，因此四边形是菱形； （3）由四边形是菱形，可设， 在中， 由勾股定理得，解得，则． 【详解】解：（1）四条边都相等的四边形是菱形， 故答案为：四条边都相等的四边形是菱形； （2）证明：如图： 四边形是矩形， ， 又∵， ， 在图③中，由折叠重合可得，， ， 四边形是菱形． （3）如图： 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 5．【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法取一张矩形的纸进行折叠，如图1，具体操作过程如下： 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接， 观察所得到的，，，这三个角有什么关系？你能证明吗？ 【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图2，当点在上时， ， ； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，试判断的度数是否为定值，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的探究中，当时，请直接写出的长． 【答案】探究发现: ，证明见解析；类比应用：①，；②为定值，理由见解析；拓展延伸：或 【分析】探究发现： 设与交于点，由折叠可得：是的中点，，，，推出是的中点，得到，推出，再根据平行线的性质得到，即可证明； 类比应用：①根据折叠的性质可证明，得到，，再根据勾股定理即可求解；②同探究发现可得：，再根据折叠的性质可证明，得到，最后根据即可求解； 拓展延伸：由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示，，，由勾股定理即可求解． 【详解】探究发现: ，证明如下： 如图，设与交于点， 由折叠可得：是的中点，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， ； 类比应用：①四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ， ，， ， ，， 同探究发现可得：， ； ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 在中，， 由勾股定理得：，即， ， ， 故答案为：，； ②，的度数为定值，理由如下： 如图3，延长、交于点， 同探究发现可得：， 由折叠可得：，， ， ，， ， ， ， 的度数为定值； 拓展延伸：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，，设，， ，即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图， ，，， ，，， 由（2）可知，， 设，， ，即 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 6．【模型建立】如图1，正方形中，点E，F分别在边上，，与相交于点P．线段的关系是______． 【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接； （3）在上找点G，连接，使． 【拓展提升】如图3，正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G， （1）若，求的长度=______； （2）点E，F在边上运动时，连接，求的度数． 【答案】模型建立：；迁移应用：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；拓展提升：（1）；（2） 【分析】模型建立：根据正方形的性质，根据，可得，根据全等三角形的性质，可得答案； 迁移应用：根据题意画图即可； 拓展提升：（1）过点D作，交于H，可证得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，设，利用勾股定理可求得答案； （2）作于H．利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：模型建立： 结论：．理由如下： 如图1，∵四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 迁移应用： （1）正方形即为所求； （2）如图，取中点E，连接，即为所求； （3）点G即为所求； 拓展提升: （1）过点D作，交于H， ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，使得点始终落在边上， ， ， 由（1）可知， ， 设， ， 在中，， ， 解得：， ； （2）如图4中，作于H． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 同法可证：， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键． 7．数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：． ①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线． ②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类别分析】 （2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明； 【学以致用】 （3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析（3） 【分析】（1）选小芳同学：延长，交于点，结合平行四边形的性质可证，得，即为的中点，由，，结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半可证明结论； 选小琳同学：分别取、中点、，连接，，根据三角形中位线的性质及平行四边形的性质可证、、三点在同一直线上，进而可证明垂直平分，即可证明结论； （2）由折叠可知，，，先证，得，再证，得，进而证明四边形为平行四边形，得，可知为的中点，即可证得； （3）在中，，由折叠可知，，，求得，在中，，，则，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，则，，，过点作轴于，则为等腰直角三角形，设，则，求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而可得，同理可得，直线的解析式为：，求得，得，则，即可求得，，进而可得的面积与的面积的比为． 【详解】解：（1）若选小芳同学的解题思路， 证明：延长，交于点， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， ∴； 若选小琳同学的解题思路， 证明：分别取、中点、，连接，， ∴为的中位线， ∴， 在中，，， ∵为的中点，为的中点，则，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∵，， ∴，即：， ∴垂直平分， ∴； （2），理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即为的中点， ∴． （3）在中，， 由折叠可知，，， ∵，的面积为20， ∴，则， 在中，， ∴，则， ， 以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系， 则，，， 过点作轴于，则为等腰直角三角形，设，则， 设直线的解析式为：，代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：，则， 同理可得，直线的解析式为：， 当时，，即：， ∴，则， ∴，， ∴的面积与的面积的比为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 题型02特殊平行四边形的最值问题 （1）最小值问题 8．如图，正方形的边长为，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，根据，即可得出，进而得到当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出的最小值为，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， ∵点是边的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 9．如图，菱形的边长为4，，点E在线段上，以为边在左侧构造菱形，使G在的延长线上，连接，分别取的中点H，O，连接，则 ；当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】分别取的中点，连接，由菱形的性质得到点为的中点，结合点为的中点，推出是的中位线，得到，；即，易证四边形是平行四边形，证明是等边三角形，则为定角，推出点在上运动，当时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：分别取的中点，连接， 四边形是菱形，四边形是菱形，， ∵O点为的中点， 点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ，，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 是等边三角形， 点在上运动， 当时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 此时， ； 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图，已知正方形的边长为6，动点从点A出发在边上运动，同时动点从点出发以同样的速度在边上运动．分别连接、，与相交于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和已知条件，判定三角形全等，根据全等三角形的性质和直角三角形两个锐角互余的性质，得到，再利用三角形三边关系和两点间距离最短的知识，即可找到符合题意的的E点，进而利用勾股定理等即可解出答案． 【详解】解：如图：取的中点，连接， ∵点P与点Q的速度相同， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O是的中点， ， 在中， ， ∵， ∴， 当O、E、B三点共线时，取得最小值，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是通过全等三角形得到． 11．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是 ． （2）线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短； （1）连接，勾股定理求得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据，得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求解； （2）同（1）得出四边形为矩形，当时，取最小值，即最小，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形 ∴， 故答案为：． （2）如图，连接． ，， ． 在矩形中，， 四边形为矩形， ， 的最小值即的最小值． 当时，取最小值． 在中，． ， ，即线段长度的最小值是． 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵是的中点， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设与交于O，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：设与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、含直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形．若是的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取的中点N，连接，首先求出，然后证明出，得到，当时，有最小值，即此时有最小值，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，取的中点N，连接    ∵点N是的中点，是的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵点P是对角线上的一动点 ∴当时，有最小值，即此时有最小值 ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （2）最大值问题 15．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，当三点共线时，有最大值，即有最大值，先证明，得到，再证明点N是的中点，得到，再证明，得到，进而得到，易证，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接， ，， 当三点共线时，有最大值，即有最大值，如图 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 点N与点P关于对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点N是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，三角形三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 16．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质与判定，延长到点，使得，连接，，由三角形的中位线定理得，当、、依次在同一直线上时的值最大，据此求得的最大值便可求得的最大值． 【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图， 四边形是菱形， ，， ， ， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， 当取最大值时，的值就最大， 由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上， 当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图， 由旋转性质知，， 的最大值为 ， 故答案为：． 17．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ． 【答案】 【分析】取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可． 本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图：取线段的中点E，连接， ∵，矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大． ∴点D到点O的最大距离， 故答案为：． 18．如图1，在中，是边上一点，过点作交的延长线于点，以为边作．延长交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，延长交于点，取的中点，连接．若，，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再结合，可证明结论； （2）由，得，可证，得，进而得，进而可证，得，再根据，四边形是平行四边形； （3）由且，知．进而可知点E是三条高线的交点，得，取中点Q，连接、，由直角三角形的性质可知，由三角形的中位线的性质可知，，当M、Q、N三点共线时，取最大值，进而可求解． 【详解】（1）证明：延长交于点 ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵，． ∴． ∴． ∴．即． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵且， ∴． 又∵， ∴点E是三条高线的交点． ∴． ∴是直角三角形． 取中点Q，连接、． ， 又∵点N是中点， ， ∴当M、Q、N三点共线时，取最大值． ∴最大． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 题型03中点四边形 19．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形是平行四边形； ②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形； ④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断． 【详解】①与不平行时，中点四边形是平行四边形，故存在无数个中点四边形是平行四边形，所以①正确； ②与相等且不平行时，中点四边形是菱形，故存在无数个中点四边形是菱形，所以②正确； ③与互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形是矩形，故存在无数个中点四边形是矩形，所以③正确； ④如图所示，当与相等且互相垂直时，中点四边形是正方形，故存在两个中点四边形是正方形，所以④错误． 故选A． 【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题． 【详解】解：根据中点四边形的性质可知，、 是菱形，、 是矩形， 四边形的面积， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积， ， 四边形的面积， 四边形的面积为：． 故选：C． 21．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，见解析 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题（2）的关键． （1）连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形； 理由如下：连接，如图1所示： ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形． 22．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)见解析 (3)4 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 23．综合与探究：如图1，四边形中，、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形的形状是________（直接回答，不必说明理由）． (2)如图2，在四边形内一点，使，，，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】(1)连接AD，利用三角形中位线定理，证明EH=FG，且EH∥FG即可得证． (2)连接AD，BC，证明，得到AD=CB，结合三角形中位线定理，得到四边形EFGH的四边相等，即可得到菱形EFGH． (3)连接AD，BC，交点为M，设BC与EH的交点为Q，AD与EF的交点为O，证明，判定四边形EOMQ是平行四边形，证明∠HEF=60°，连接，过点作，垂足为，求得EH，HN的长度即可． 【详解】（1）平行四边形．理由如下： 如图1，连接AD， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴EH∥AD，EH=，FG∥AD，FG=， ∴EH=FG，且EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）菱形.理由：如图2，连接，. ∵， ∴， 即. 又∵，， ∴， ∴. ∵、、、分别是、、、的中点， ∴、、、分别是、、、的中位线， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形. （3）连接AD，BC，交点为M，设BC与EH的交点为Q，AD与EF的交点为O， ∵，， ∴是等边三角形. ∵是中点， ∴平分，， ∴，点、、共线. 在中，， 在中，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵，， ∴四边形EOMQ是平行四边形， ∴. 在中，，， ∴菱形的面积. 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，灵活运用三角形中位线定理是解题的关键． 题型04与线段有关的探究问题 24．矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 25．在四边形中，对角线上有一点，延长线上有一点，连接交于点，且． (1)如图，若四边形是正方形． 求证：； 求的度数； (2)如图，若四边形是菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； ； (2)，见解析． 【分析】（）先证出，从而得到，再由即可求解； 由，根据全等三角形的性质得到，进而得，由，得到，于是，由角度和差得到结论； （）根据菱形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等量减等量差相等和等腰三角形的性质得到，等量代换得到，推出是等边三角形，即可得到结论； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：在正方形中，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2）， 理由：在菱形中，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 26．正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． (1)如图①，当点F在线段上时，求证：； (2)如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； (3)如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）过点作，先证明，得到，再证明，即可得出结论； （2）过点作，证明，得到，，再证明，得到，根据结合等量代换即可得出结论； （3）过点作，同法（2）即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作，则：， ∵正方形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）过点作，则：， 同（1）法可证：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作， 同法可证：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27．四边形是凸四边形，若线段（可以重合）满足，则称线段是关于点A的等角线段组． (1)若四边形是平行四边形，，点M，N分别在线段上．（均不与端点重合），线段是关于点A的等角线段组． ①证明：； ②写出一个的值，使得，并证明； (2)凸四边形中，，点E在线段上，且，若线段是关于点A的等角线段组，线段，是关于点C的等角线段组，求的值． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)1 【分析】（1）①由平行四边形的性质得；由线段是关于点A的等角线段组可得，由三角形外角的性质即可证明结论； ②若，则得四边形是菱形，则，由①则可证明，得，从而有，则由等腰三角形的性质即可证明； （2）延长到P，，连接；延长到G，使，连接；则，，；由线段，是关于点C的等角线段组，得，则可由可证明，得，；线段是关于点A的等角线段组，可得，从而得，则可证明，从而，即． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ； 线段是关于点A的等角线段组， ， 即， ， ， ； ②取， 则四边形是菱形， ， 由①知，，， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长到P，使，连接；延长到G，使，连接； ， ， ，； 线段，是关于点C的等角线段组， ， ， ， ，； 线段是关于点A的等角线段组， ， ， ，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是理解题目中的等角线段组的含义，灵活运用以上知识，构造适当辅助线． 28．在正方形中，，点O为对角线的中点，动点E在射线上，连接，过点E作交射线于点F．当点E与A重合时，；当点E与重合时，（点F与A重合）．    (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E在线段上时，请补全图形，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点P、C在直线的异侧，且，动点E沿着从点P向点C运动，请直接写出伴随动点F的运动路径的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)补图见解析，或 (3) 【分析】（1）过E作，交于P，交于Q，证明，．可得，从而可得结论； （2）过E作，分两种情况：①当E在上，②当E在上，利用正方形的性质，证明，由线段的和差关系可求解； （3）连接，作，交于，当点在点时，点与点重合，过点作，分别垂直，，交于点，点，过点作，交的延长线于，连接，由正方形的性质可得，，，则，，，为等腰直角三角形，证明， ，得四边形是矩形，则，可知当点从点运动到点时，点从点运动到点，当点在点时，，此时点与点重合，． 【详解】（1）证明：过E作，交于P，交于Q， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴，    ∵， ∴， 又∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴． ∴， ∴， （2）过E作，交于P，交于Q， ∴， 结合（1）可得：， ①当E在上，    由（1）得，， ∴，又，， ∴，则， ∵， ∴， ， 在中，， ∴， ②当E在上，如图，    ∵，， 则，，，， ∴，， ∴， ∴， 同上可知， ∴， ∴． （3）解：连接，作，交于，当点在点时，点与点重合， 过点作，分别垂直，，交于点，点，过点作，交的延长线于，连接，      由正方形的性质可得，，则，，，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∴当点从点运动到点时，点从点运动到点， 当点在点时，， 此时点与点重合，， ∴动点F的运动路径的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的乘法运算等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 29．【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题引申】如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，求的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的值为4或2 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，如图中，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边 三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，如图，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B时，如图中，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴， 综上所述，满足条件的的值为4或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 30．如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，． (1)请判断：与的数量关系是______，位置关系是_____； (2)如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 【答案】(1)， (2)成立，理由见详解 (3)成立，理由见详解 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形即可得出，； （2）构造辅助线后证明，利用对应边相等求证四边形是矩形后，利用等量代换即可求出，； （3）证明后，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：在正方形中，有，， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，； （2）解：成立. 过点G作，交于的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在与中，，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：成立. ∵四边形是正方形， ∴，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 31．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． (1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点E作交的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交于点G，设与的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 题型05以尺规作图为背景的探究问题 32．如图，在中，，，平分交于点D，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线，分别交于点E，O，F；③连接．根据以上作图步骤，则下列结论错误的是（    ） A．与互相垂直且平分 B．图中等腰直角三角形有8个 C．四边形为正方形 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识．由作图可知，是的垂直平分线，推出，，得到四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：∵平分，， ∴， 由作图可知，是的垂直平分线，即是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴与互相垂直且平分，选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形，共8个，选项B说法正确，不符合题意； ∵，， ∴四边形是正方形，选项C说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，，， ∴，选项D说法不正确，符合题意； 故选：D． 33．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，由作图易知是等边三角形，平分，先证明四边形是菱形，求出的长度，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点． 由作图可知， 是等边三角形， ， 由作图可知平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． 34．如图，在中，以点A为圆心、长为半径画弧交边于点E，连接，再分别以点B、E为圆心、相同的长为半轻（大于）画弧交于点F，作射线，交边于点G．若，则 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．设与相交于点O，根据已知条件得到四边形是菱形，根据勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接，设与相交于点O，    由作图可知，，， ∵四边形时平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 35．如图，正方形中，点P是线段上的动点（不与端点重合），连接． (1)仅用无刻度的直尺和圆规在直线上作点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若正方形的边长为1，，，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图-基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握基本作图的步骤和正方形的性质是解题的关键； （1）根据作一角等于已知角的步骤，在上任取一点P，连接，分别以P、C为圆心，以任意长为半径画弧，交、、于点F、G、H，以点H为圆心，以长半径画弧， 交原弧于点M，连接并延长交于点E，点E即为所求． （2）连接，作，垂足为F， 根据正方形的性质，得，，证明，得，，在证，得F是的中点， 【详解】（1）如图所示：点E即为所求， （2）正方形的边长为1，，， 连接，作，垂足为F， 四边形是正方形， ，， 在和中 ， ，， ， 在四边形中，， ， ， ， ， F是的中点， 正方形的边长为1，， ，， ， 点P是线段上的动点（不与端点重合）， ， ， ． 36．如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线分别交于点M，N，O，连接和； (2)在（1）的条件下，若四边形的周长为16，求的长． 【答案】(1)详见解析(2)4 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则．又由即可证明四边形是平行四边形．由垂直平分线段得到，即可证明四边形是菱形，根据菱形的周长即可求出的长． 【详解】（1）如图所示： （2）∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵垂直平分线段， ∴． ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长． ∴． 37．如图，已知矩形，点是中点，连接． (1)尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是： （1）以C为圆心，为半径画弧，以E为圆心，为半径画弧，两弧相交于F，连接，即可； （2）先判断，利用等边对等角得出，利用余角的性质得出，利用等角对等边得出，利用等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：是直角三角形， 理由：如图， ∵矩形， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵、关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 38．情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 题型06正方形的常见模型 （1）一线三垂直模型 39．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2） 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键． 40．下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．） (1)请你思考题中“提示”，并进行证明； (2)如图1，连接交于，判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，证明过程见详解 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中位线知识，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据题中条件证明，从而证明； （2）作辅助线，连接，证明，从而判断与的数量关系； （3）作的外接圆，圆心为O，作交于R，作交于H，先根据圆周角定理得到，设圆O半径为r，得到，再根据正方形的性质求出，列出不等式，求出，最后根据作答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 为正方形外角角平分线， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， （2）连接，如图所示： 由（1）得， 为等腰直角三角形， ，， ， （3）如图，作的外接圆，圆心为O，作交于R，作交于H， ∵，， ∴， ∴， 设圆O半径为r，则，， 由图可知，， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 解得：， ∴的最小值． 故答案为： 41．如图，四边形是正方形，点是线段的延长线上一点，点是线段上一点，连接，以点为直角顶点作交的角平分线于，过点作交于，连接，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）在边上截取线段，使连，证明即可求解； （2）由（1），证明四边形为平行四边形即可求解； （3）过作垂足为，由（2）知，；得到，，平分所以，可知三角形是等腰直角三角形，再用勾股定理即可求出和MN和DN． 【详解】（1）证明：在边上截取线段，使连． ∵四边形是正方形 ; ∵BN平分 在中,, 在和中 ∴ ． （2）如图， 设与CE的交点为H， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ 在和中， ∴． 又， 又． 四边形为平行四边形． ． （3）解：如图所示，过作垂足为． 由（2）知， ， 又 ∴即 平分所以， ∴三角形是等腰直角三角形， 在中， 设，则，即， ． ，， 在中，， 又在中，，， ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和判定以及勾股定理的应用，掌握它们的性质和判定是解题的关键． （2）45°角模型 42．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又 ， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ， ， ， ， 解得 ， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 43．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求． （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论． （3）把绕点逆时针旋转，使与重合，点B对应点为点F，连接和即可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， ， ， ， ． （2），证明如下： 如下图，把绕点逆时针旋转，与重合， ，， ，， ， ； ； 在和中， ， ∴；    ∴； ∵； 即． （3）如图1.解：∵，， ∴， 把绕点逆时针旋转，与重合，点的对应点为点； ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中， ， ； ； ；    在和中， ， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， ∵是等腰直角三角形； ∴， ， 同理把绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，；    ； ，； ； 在直角中，； ∴ ∴， 由旋转的性质可知，； 是等腰直角三角形； ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键． 44．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH； （2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH； （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABM和Rt△ADN中， ∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°， ∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN， ∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°， ∴∠BAM＝∠MAH， 在Rt△ABM和Rt△AHM中， ∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS）， ∴AB＝AH， 故答案为：AB＝AH； （2）AB＝AH成立，理由如下： 延长CB至E，使BE＝DN，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠EAB＋∠BAM＝45°， ∴∠EAM＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图： ∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7， 设AH＝AB＝BC＝CD＝x， 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 45．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （3）在DN上取一点G，使得，连接AG，先证明，再证明，设，根据可求得，由此可得，最后再证明，由此即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ∴， 故答案为：； （3）如图，在DN上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∴CP的长为3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的的关键． 46．如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求线段的长； (3)如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据正方形性质和轴对称性质得到，，，得到，得到，得到，即得； （2）当时，，，得到．．设，则，，根据勾股定理得到，得到； （3）过点H作于点M，则，，由角平分线性质和对称性质推出，得到是等腰直角三角形，，推出，根据，得到，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点B关于的对称点为F， ∴，，， ∵． ∴， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．． 设则， ∵， 即， 解得：； ∴； （3）过点H作于点M，    则， ∴， ∵平分， ∴， 由轴对称可知，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形，轴对称．熟练掌握正方形性质，轴对称性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （3）“十字架”模型 47．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 48．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接、，点M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形； （3）解：延长交于，如图3， 由对称性可知，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 题型07与特殊平行四边形有关的动点问题 49．如图，在矩形中，O为对角线的中点，，动点E在线段上，动点F在线段上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持，点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中．四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→平行四边形→正方形→平行四边形→菱形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→菱形→平行四边形 【答案】A 【分析】根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明，，即得四边形是平行四边形；当E、F、O三点重合时，可证，即得四边形是菱形；当E、F分别是，的中点时，设，通过计算，利用勾股定理逆定理即可再证明，因此四边形是矩形；当F、E分别与D，B重合时，可证四边形是菱形，由此即可判断答案． 【详解】四边形是矩形， ，， ，， ，， ， 点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，， ，，，， ， 而，， ， 同理， ， ， 四边形是平行四边形； 如图所示， 当E、F、O三点重合时，， ， 即， 四边形是菱形； 如图所示，连结，， 当E、F分别是，的中点时， 设，则，， 在中，，， ，， 是等边三角形， E是的中点， ，， ， 根据对称性可得， ，，， ， 是直角三角形，且， 四边形是矩形； 当F、E分别与D，B重合时，，都是等边三角形， 则四边形是菱形； 在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 50．如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1)当时，四边形是正方形； (2)当时； (3) 【分析】（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，然后解方程即可解答； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积为，即，解得，则，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可解答． 【详解】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 51．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； (3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过秒，四边形是平行四边形 (3)不能成为菱形，见解析 【分析】（1）如图，过C作于E，则，，由勾股定理得，，则，由平行四边形，可知，，进而可得； （2）设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，由题意知，，，，由四边形是平行四边形，可得，即，计算求解即可； （3）由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时，由，可知平行四边形不能是菱形． 【详解】（1）解：如图，过C作于E， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形， 由题意知，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， ∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形； （3）解：不能成为菱形，理由如下； 由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时， ∵， ∴平行四边形不能是菱形． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的 应用，菱形的判定等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的应用，菱形的判定是解题的关键． 52．在矩形中，，，E，F是对角线上的两个动点，点E，F分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，G，H分别是，的中点，连接，，，． (1)四边形的形状一定是______（点E，F相遇时除外）． (2)当四边形为矩形时，请求出t的值． (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，可得，，可得，证明，从而可得结论； （2）连接，证明四边形是矩形，可得，求解，①如图，当点E，F相遇前，②如图，当点E，F相遇后，再进一步解答即可； （3）如图，设M，N分别为和的中点，连接，，，令与相交于点O．证明四边形为菱形，可得，设，则，再利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）解：四边形的形状一定是平行四边形；理由： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ①如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 解得； ②如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得．         综上所述，四边形为矩形时，或． （3）解：如图，设M，N分别为和的中点，连接，，，令与相交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则 由勾股定理，可得， 即， 解得． ∵=，即， 当四边形为菱形时，t的值为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 53．综合实践 【问题】  小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图1，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为，在整个过程中，四边形形状的变化依次是什么？ 【探究】（1）小张觉得在点运动的过程中，四边形的两组对边分别相等，所以四边形形状必定为______； （2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索： ①小王看到四边形的四边分别经过了原矩形的四个顶点，并说道：在图1中，连接和，只要能说明为即可，其余三条边都可以用这个方法证明．请你根据小王的说法，证明边经过点． ②小王发现，点在点时，四边形为菱形；点分别运动到终点时，四边形为菱形；并猜想点在运动过程中，四边形能为矩形．请你利用图2判段点在运动过程中，四边形否能为矩形？若能请找到点的位置并证明此时四边形为矩形；若不能，也请说明理由． 【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、菱形的结论．如图3，在原题的基础上，将条件变为，，其余条件不变，小袁发现在点运动过程中，四边形依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩形的周长． 【答案】（1）平行四边形；（2）见解析（3）40；39.2 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可； （2）①根据，可得，从而证明此三点共线； ②四边形能为矩形，此时点为中点，证明是直角三角形，且即可； （3）分别找出四边形是菱形或矩形的情况，再分别求出菱形或矩形的边长，根据周长计算公式求解即可． 【详解】解：如图1中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知：， ∴，， 由轴对称的性质可知：， ∴， ∴三点在同一条直线上， 同理，三点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知：， 又∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∵点F与点关于对称， ∴， 同理可知：，，， 又∵在矩形中，， ∴四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①如图，由轴对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴边经过点． ②四边形能为矩形，此时点为中点，理由如下： 如图所示，当E，F分别为的中点时，设，则，， 又∵在中，， ∴，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∵E为中点， ∴， ∴． 根据轴对称的性质可得 ． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形． 即四边形能为矩形，此时点为中点； （3）如图所示，当E，F，O三点重合时，， ∴，即， 又∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． ∵，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴菱形的周长为； 如图所示，四边形是矩形，则， 连接和， 由对称性可得：， 即当时，四边形是矩形， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为：． 答：形成的菱形和矩形的周长分别为40和． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 54．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．    (1)的长是_______，的长是_______． (2)在D、E的运动过程中，线段与的关系是否发生变化？若不变化，那么线段与是何关系，并给予证明．若变化，请说明理由． (3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． (4)当t为何值，的面积是？ 【答案】(1)10，5 (2)不变化，与平行且相等； (3)能，当秒时，四边形为菱形； (4)当秒时，的面积是． 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，即可求解； （3）根据菱形的判定可得当时，平行四边形为菱形，得到关于t的方程，即可求解； （4）由，，求得，，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由勾股定理得：； 解得，， 故答案为：10，； （2）解：与平行且相等． 证明：由题意得：， 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与平行且相等； （3）解：四边形能够成为菱形．理由如下： 由（2）知：四边形为平行四边形， ∵， ∴． 当时，平行四边形为菱形， 即， 解得：． 即当秒时，四边形为菱形； （4）解：∵，， ∴，， 由题意得，即， 解得（舍去负值）， ∴当秒时，的面积是． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 题型08一次函数与特殊平行四边形的综合问题 55．如图，正方形的顶点A，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ． 【答案】 【分析】过B作于M，过C作于N，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为，由待定系数法求出直线l的解析式为，设平移后点C的坐标为，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作于M，过C作于N， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 同理可证， ，， ， ， ∵点在直线上， ， ， ∴直线l的解析式为， 设正方形沿y轴向右平移m个单位长度后点C的坐标为， ∵点C在直线l上， ， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出C点的坐标是解决问题的关键． 56．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向右平移个单位得线段，其中点的对应点为点．    (1)请直接写出点的坐标和长方形的面积； (2)点是轴上的动点，连接． 当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，若三角形的面积为，请求出此时三角形的面积； 当将长方形的面积分成相等的两部分时，连接，画出图形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) ； ． 【分析】（）由平移的性质得出点坐标，，再求出，即可求解； （）先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可求解；当将长方形的面积分成相等的两部分时，点为矩形的对角线的延长线与轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式即可求解； 本题考查了平移的性质，矩形的判定，三角形的面积，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，将向右平移个单位得线段， ∴，即， 由平移得，，四边形是矩形， ∵ ，， ∴， ∴， 即四边形的面积为； （2）解：如图，过点作于，由平移知，轴，    ∵， ∴，     由平移知，， ∴， ∴， ∴； 如图，当将长方形的面积分成相等的两部分时，点为矩形的对角线的延长线与轴的交点，    ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为，把代入得， ， 解得， ∴， ∴． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点B，与直线：交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点D是线段上一点，且的面积是面积的，求直线的解析式； (3)点P是直线上一点，点Q是平面内任意一点，若以点O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的图象及性质，菱形的性质等； （1）根据一次函数上点的坐标特点，分别求出A、B点坐标，再由方程，求出C点坐标； （2）可求，，根据题意得方程，求出t的值即可确定D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （3）设，，根据菱形对角线分三种情况讨论，分别建立方程组求Q点坐标即可． 熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 当时， 解得：， ； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设，， ①当为菱形的对角线时，， ∴， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，， ， 解得（舍去）或， ； ③当为菱形的对角线时，， ， 解得或， 或； 综上所述：Q点坐标或或或． 58．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、顶点，且b、c满足，点． (1)顶点C的坐标为_______；线段的长度是________； (2)已知点E是线段上的动点，点F是线段AC上的动点，点，当的值最小时，求F点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，请问存在以点A、F、P、Q为顶点的四边形是以AF为边的矩形吗？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由二次根式中可求出的值，从而可求出的值，由勾股定理得，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，从而可得平分，作关于对称点，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，当、、三点共线，且轴时，最小，最小，再用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解； （3）①当在轴上时，此时矩形为，作，将直线绕逆时针旋转得直线，由平行直线的相等得直线的解析式为，可求直线的解析式为，用待定系数法可求直线的解析式为， 直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解；②当在轴上时，此时矩形为，同理可求直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得：， ， ， ，， ； 故答案：，； （2）解：如图， ， ， ， 四边形是矩形， 轴， ， ， 平分， 如上图，作关于对称点，连接， ， 在和中 ， ()， ， 当、、三点共线，且轴时，最小， 最小， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， ； （3）解：存在，理由如下： 如图， ①如上图，当在轴上时， 此时矩形为， 如图，作，将直线绕逆时针旋转得直线， ， 直线的解析式为， 设()， ， 由旋转得：， 设直线的解析式为，则有， ， ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时， ， 解得：， ， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得 ， 解得， ； ②当在轴上时， 此时矩形为， 由①可求， 同理可求： 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得 ， 解得， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查了线段和最小值问题，待定系数法，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，两直线平行相等，掌握待定系数法、相关的判定方法及性质，能找出取得最小值的条件，根据矩形的顶点位置进行分类讨论是解题的关键． 59．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点； ①求出所在直线的解析式及点F坐标； ②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)①，点F坐标为；②存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）对运用勾股定理求解即可； （2）先证明，设，则，， 在中，由勾股定理得，求出点，而点，即可求直线的表达式； （3）①待定系数法求直线表达式，交点只需联立两条直线表达式，解方程组即可； ②分类讨论：以为边；以为对角线，两种情况，根据菱形的四条边相等即对角线垂直的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题知，在矩形中，点B的坐标是， ∴，，， ∴； （2）解：解：过点E作， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：①在矩形中，点B的坐标是， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线和直线交于点F， ∴， 解得：， ∴， ②当、都为菱形的边时，如图： ， ∴或； ②当为菱形的边，为菱形对角线时，如下图， ∴， ∴， 综上，满足条件的点m的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题，涉及矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，以及用待定系数法求解析式等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 60．在平面直角坐标系中，如果点，为某个菱形一组对角的顶点，且点，在直线上，那么称该菱形为点，的“关联菱形”．例如，图1中的四边形为点，的“关联菱形”． 已知点，点．    (1)当时， ①在点，，中，点　　　　能够成为点，的“关联菱形”的顶点； ②当点，的“关联菱形”的面积为8时，求点的坐标； (2)已知直线与轴交于点，与轴交于点，若线段，且点是点，的“关联菱形”的顶点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①和；②点的坐标为或； (2)，且，1 【分析】（1）①根据“关联菱形”的定义即可求解； ②由菱形的性质结合勾股定理，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）由题意可得，，于是得到，求得，设点，的“关联菱形”的顶点在直线上，要使“关联菱形”存在，则点不在直线和上，以此可得，，4，设的中点为，则，求得点，的“关联菱形”的顶点在直线上，再将点代入得到，以此即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①如图，   ，． 由菱形的对角线互相垂直平分可知，能够成为点，的“关联菱形”的顶点在线段的垂直平分线上， 点， ∵，，， ∴点不符合题意； 点， ∵，，， ∴点符合题意； 点， ∵，，， ∴点符合题意； 故满足该条件点为和； 故答案为：和； ②如图，设的中点为，则，过点作的垂线交坐标轴分别为，轴于点，    ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ， 依题意，点，在直线上， 点，的“关联菱形”的面积为8， ，即， ， 设， ， 解得：，， 或； （2）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，， ， ， ， ， 设点，的“关联菱形”的顶点在直线上， 当直线过点时，则， 点是点，的“关联菱形”的顶点， ， 解得：，此时无法构成菱形， 当时，在直线上，此时也无法构成菱形， ，且，， 设的中点为，则， 则， 解得：， 点，的“关联菱形”的顶点在直线上， 点是点，的“关联菱形”的顶点， ， ， ，且，4， ，且，． 【点睛】本题主要考查函数中的新定义问题、菱形的性质、两点间的距离公式、两直线垂直在函数中的应用，熟练掌握菱形的性质，利用菱形的对角线互相垂直平分正确设出“关联菱形”的顶点所在直线的解析式是解题关键． 试卷第2页，共142页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$