第04讲 有理数的乘法和除法（4大知识点+6大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第04讲 有理数的乘法和除法 课程标准 学习目标 1. 有理数的乘法法则及乘法运算律 2. 有理数的除法法则 3. 有理数的乘除混合运算 1.理解并掌握有理数的乘法法则； 2.能熟练运用乘法运算律简化运算； 3.理解并掌握有理数的除法法则； 4.能熟练运用乘除混合运算. 知识点01 有理数的乘法法则 有理数的乘法法则: 1． 异号两数相乘得负数,并把绝对值相乘. 2． 同号两数相乘得正数,并把绝对值相乘. 3． 任何数与0相乘,都得 0 . . 【即学即练1】 1.若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 知识点02 有理数乘法运算律 有理数乘法运算律: 1.交换律:两个有理数相乘,交换因数的位置,积不变,即a×b=b×a. 2.结合律:对于三个有理数相乘,可以先把前两个数相乘,再把结果与第三个数相乘;或者先把后两个数相乘,再把第一个数与所得结果相乘,积不变,即(a×b)×c=a×(b×c). 3.分配律:一个有理数与两个有理数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.即a×(b+c)=a×b+a×c. 推广:a×(b+c+…十n)=a×b+a×c十…十a×n. 注意:运用运算律时,要连同因数的符号一起交换、结合、分配. 【即学即练1】 1.下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键． 将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意； B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意； C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意； D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 知识点03 多个有理数相乘 1. 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正. 2. 几个数相乘,若有一个因数为0,则积为 0. 【即学即练1】 1.计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 知识点04 倒数 1. 定义:一般地,如果两个数的乘积等于1,我们把其中一个数叫做另一个数的倒数,也称它们互为倒数. 2. 性质:如果a,b互为倒数,那么 ab=1. 注意:0没有倒数. 【即学即练1】 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求一个数的倒数，根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 【即学即练2】 2. 与互为倒数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与互为倒数， ， ， 故选：A． 知识点04 有理数的除法法则 有理数的除法法则: 1. 同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,并把它们的绝对值相除. 2. 0除以任何一个不等于0的数都得0. 3. 除以一个不等于零的数等于乘这个数的倒数.用字母表示:a÷b=. 【即学即练1】 1.计算的结果是（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B 知识点05 有理数的乘除混合运算 1.运算顺序:有理数的乘除混合运算,若无括号,应按从左到右的顺序依次计算. 2.运算步骤:先将除法转化为乘法,然后确定积的符号,最后确定积的绝对值. 【即学即练1】 1.计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【详解】解： ． 故选：A． 题型01 有理数的乘法运算 【典例1】下列说法中，正确的个数有（    ）个 ①正数、负数和零统称有理数；②数轴上点表示的数都是有理数；③0是绝对值最小的有理数；④几个有理数的积为正数，那么负因数有偶数个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数与数轴，绝对值和有理数的乘法计算，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称有理数，原说法错误，不符合题意； ②数轴上点表示的数不都是有理数，原说法错误，不符合题意； ③0是绝对值最小的有理数，原说法正确，符合题意； ④几个有理数的积为正数，那么负因数有偶数个，原说法正确，符合题意． 故选：B． 【变式1】如果，那么（    ） A． B． C．a，b异号且负数的绝对值较小 D．a，b异号且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的加法和乘法，掌握有理数的加法和乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则，有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：，且， ，异号且负数的绝对值较小． 故选：C． 【变式2】下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法法则，相反数的概念； 根据有理数乘法法则和相反数的概念，进行判断便可． 【详解】解：①同号两数相乘，积为正号，不是符号不变，该说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该说法错误； ④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该说法错误； 故选：A． 题型02 有理数乘法的应用 【典例1】一种商品原价500元，先提价再降价，现在售价（　　）元． A．550 B．500 C．495 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用．根据题目所给的调价方式进行计算即可． 【详解】解：（元）， 故选：C． 【变式1】在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出物体增重，弹簧长度增加多少，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得：物体增重，弹簧长度增加， 挂上物体时长， 故选：B． 【变式2】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 题型03 乘法运算律 【典例1】有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 【变式1】简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 【变式2】 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握分配律进行简便计算，是解题的关键．利用分配律，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型04 多个有理数相乘 【典例1】下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【详解】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 【变式1】下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零．根据法则即可以准确判断答案． 【详解】解：A、有两个负因数，积为正，故A错误，不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B正确，符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C错误，不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (      ) A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】A 【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算．熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键． 根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可． 【详解】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中，负数有1个或3个， 故选：A． 题型05 有理数的除法运算 【典例1】下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【变式1】已知算式“”的值为，“”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法，能根据商为确定运算符号是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2】算式______中的横线内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知运算法则．根据有理数的除法法则即可求解． 【详解】解：括号内应填． 故选：． 题型06 有理数除法的应用 【典例1】如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的除法的应用，由题意可得第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积， ∴水的体积占瓶子容积的， 答：瓶中水的体积占瓶子容积的． 故选：B． 【变式1】汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，直接用油箱中的油量除以平均耗油量即可得到答案． 【详解】解：， ∴汽车最多能行驶， 故选：B． 【变式2】根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 题型07 有理数的乘除混合运算 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算结合题意即可求解． 【详解】解： ． 【变式1】甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？ 【答案】乙筐原有苹果千克 【分析】本题考查分数的除法，根据分数的乘法，除法的定义列出算术计算即可，解题的关键是理解题意，正确列出算式计算． 【详解】解：乙筐原有苹果： （千克） 答：乙筐原有苹果千克． 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是熟记同号得正，异号得负．根据同号得正，异号得负判断即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．在2、3、、7这四个数中，任取两个数相乘，得到的积最小的是（    ） A．6 B．35 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，熟练掌握相关法则是解题关键，根据两数相乘，同号得正、异号得负求两数的积，再由有理数大小比较法则，即可求解． 【详解】解：，，，，，， ， 得到的积最小的是， 故选：D． 3．一根木料长，第一次锯掉这根木料的60%，第二次锯掉，两次锯掉的长度比较是（    ） A．第一次锯掉的长 B．第二次锯掉的长 C．两次锯掉的一样长 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意第一次锯掉这根木料的是，6和比较大小即可． 【详解】解：第一次锯掉，第二次锯掉， ， 第一次锯掉的长． 故选：A 4．下列说法正确的是（　　）． A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负； B．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大； C．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数： D．任何有理数乘以一定等于这个数的相反数． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法、绝对值的意义，倒数的定义，相反数的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 5个（不含）有理数相乘，当负因数为3个时，积为负，故该选项不正确，不符合题意； B. 绝对值大于1的两个正数相乘，积比这两个数都大，故该选项不正确，不符合题意； C. 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，故该选项不正确，不符合题意； D. 任何有理数乘以一定等于这个数的相反数，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义，倒数的定义，相反数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．下列各式中化简或计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，化简绝对值以及有理数乘法法则，分别计算出各选项结果再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 下列各年份中，不是闰年的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握有理数除法运算法则是解题的关键． 平年闰年的求法是：用年份除以4，如果能整除，就是闰年，如果不能整除，就是平年；如果年份是整百时，就用年份除以400，能整除就是闰年，不能整除，就是平年．由此即可求解． 【详解】解：A、，是平年，符合题意； B、，是闰年，不符合题意； C、，是闰年，不符合题意； D、，是闰年，不符合题意； 故选：A． 7. 下列说法错误的是（    ） A．几个有理数相乘，如果积为负数，则负因数的个数为奇数个 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数相乘的正负、绝对值的意义、相反数的定义，逐项分析判断即可，熟练掌握有理数相乘的正负、绝对值的意义、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、几个有理数相乘，如果积为负数，根据“有理数相乘，同号得正，异号得负”，则负因数的个数为奇数个，故本选项正确，不符合题意； B、一个有理数的绝对值是正数或零，一定不是负数，故本选项正确，不符合题意； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确，不符合题意； D、一个负数的相反数是正数，0的相反数是0，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 8．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是 3 或－3．其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的相关概念和有关计算； ①根据有理数的分类进行判断； ②举出反例，进行判断即可； ③根据每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，进行判断； ④根据绝对值的性质进行判断即可； ⑤根据多个数相乘法则进行判断； ⑥根据到原点距离相等的点分别位于原点两侧，进行解答即可． 【详解】①正有理数、负有理数和0可以统称为有理数， ①说法正确； ②若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：， ②的说法错误； ③每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示， ③的说法正确； ④若，则或， ④的说法错误； ⑤多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数， ⑤的说法正确； ⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或， ⑥的说法正确， 综上可知：说法正确的有4个， 故选：C． 9．若，，，且，则与的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质和已知条件即可求出与的值． 【详解】解：，， ，， ， ，． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法，解题的关键在于根据两数之积判断出和的正负性． 10．某商场上月的营业额为万元，本月比上月增长，那么本月的营业额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】C 【分析】先求出本月增加额为，加上上月的营业额万元，可得出本月的营业额万元． 【详解】解：某商场上月的营业额为万元，本月比上月增长，那么本月的营业额万元， 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是有理数乘法的实际应用，根据题目找出等量关系式是解此题的关键． 11．“3•15晚会”曝光了专骗老人买神药的“直播间儿子”一一将成本价元/盒的产品卖到盒/元．该产品的利润率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利润率等于利润除以成本即可求解． 【详解】解：∵每盒的利润（元）， ∴该产品的利润率约为： 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，掌握利润率等于利润除以成本是解题的关键． 12．的倒数为（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：D． 13．在运算过程中，应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】根据分数乘法的分配律，即可求解． 【详解】解：在运算过程中，应用了乘法分配律． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分数的混合运算，灵活利用分数乘法的分配律是解题的关键． 14．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 15．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（    ）分钟． A．120 B．130 C．150 D．180 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据往返都坐车，全部行程只需30分钟，得出坐车去学校用15分钟；又上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，可得步行的时间，进而可求出结论． 【详解】解：∵往返都坐车，全部行程只需30分钟， ∴坐车去学校的时间为（分钟）， ∵上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟， ∴步行上学的时间为（分钟）， 所以往返都步行的时间为（分钟）． 故选：C． 16．某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（    ） A．亏损6元 B．不亏不赚 C．盈利6元 D．亏损5元 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数混合运算的应用是解题的关键．先求出两件上衣的成本，然后再进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 其中一件上衣的成本为：（元）， 另一件上衣的成本为：（元）， ∴这次买卖中，该商贩的盈亏为：（元）， ∴亏损元； 故选A． 17．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【详解】解：∵，原式计算错误； ，原式计算错误； ，原式计算正确； ，原式计算错误． ∴算其中正确的个数是1． 故选：D． 18．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【答案】16 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 19．如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是和．有以下结论： ； ； ； ．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算． 由数轴得，，然后用理数的加法、乘法法则判断两数的和、差、积的符号即可． 【详解】解：，由数轴得，， ∴，故符合题意； ，由数轴得，， ∴， ∴，故不符合题意； ，由数轴得，， ∴，故符合题意； ，由数轴得，， ∴，故不符合题意． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．绝对值小于3.5的整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解题的关键是求出满足条件的所有整数．可以先求出所以满足条件的整数，再求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为：，，，，，，， 所以绝对值小于的所有整数的和是， 故答案为． 22．如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为 平方米． 【答案】1.17 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据总面积（长木框架宽）（宽木框架宽）求解即可． 【详解】解：（平方米）， 故答案为：1.17． 23．某商品每件进价为70元，标价为120元，现打八折销售，该商品每件的销售利润为 元． 【答案】 【分析】本题考查销售问题，涉及折扣定义、利润售价进价等知识，读懂题意，根据利润公式代值求解即可得到答案，熟练掌握折扣定义及利润公式是解决问题的关键． 【详解】解：标价为120元，现打八折销售， 售价为元， 该商品每件的销售利润为元， 故答案为：． 24．计算：= 【答案】 【分析】把化成，化成，然后再利用乘法分配律的逆运算解答． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查乘法分配律，注意观察题目中数字构成的特点和规律，善于灵活运用运算定律或运算技巧，巧妙解答． 25．已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，根据为正数，得出：中有一个负数，进而即可求解． 【详解】解∵为正数， ∴中有一个负数，一个正数， 设，， ∴ ， 故答案为：． 26．将一个数轴折叠，表示的点与表示1的点重合，同时A、B两点也重合，若数轴上A、B两点间的距离是10，且点A在点B的左侧，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】先求出折叠点所表示的数，由数轴上A、B两点间的距离是10求出折点点到A的距离，进而即可得解．本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特征是解题的关键． 【详解】解：∵将一个数轴折叠后，表示的点与表示1的点重合， ∴折点表示的数为， ∵数轴上A、B两点间的距离是10，点A在点B的左侧， ∴点A到折点的距离为5，点A在折点的左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 27．在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗 面，黄旗 面． 【答案】 50 150 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的实际应用，先求出红旗的间隔数，进而求出红旗的数量，再根据相邻红旗之间可以插3面黄旗即可求出黄旗的数量． 【详解】解：∵在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗， ∴一共可以插面红旗， ∵在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗， ∴相邻两面红旗之间可以插3面黄旗， ∴一共可以插面黄旗， 故答案为：50；150． 28. 已知整数满足，且，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和加减运算，解题的关键是根据，，得出，，，，然后求和即可． 【详解】解：∵， 又整数， ∴，，，， ∴． 故答案为：0． 29．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地东18千米处 (2)23千米 (3)7升 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得答案； （3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与原有油量的差，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：B地在A地东18千米处； （2）第一次14千米， 第二次（千米）， 第三次（千米）， 第四次（千米）， 第五次（千米）， 第六次（千米）， 第七次（千米）， 第八次（千米）， ， 答：最远处离出发点A有23千米； （3）耗油量： （升）， （升）， 答：求途中还需补充7升油． 30．简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 31．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，最大值是 (2)一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可． 【详解】（1）， ， 因为， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是； （2）， 所以其中的一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是； （3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为： ． 32．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）先把除法转化为除法，然后根据乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先把除法转化为除法，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘法和除法 课程标准 学习目标 1. 有理数的乘法法则及乘法运算律 2. 有理数的除法法则 3. 有理数的乘除混合运算 1.理解并掌握有理数的乘法法则； 2.能熟练运用乘法运算律简化运算； 3.理解并掌握有理数的除法法则； 4.能熟练运用乘除混合运算. 知识点01 有理数的乘法法则 有理数的乘法法则: 1． 异号两数相乘得 ,并把 相乘. 2． 同号两数相乘得 ,并把 相乘. 3． 任何数与0相乘,都得 . . 【即学即练1】 1.若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 知识点02 有理数乘法运算律 有理数乘法运算律: 1.交换律:两个有理数相乘,交换因数的 ,积 ,即a×b= . 2.结合律:对于三个有理数相乘,可以先把前两个数 ,再把 与第三个数相乘;或者先把后两个数 ,再把第一个数与所得结果相乘,积不变,即(a×b)×c= . 3.分配律:一个有理数与两个有理数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.即a×(b+c)= . 推广:a×(b+c+…十n)= . 注意:运用运算律时,要连同因数的符号一起交换、结合、分配. 【即学即练1】 1.下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 知识点03 多个有理数相乘 1. 几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的 决定.当负因数有 个时,积为负;当负因数有 个时,积为正. 2. 几个数相乘,若有一个因数为0,则积为 . 【即学即练1】 1.计算：． 知识点04 倒数 1. 定义:一般地,如果两个数的 等于1,我们把其中一个数叫做另一个数的 ,也称它们互为倒数. 2. 性质:如果a,b互为倒数,那么 ab= . 注意:0没有倒数. 【即学即练1】 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【即学即练2】 2. 与互为倒数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 知识点04 有理数的除法法则 有理数的除法法则: 1. 同号两数相除得 ,异号两数相除得 ,并把它们的 相除. 2. 0除以任何一个不等于0的数都得 . 3. 除以一个不等于零的数等于乘这个数的 .用字母表示:a÷b=. 【即学即练1】 1.计算的结果是（    ） A．3 B． C． D．12 知识点05 有理数的乘除混合运算 1.运算顺序:有理数的乘除混合运算,若无 ,应按 的顺序依次计算. 2.运算步骤:先将除法转化为 ,然后确定积的 ,最后确定积的 . 【即学即练1】 1.计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 题型01 有理数的乘法运算 【典例1】下列说法中，正确的个数有（    ）个 ①正数、负数和零统称有理数；②数轴上点表示的数都是有理数；③0是绝对值最小的有理数；④几个有理数的积为正数，那么负因数有偶数个． A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】如果，那么（    ） A． B． C．a，b异号且负数的绝对值较小 D．a，b异号且负数的绝对值较大 【变式2】下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 有理数乘法的应用 【典例1】一种商品原价500元，先提价再降价，现在售价（　　）元． A．550 B．500 C．495 【变式1】在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【变式2】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型03 乘法运算律 【典例1】有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【变式1】简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【变式2】 ． 题型04 多个有理数相乘 【典例1】下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有 (      ) A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个 题型05 有理数的除法运算 【典例1】下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知算式“”的值为，“”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（    ） A． B． C． D． 【变式2】算式______中的横线内应填（    ） A． B． C． D． 题型06 有理数除法的应用 【典例1】如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）． A． B． C． D． 【变式1】汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 【变式2】根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 题型07 有理数的乘除混合运算 【典例1】计算：． 【变式1】甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？ 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．在2、3、、7这四个数中，任取两个数相乘，得到的积最小的是（    ） A．6 B．35 C． D． 3．一根木料长，第一次锯掉这根木料的60%，第二次锯掉，两次锯掉的长度比较是（    ） A．第一次锯掉的长 B．第二次锯掉的长 C．两次锯掉的一样长 D．无法判断 4．下列说法正确的是（　　）． A．5个有理数相乘，当负因数为3个时，积为负； B．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大； C．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数： D．任何有理数乘以一定等于这个数的相反数． 5．下列各式中化简或计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 6. 下列各年份中，不是闰年的是（　　） A． B． C． D． 7. 下列说法错误的是（    ） A．几个有理数相乘，如果积为负数，则负因数的个数为奇数个 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 8．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为 3 的点表示的数是 3 或－3．其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．若，，，且，则与的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．某商场上月的营业额为万元，本月比上月增长，那么本月的营业额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 11．“3•15晚会”曝光了专骗老人买神药的“直播间儿子”一一将成本价元/盒的产品卖到盒/元．该产品的利润率约为（　　） A． B． C． D． 12．的倒数为（    ） A．2023 B． C． D． 13．在运算过程中，应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 14．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（    ）分钟． A．120 B．130 C．150 D．180 16．某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（    ） A．亏损6元 B．不亏不赚 C．盈利6元 D．亏损5元 17．给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 18．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 19．如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是和．有以下结论： ； ； ； ．其中正确的是 ．（填序号）    10．计算： ． 21．绝对值小于3.5的整数的积为 ． 22．如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为 平方米． 23．某商品每件进价为70元，标价为120元，现打八折销售，该商品每件的销售利润为 元． 24．计算：= 25．已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 26．将一个数轴折叠，表示的点与表示1的点重合，同时A、B两点也重合，若数轴上A、B两点间的距离是10，且点A在点B的左侧，则点A表示的数是 ． 27．在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗 面，黄旗 面． 28. 已知整数满足，且，那么 ． 29．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 30．简便计算 31．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 32．计算 (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$