第03讲 有理数的加法和减法（4大知识点+7大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第03讲 有理数的加法和减法 课程标准 学习目标 1. 有理数的加法法则 2. 有理数的减法法则 3. 有理数的加减混合运算 1.理解并掌握有理数的加法法则； 2.能熟练运用加法运算律简化运算； 3.理解并掌握有理数的减法法则； 4.能熟练运用加减混合运算. 知识点01 有理数的加法法则 有理数的加法法则: 1． 两个负数相加，结果是 负数 ，并把它们的 绝对值 相加. 2． 异号两数相加,当两数的绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3． 互为相反数的两个数相加得0. 4． 一个数与0相加,仍得这个数. 【即学即练1】 有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为， 故选：A． 知识点02 有理数加法运算律 有理数加法运算律: 1.交换律:两个有理数相加,交换加数的位置,和不变.即a+b=b+a. 2.结合律:三个有理数相加,先把前两个数相加,再把结果与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加,和不变.即 a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c. 【即学即练1】 1．是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律， 故选：A 知识点03 有理数的减法法则 有理数的减法法则： 减去一个数,等于加上这个数的相反数. 式子表示:a-b=a+(-b). 运算步骤:(1)将减号变为加号,同时将减数变为它的相反数; (2)利用有理数的加法法则进行计算 【即学即练1】 1．计算的结果是（     ） A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 知识点04 有理数的加减混合运算 1.引人相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算:a+b-c=a+b+(-c). 【即学即练1】 1．式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 【详解】解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 【即学即练2】 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法化为加法，再运用加法结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】下列四个数中，与的和为0的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．找出的相反数即为所求． 【详解】解∶∵的相反数是， ∴与的和为0的是， 故选：B． 【变式1】已知且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键．根据，得出，根据得出，． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 题型02 有理数加法的应用 【典例1】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 【变式1】手机移动支付给生活带来便捷．如图是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　）    A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法的实际应用．将所有数据相加后，根据和的情况进行判断即可，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ∴妈妈当天微信收支的最终结果是收入49.00元； 故选A． 【变式2】太原市某星期一的最高温度是，之后几天的最高温度变化如表所示，最高温度比前一天高记为正数，比前一天低记为负数，则五天中温度最高的是星期 ． 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 温度变化（单位：℃） 【答案】二 【分析】本题考查了有理数加法运算，正负数的应用，有理数大小比较，根据题意算出每天的温度进行比较即可． 【详解】解：星期一的最高温度是， 星期二的最高温度是， 星期三的最高温度是， 星期四的最高温度是， 星期五的最高温度是， ∴星期二的最高气温最高． 故答案为：二． 题型03 加法运算律 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 【变式1】下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【变式2】计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）从左往右计算，即可求解； （2）利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：（1） （2） 题型04 有理数的减法运算 【典例1】计算的结果（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】计算的结果为（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】若点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算以及数轴，根据点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，得点B在数轴上表示的数是，计算即可作答． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度， ∴， 则点B表示的数是， 故答案为：． 题型05 有理数减法的应用 【典例1】在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作，则小亮跳出了1.65m，应记作（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数减法，根据题意得，由可得结论 【详解】解，根据题意得， 【变式1】西安市2023年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是，则这天的最高气温比最低气温高（    ） A．10℃ B． C．6℃ D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温列式并求解是解答的关键． 【详解】解：这天的最高气温比最低气温高， 故选A． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，再计算加减运算即可； （2）把分数化为小数，再计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 【变式1】计算 (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）先把小数化为分数，结合运算律，再计算即可； （2）利用加法运算律，先计算和为的两个数的加法，再计算即可. 【详解】 （1） ； （2） 题型07 有理数加减混合运算的实际应用 【典例1】某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减的运用，根据题意列式计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故6天以来亏损了4元， 故选：A． 【变式1】小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键． 由题意知，，进而可得A表示的数为． 【详解】解：由题意知，， ∴A表示的数为， 故选：B． 【变式2】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的加减运算应用，理解题意，先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， 由题意得：第30秒对应的数为： ， 故答案为：2． 1．实数3与的和是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法．根据题意，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可． 【详解】解：依题得． 故选：B． 2．如果两个数的和为负数，那么这两个数（   ） A．都是正数 B．都是负数 C．至少有一个正数 D．至少有一个负数 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法．利用有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：如果两个有理数的和是负数，那么这两个数至少有一个负数， 故选：D． 3．如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的特征，有理数的加减法，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【详解】解：A、原点在点A的左侧时，，符合题意； B、原点在A，B两点之间时，则，不符合题意； C、 原点在B，P两点之间，则，不符合题意； D、 原点在点P的右侧，则，不符合题意； 故选A． 4．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解： ，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 5．数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数、，的中点为P，若，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（    ） ①当时，点O与点P重合；    ②当时，点O在线段上； ③当点O在点P的左侧时，；    ④当点O在线段上时，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点中点计算公式，有理数加法中的符号问题，绝对值的几何意义，根据中点可得表示的数是，再根据及，的大小，判断，，，三点所表示的数的正负，从而将进行判断． 【详解】解：∵的中点为， ∴表示的数是，， 当时，则，两点表示的数互为相反数，此时，即：此时点表示的数是0， ∴点O与点P重合，故①正确； 当时， ∴ ∴表示的数是负数， ∴点O在点P右侧，即点O不在线段上，故②错误； 当点O在点P的左侧时，则， ∴，故③正确； 当点O在线段上时，则， ∴，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 6．中岳嵩山，是我国著名的五岳之一，位于河南省郑州市登封市．已知嵩山山顶某日早晨的气温是，到中午上升了，则这天中午嵩山山顶的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意列式计算即可，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 这天中午嵩山山顶的气温是， 故选：C． 7．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数，数学常识，本题是阅读型题目，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键．依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：； 故选：B． 8．应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据加法交换律与结合律，即可作答． 【详解】应用了加法交换律与结合律， 故选：C． 9．若，则“□”表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算．根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 10．如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为，F点的海拔高度为 (以海平面为基准)，则点E比点F高（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用减去可得答案． 【详解】解：由题意得，， 即点比点高． 故选：A 11．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 12．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 13．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）（单位：m）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 则下列说法正确的有（　　） ①这个星期的水位总体下降了0.01m； ②本周中星期一的水位最高； ③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43m． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减等知识，根据正数和负数表示相反意义的量和有理数的加减即可解此题，理解正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：① 故这个星期的水位总体下降了m，①正确； ②星期一： 星期二： 星期三： 星期四： 星期五： 星期六： 星期天： 本周中星期一的水位最高，②正确； ③本周中星期六的水位比星期二下降了：，③正确； 综上所述，下列说法正确的有：①②③ 故答案为：． 14．阳光明媚的清晨，蜗牛从树根沿着树干笔直往上爬，又下滑，这样一共反复两次，则该蜗牛此时距离树根（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数加减运算的实际应用，弄清题意是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可求出所求． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 二、填空题 15．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    【答案】小于 【分析】本题考查数轴，涉及绝对值的性质，以及有理数的加法性质，掌握有理数的加法性质是解题的关键． 根据数轴，利用有理数加法性质比较和的大小． 【详解】解：由图可得，且，， 根据有理数加法性质，正数加负数，符号取绝对值大的数，数字用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． ． 故答案为：小于． 16．计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 17．比18小5的数是 ，比小的数是 ． 【答案】 13 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴比18小5的数是13，比小的数是． 故答案为：13；． 18．冰融化成水体积将减少，那么水结成冰体积将增加 ． 【答案】/0.1 【分析】本题考查了分数加减法的应用，根据题意求出冰的体积是水的体积的，即可求解． 【详解】解：因为冰融化成水体积将减少， 所以，水的体积是冰的体积的， 所以，冰的体积是水的体积的， 所以，水结成冰体积将增加， 故答案为：． 19．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，化简绝对值，先化简绝对值，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 20．几个（至少两个）连续整数的和为7，则这几个连续整数中最大数与最小数的差的绝对值为 ． 【答案】1或6或13 【分析】本题考查有理数的加减法运算，整数和为7，数字较小，依次列出符合题意的整数，进而根据题意求得最大数与最小数的差的绝对值． 【详解】解：由连续几个(至少两个)整数的和为7，得 ，则； ，则； ，则， 故答案为：． 21．今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共 千克． 【答案】41 【分析】本题考查的是有理数的加减运算的实际应用，包菜的重量减去白菜的重量=包菜和花菜的重量-花菜和白菜的重量，包菜和菠菜的重量=包菜的重量减去白菜的重量+白菜和菠菜的重量． 【详解】解：∵包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克， ∴包菜的重量减去白菜的重量为13千克， ∵白菜和菠菜共28千克， ∴包菜和菠菜共41千克， 故答案为：41． 三、解答题 22．尊老爱幼是我国的传统美德．九九重阳节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老年人（周岁以上）．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名老人送到目的地时，小王在出发点的什么方向，距离是多少？ (2)若出租车耗油量为升千米，这天上午小王的出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)最后一名老人送到目的地时，小王在出发点西边千米； (2)共耗油升． 【分析】（）规定向东为正，向西为负，依题意列式求出和即可； （）所有记录数的绝对值的和升，就是共耗油数； 此题考查了有理数的加法、正数和负数的意义及绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义． 【详解】（1）∵（千米）， 答：最后一名老人送到目的地时，小王在出发点西边千米； （2）（千米）， 则（升）， 答：共耗油升． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加法．熟练掌握有理数加法的运算法则和运算律，是解题的关键． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的加减运算是解题的关键．先求出绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 25．邵阳市足球联赛中，由于两队水平相当，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回跑记作负数．一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？通过计算说明． 【答案】(1)守门员最后不能回到球门线上，离球门线1米处 (2)守门员离开球门线的最远距离达14米 (3)对方球员有3次挑射破门的机会 【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数的意义是正确解答的关键． （1）求出守门员移动情况的和即可； （2）求出每一次移动后所得到的结果，根据结果的绝对值的大小即可得出答案； （3）比较每一次移动后所得到的结果，根据结果的绝对值与10米比较可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：（米） 则守门员最后不能回到球门线上，离球门线1米处； （2）解：（米）， （米）， （米） （米）， （米）， （米）， （米） 则守门员离开球门线的最远距离达14米； （3）解：根据题意得：10米，14米，10米； 则对方球员有3次挑射破门的机会． 26．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模式，实行网上销售，刚大学毕业的小强把自家的冬枣产品放到网上，他原计划每天卖100千克，但由于种种原因，实际每天的销售量相比原计划有出入，下表是上周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额 (1)根据记录的数据求出销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (2)求上周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少千克？ (3)上周星期一的前一天小明卖了100千克冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量，完成下面的销售变化表（单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与前一天相比的变化量 【答案】(1)销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克； (2)上周实际销售总量与计划总量相比，增加了千克； (3)见解析． 【分析】本题主要考查正数与负数，有理数的运算，找准题目中的等量关系是解题的关键． （1）利用7天计划量的最大差额−最小差额可求解； （2）将表中计划量的差额相加即可求解． （3）根据计划量的差额可求解每一天的实际销售量，进而可求解本周每天实际销售量比前一天的变化量，再列表即可求解； 【详解】（1）解：（千克）， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克． （2）解：（千克）， 答：上周实际销售总量与计划总量相比，增加了千克． （3）解：星期一实际销售（千克）， 星期二实际销售（千克）， 星期三实际销售（千克）， 星期四实际销售（千克）， 星期五实际销售（千克）， 星期六实际销售（千克）， 星期日实际销售（千克）， 上周每天实际销售量相比前一天的变化量分别为：． 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与前一天相比的变化量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的加法和减法 课程标准 学习目标 1. 有理数的加法法则 2. 有理数的减法法则 3. 有理数的加减混合运算 1.理解并掌握有理数的加法法则； 2.能熟练运用加法运算律简化运算； 3.理解并掌握有理数的减法法则； 4.能熟练运用加减混合运算. 知识点01 有理数的加法法则 有理数的加法法则: 1． 两个负数相加，结果是 ，并把它们的 相加. 2． 异号两数相加,当两数的绝对值 时,取绝对值较大的加数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3． 互为相反数的两个数相加得 . 4． 一个数与0相加,仍得 . 【即学即练1】 有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（  ） A． B． C． D． 知识点02 有理数加法运算律 有理数加法运算律: 1.交换律:两个有理数相加,交换加数的 , 不变.即a+b= . 2.结合律:三个有理数相加,先把前两个数 ,再把结果与第三个数 ;或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加, 不变.即 a+b+c= . 【即学即练1】 1．是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 知识点03 有理数的减法法则 有理数的减法法则： 减去一个数,等于加上这个数的 . 式子表示:a-b= . 运算步骤:(1)将减号变为 ,同时将 变为它的相反数; (2)利用有理数的 进行计算 【即学即练1】 1．计算的结果是（     ） A． B．5 C．1 D． 知识点04 有理数的加减混合运算 1.引人相反数后,加减混合运算可以统一为 运算:a+b-c= . 【即学即练1】 1．式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【即学即练2】 2．计算：． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】下列四个数中，与的和为0的是（    ） A． B． C． D．2 【变式1】已知且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 题型02 有理数加法的应用 【典例1】中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】手机移动支付给生活带来便捷．如图是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　）    A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【变式2】太原市某星期一的最高温度是，之后几天的最高温度变化如表所示，最高温度比前一天高记为正数，比前一天低记为负数，则五天中温度最高的是星期 ． 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 温度变化（单位：℃） 题型03 加法运算律 【典例1】计算：． 【变式1】下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算 （1） （2） 题型04 有理数的减法运算 【典例1】计算的结果（    ） A．2 B． C．1 D．0 【变式1】计算的结果为（    ） A． B．1 C．5 D． 【变式2】若点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ． 题型05 有理数减法的应用 【典例1】在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作，则小亮跳出了1.65m，应记作（　　） A． B． C． D． 【变式1】西安市2023年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是，则这天的最高气温比最低气温高（    ） A．10℃ B． C．6℃ D． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】计算 (1) (2) 【变式1】计算 (1) (2) 题型07 有理数加减混合运算的实际应用 【典例1】某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【变式1】小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ） A． B． C． D． 【变式2】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 1．实数3与的和是（    ） A． B．1 C． D．5 2．如果两个数的和为负数，那么这两个数（   ） A．都是正数 B．都是负数 C．至少有一个正数 D．至少有一个负数 3．如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 4．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数、，的中点为P，若，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（    ） ①当时，点O与点P重合；    ②当时，点O在线段上； ③当点O在点P的左侧时，；    ④当点O在线段上时，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．中岳嵩山，是我国著名的五岳之一，位于河南省郑州市登封市．已知嵩山山顶某日早晨的气温是，到中午上升了，则这天中午嵩山山顶的气温是（    ） A． B． C． D． 7．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 8．应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上都不是 9．若，则“□”表示的数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为，F点的海拔高度为 (以海平面为基准)，则点E比点F高（　　） A． B． C． D． 11．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 12．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 13．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）（单位：m）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 则下列说法正确的有（　　） ①这个星期的水位总体下降了0.01m； ②本周中星期一的水位最高； ③本周中星期六的水位比星期二下降了0.43m． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．阳光明媚的清晨，蜗牛从树根沿着树干笔直往上爬，又下滑，这样一共反复两次，则该蜗牛此时距离树根（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    16．计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 17．比18小5的数是 ，比小的数是 ． 18．冰融化成水体积将减少，那么水结成冰体积将增加 ． 19．计算 ． 20．几个（至少两个）连续整数的和为7，则这几个连续整数中最大数与最小数的差的绝对值为 ． 21．今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共 千克． 三、解答题 22．尊老爱幼是我国的传统美德．九九重阳节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老年人（周岁以上）．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名老人送到目的地时，小王在出发点的什么方向，距离是多少？ (2)若出租车耗油量为升千米，这天上午小王的出租车共耗油多少升？ 23．计算： (1)； (2)． 24．计算：． 25．邵阳市足球联赛中，由于两队水平相当，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回跑记作负数．一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？通过计算说明． 26．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模式，实行网上销售，刚大学毕业的小强把自家的冬枣产品放到网上，他原计划每天卖100千克，但由于种种原因，实际每天的销售量相比原计划有出入，下表是上周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额 (1)根据记录的数据求出销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (2)求上周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少千克？ (3)上周星期一的前一天小明卖了100千克冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量，完成下面的销售变化表（单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与前一天相比的变化量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$