第三单元 倍数与因数（知识清单）-2024-2025学年数学五年级上册单元速记·巧练（北师大版）

北师大版数学五年级上册 第三单元 倍数与因数 知识点01：倍数与因数 1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4，5······ 2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。 知识点02：2,5的倍数的特征 1.5的倍数个位上是0或5。 2.2的倍数个位上是0、2、4、6、8。 3.既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0。 4.是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 知识点03：3的倍数的特征 3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。 知识点04：找因数 1.找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找。 2.最小因数都是1；最大因数是自己。 知识点05：找质数 1.质数的因数只有1和它本身； 2.合数除1和它本身以外还有别的因数； 3.除0和2以外，所有的偶数都是合数。 考点01：因数和倍数的意义 【典例分析01】从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：1+2+3＝6，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 【分析】先找出28的所有因数，然后再看28的因数是否有这样的关系，即可判断。 【解答】解：28的因数有1、2、4、7、14、28， 1+2+4+7+14 ＝3+4+7+14 ＝7+7+14 ＝14+14 ＝28 答：28是完美数。 【点评】熟练掌握找一个数的因数的方法是解答本题的关键。 【变式训练01】商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。 【变式训练02】王明在超市买了3本同样的笔记本，笔记本的价格是整元数，付50元，找回36元。他认为收银员算错了，你能帮他说出理由吗？ 【变式训练03】6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。 小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。 考点02：找一个数的因数和倍数的方法 【典例分析02】把40个苹果装在篮子里，每个篮子装的苹果个数同样多．有几种装法？每种装法各需要几个篮子？ 【分析】首先根据题意，找出40的因数有哪些，即可判断出一共有多少种装法；然后根据哪两个因数相乘是40，再根据这两个因数来确定每个篮子装几个，装几个篮子即可． 【解答】解：40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，所以共8种． 40＝1×40；一个篮子装1个，装40个篮子；或每个篮子装40个，装1个篮子； 40＝2×20；一个篮子装2个，装20个篮子；或每个篮子装20个，装2个篮子； 40＝4×10；一个篮子装4个，装10个篮子；或每个篮子装10个，装4个篮子； 40＝5×8；一个篮子装5个，装8个篮子；或每个篮子装8个，装5个篮子． 答：有8种装法， 一个篮子装1个，装40个篮子；或每个篮子装40个，装1个篮子； 一个篮子装2个，装20个篮子；或每个篮子装20个，装2个篮子； 一个篮子装4个，装10个篮子；或每个篮子装10个，装4个篮子； 一个篮子装5个，装8个篮子；或每个篮子装8个，装5个篮子． 【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法． 【变式训练01】儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 【变式训练02】五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？ 【变式训练03】幼儿园买来一些梨，个数在30～40之间，如果每盘放6个，还剩2个．这些梨可能是多少个？ 考点03：合数与质数的初步认识 【典例分析03】200多年前，德国数学家哥德巴赫提出了一个命题：“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”这就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能举出四个例子验证这个猜想吗？ 【分析】首先明确：质数是除了1和它本身外没有其他的因数的数；假设这个偶数是6，找出小于6的质奇数，即可解答，自己试着分析其他结果，注意答案不唯一。 【解答】解：根据“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和”举例： 6＝3+3 8＝3+5 10＝3+7 12＝7+5 （答案不唯一） 【点评】本题主要考查了奇偶数以及质数的灵活运用。 【变式训练01】已知两个质数的和是40，这两个质数的积最大是多少？ 【变式训练02】破解一个五位数的密码。提示：万位——最小的合数，千位——5的最小倍数，百位——它既是奇数，又是合数，十位——它的所有因数是1，2，4，8，个位——它既是质数又是偶数。这个密码是多少？ 【变式训练03】一个质数的6倍与另一个质数的6倍的和是180，这两个质数分别是多少？ 一．选择题（共5小题） 1．11和2都是（　　） A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 2．下面除法算式中，被除数和除数不是因数和倍数关系的是（　　） A．24÷4 B．13÷1 C．15÷3 D．4÷5 3．下面的数，因数个数最多的是（　　） A．8 B．30 C．36 D．135 4．下列各数中，（　　）不是4的倍数。 A．304 B．222 C．136 D．4 5．20以内既是奇数又是合数的自然数有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 6．五个连续的偶数的和是60，这五个连续的偶数中，最小的一个是　 　． 7．最小的合数是　 　，最小的质数是　 　，最小的奇数是　 　． 8．由12×3＝36可知 　 　是 　 　和 　 　的倍数，　 　和 　 　是 　 　的因数。 9．60的因数有 　 　，60的质因数有 　 　。 10．30以内4的倍数有 　 　． 三．判断题（共5小题） 11．一个非0自然数既是它本身的因数，又是它本身的倍数。 　 　 12．因为4×6＝24，所以24是倍数，4和6是因数．　 　 13．18的全部因数有1、2、3、6、9　 　 14．一个数的因数一定比这个数的倍数小。 　 　 15．两个质数的和一定是合数，两个合数的和也一定是合数。 　 　 四．应用题（共5小题） 16．哥哥和妹妹的年龄是两个质数，已知这两个质数的积是85，则哥哥和妹妹分别是多少岁？ 17．小明将黑板上的“一个两位数乘一个最小的合数”中的“最小的合数”误看成“最小的质数”，结果得到188，请你帮助他纠正错误，看正确的结果是多少？ 18．同学们去极地海洋世界参观，五年级的人数是六年级的1.5倍，五年级的人数比六年级多了65人，五年级、六年级各有多少人吗？ 19．有642盒牛奶，分别用6盒装和8盒装的箱子去装，选哪种箱子才能正好装完呢？ 20．一个计算器的价格既是45的因数，又是9的倍数，这个计算器的价格可能是多少元？ 一．选择题（共5小题） 1．24×35＝840，下列结论错误的是（　　） A．24是840的因数 B．35是840的因数 C．840是24的倍数 D．840的因数只有24和35 2．6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1+2+3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数）。下面的数也有这样的特点的完全数是（　　） A．8 B．12 C．20 D．28 3．一串珠子有三种颜色，每种颜色颗数相等，珠子的总颗数在90～110之间，这串珠子的颗数不可能是（　　） A．91颗 B．96颗 C．102颗 D．105颗 4．如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（　　）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇﹣△ C．〇+△ D．〇÷△ 5．有4张数字卡片，上面分别写着40，16，5，2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是奇数的一共有（　　）不同的选法。 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 6．48的因数有 　 　，其中奇数有 　 　个。 7．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是 　 　，最小倍数是 　 　，108的所有因数中，质数有 　 　个。 8．21+22+23+……+49的和是 　 　数，21×22×23×……×49的积是 　 　数。（填“奇或偶”） 9．在18÷3＝6中，　 　和　 　是　 　的因数．在3×9＝27中，　 　是　 　和　 　的倍数． 10．在2、3、8、17、21、51这些数中，3的倍数有 　 　，质数有 　 　。 三．判断题（共5小题） 11．因为48÷8＝6，所以48是倍数，8是因数． 　 　． 12．只要是6的倍数，就一定是3的倍数． 　 　． 13．在自然数中，最小的质数是1。 　 　 14．一个数是3的倍数又是偶数，它一定是6的倍数。　 　 15．一个数的最大因数是6，这个数的因数共有3个。 　 　 四．应用题（共5小题） 16．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 17．李青有一张《长津湖》电影票，这张票的排数与座号数的乘积是143，而且排数比座号数大2。请问：李青的电影票是几排几号？ 18．小红家的电话号码是一个七位数，第一位是最小的质数；第二位是5的最小倍数；第三位是偶数但不是合数；第四位只有因数1和3；第五位既不是质数，也不是合数；第六位是一位数中最大的合数；第七位是最小的合数。小红家的电话号码是多少？ 19．五（1）班同学参加社区举行的“保护家乡的青山绿水”活动，已经有35人来到社区广场，要是每8人一组，至少再来几人正好分完？ 20．明明、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•郧阳区期中）如果一个偶数（　　），结果一定是奇数。 A．乘3 B．加1 C．乘5 D．除以3 2．（2024春•天桥区期末）下面的数中，（　　）是14的倍数。 A．80 B．7 C．4.2 D．56 3．（2024•灞桥区）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身以外，其余3个数相加，1+2+3＝6，所以6就是一个完全数。下面数中（　　）是完全数。 A．12 B．28 C．24 D．18 4．（2024•温岭市）水果店准备了一些礼盒用来装48个苹果，每个礼盒不是装4个就是装6个。下列情况中不可能的是（　　） A．有12个礼盒 B．有9个礼盒 C．有8个礼盒 D．有7个礼盒 5．（2024•二七区）都江堰展示了两千多年前的先人对洪水的疏导和利用，凝聚着中国古代劳动人民的聪明才智，是全球为数不多的世界文化遗产、世界自然遗产、世界灌溉工程遗产为一体的“三遗之城”。宝瓶口是都江堰的主体工程之一，其底部宽17米，底高于平均海拔718米，水面宽在平常水位时为19米，在洪水时为23米，它与飞沙堰、人字堤溢洪坝联合运用，起到天然节制流量的作用，使内江河道千年不易淤塞。以上的数据中，质数有（　　）个。 A．5 B．4 C．3 D．1 二．填空题（共5小题） 6．（2024•仪征市）“35+36+37+38+39+40+41+42+43”的和是 　 　数（填“奇数”或“偶数”），这9个数的平均数是 　 　。 7．（2024春•洪山区期末）在整数除法中，如果商是 　 　且没有余数，我们就说除数是被除数的 　 　。 8．（2024春•淅川县期中）一个数既是6的倍数，又是36的因数，这个数可能是 　 　。 9．（2024春•北碚区期末）在7的倍数中，最大的两位数是 　 　；一个数只有a，5，7，35四个因数，这个数是 　 　。 10．（2024春•安溪县期末）把79、75、2、13、6这5个数分类，可以是 　 　一类，　 　一类，这样分的理由是：　 　。 三．判断题（共5小题） 11．（2024春•龙川县校级期中）6个奇数的和是偶数，6个奇数的积也是偶数。 　 　 12．（2024春•丹江口市期中）因为56÷7＝8，所以56是倍数，7和8是因数　 　 13．（2024春•湖滨区期中）一个数的因数中有3和5，那么这个数的最大因数是15。 　 　 14．（2024春•吴江区期末）如果一个数是12的倍数，那么它一定是3和6的倍数。 　 　 15．（2024春•肥城市期中）任意两个不为零的自然数它们的积一定是合数． 　 　． 四．应用题（共5小题） 16．（2023春•通榆县期中）有62个同学分成两组参观博物馆，如果第一组的人数是奇数，第二组的人数是奇数还是偶数？如果要平均分成4组，至少还需要再来几个同学？ 17．（2024春•青县期中）秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位，位于今陕西省西安市临渣区秦始皇陵以东1.5km处的兵马俑坑内。二号俑坑第三单元有264个步兵俑，3个3个地数能正好数完这些步兵俑吗？如果5个5个地数呢？为什么？ 18．（2024春•陆川县期中）体操队有28名同学，要分成人数相等的小组进行训练，可以怎样分？（不包括1人或28人一组的情况，其它分组方法都要写出来） 19．（2024春•东莞市期中）王老师今年的岁数正好是6的倍数，又是48的因数，王老师岁数的十位上是最小的质数，王老师今年多少岁？ 20．（2024•杭州模拟）王老师的手机号码是一个11位数。最高位上的数既不是质数，也不是合数；第二、五位上的数既是奇数又是质数，且是最小的；第三位上的数是最大的一位数；第四位上的数是最小的偶数；第六位上的数是最小的合数；第七位上的数比最小的合数多1；其余各位上都是最大的一位偶数。你能写出王老师的手机号码吗？ 答案解析部分 【精讲精练】 考点01 【变式训练01】 【分析】利用237除以每一种的个位，可以整除的即可选择包装方法。 【解答】解：237÷3＝79 237÷4＝59.....1 237÷5＝47....2 因此选择第一种包装能正好把这些鸡蛋装完。 【点评】本题考查了因数倍数的应用问题。 【变式训练02】 【分析】由题可知，付的钱数减去找回的钱数＝3本笔记本的钱数，买3本同样的笔记本，收银员收的钱数应是3的倍数；据此解答即可。 【解答】解：由分析可得： 50﹣36＝14（元） 14不是3的倍数，即3本笔记本不可能是14元。所以收银员算错了。 【点评】本题是一道有关因数和倍数的意义的题目，熟练掌握因数、倍数的意义是解题的关键。 【变式训练03】 【分析】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。 【解答】解：他说得对。因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：1+2+4+7+14＝28。所以28是完美数。 【点评】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。 考点02 【变式训练01】 【分析】包装袋的个数与每袋装的棒棒糖的个数都是总数32的因数，根据题意求出32的因数，本题便不难解答了，注意包装袋的数量大于1，因此不能装在同一个包装袋里。 【解答】解：先求出32的因数。再求出有多少种方法，进而求出每种方法分几个袋子装，每个包装袋里有多少支棒棒糖。 32的因数有：1，2，4，8，16，32。 6﹣1＝5（种） 答：老师有5种方法。分2个袋子装，每个包装袋里有16支棒棒糖；分4个袋子装，每个包装袋里有8支棒棒糖；分8个袋子装，每个包装袋里有4支棒棒糖；分16个袋子装，每个包装袋里有2支棒棒糖；分32个袋子装，每个包装袋里有1支棒棒糖。 【点评】本题考查的是因数的应用，能根据题意求出32的因数是解答本题的关键。 【变式训练02】 【分析】根据题意，树苗棵数肯定是6的倍数，且小于30，小于30的，且是6的倍数的有：6、12、18、24，所以这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵． 【解答】解：小于30的且是6的倍数的有：6、12、18、24棵； 答：这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵． 【点评】此题考查了学生运用求一个数的倍数的方法解决实际问题的能力． 【变式训练03】 【分析】先求出30～40之间6的倍数，加剩下的2个，即可得这些梨可能是多少个． 【解答】解：5×6＝30 30+2＝32（个） 6×6＝36 36+2＝38（个） 答：这些梨可能是32个或38个． 【点评】本题考查了找一个数的倍数的方法，关键是得出30～40之间6的倍数． 考点03 【变式训练01】 【分析】首先找出小于40的质数，再找出其中和是40的两个质数；接下来分别计算出和是40的这两个质数的乘积，再找出最大的一个即可。 【解答】解：小于40的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31、37， 其中两个质数的和是40的有3和37；11和29，17和23， 它们的积分别是3×37＝111；11×29＝319；17×23＝391 111＜319＜391 答：这两个质数的乘积最大是391。 【点评】本题是一道关于质数的题目，解答本题的关键是掌握质数的概念。 【变式训练02】 【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数； 一个数的最大因数是这个数本身；是偶数还是质数的数字只有2。据此解答即可。 【解答】解：最小的合数是4，5的最小倍数是5，既是奇数又是合数的数是9，8的所有因数是1，2，4，8，所以十位上的数字是8，既是质数又是偶数的数是2。所以这个密码是45982。 答：这个密码是45982。 【点评】本题考查了2、5的倍数的特征、奇数和偶数、合数与质数的特征等知识，结合题意分析解答即可。 【变式训练03】 【分析】一个质数的6倍与另一个质数的6倍的和是180，那么这两个质数的和就是（180÷6），再根据质数的定义解答即可。 【解答】解：180÷6＝30 30＝7+23 30＝11+19 30＝13+17 答：这两个质数分别是7和23或11和19或13和17。 【点评】解答本题的关键是掌握质数的定义。 【基础训练】 一．选择题（共5小题） 1．【分析】根据奇数与偶数的意义，自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，由此可判断一个数是奇数还是偶数； 根据质数与合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数，据此可判断一个数是质数还是合数．据此解答． 【解答】解：11和2都是质数． 故选：B． 【点评】此题考查的目的在理解奇数与偶数、质数与合数的意义． 2．【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数；进行解答即可。 【解答】解：被除数与除数不是倍数关系的是5和4，另外三个24和4、13和1、15和3，它们都是倍数关系。 故选：D。 【点评】本题主要考查倍数的意义，需要注意的是：唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。 3．【分析】8的因数有：1、2、4、8共4个因数；30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30共8个因数；36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个因数；135的因数有：1、3、5、9、15、27、45、135共8个因数；由此可得出36的因数的个数最多。 【解答】解：由分析可知，8，30，36，135这几个数，36的因数的个数最多。 故选：C。 【点评】根据找一个数的因数的方法，找出各个数的因数的个数，即可得出结论。 4．【分析】能被4整除的数，即是4的倍数；据此逐项分析判断。 【解答】解：A.304÷4＝74，是4的倍数； B.222÷4＝55......2，不是7的倍数； C.136÷4＝34，是4的倍数； D.4÷4＝1，是4的倍数； 所以不是4的倍数的是222。 故选：B。 【点评】此题是运用整数的除法运算，判定哪些数是8的倍数。 5．【分析】根据奇数、合数的意义：不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，由此解答。 【解答】解：20以内的自然数中，奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19；既是奇数又是合数的有：9、15，共2个。 故选：B。 【点评】此题考查的目的是理解奇数、合数的意义，根据奇数、合数的意义进行解答。 二．填空题（共5小题） 6．【分析】根据偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，相邻的偶数相差2，若五个连续的偶数的和是60，那么五个偶数中间的那个数应是这五个数的平均数，60÷5＝12，所以这五个偶数是8、10、12、14、16． 【解答】解：五个连续的偶数的和是60，则： 这五个连续偶数的第三个（即中间的那一个）偶数是：60÷5＝12， 即这五个偶数是：8、10、12、14、16． 所以最小的偶数是8． 故答案为：8． 【点评】此题考查的目的是理解偶数的意义，明确：相邻的偶数相差2，先求出这5个连续偶数的平均数（中间的那个数），进而求出最小的数是多少． 7．【分析】自然数中，不能被2整除的数为奇数；除了1和它本身外没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的奇数为1，最小的质数为2，最小的合数为4． 【解答】解：最小的合数是 4，最小的质数是 2，最小的奇数是 1； 故答案为：4，2，1． 【点评】根据奇数、质数与合数的意义分别确定它们的最小值是完成本题的关键． 8．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数A能被数B整除（B≠0），A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数；由此解答即可。 【解答】解：由12×3＝36可知 36是12和3的倍数，12和3是36的因数。 故答案为：36，12，3，12，3，36。 【点评】解答此题的关键：认真审题，结合题意，并根据因数和倍数的意义，进行解答即可。 9．【分析】一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，找一个数的因数，可以一对一对的找，把60写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是60的因数，然后进行解答即可； 质因数：一个数如果是质数（即只有1和它本身两个因数）并且也是另一个数的因数，那么它就是另一个数的质因数；据此解答即可。 【解答】解：60＝1×60 60＝2×30 60＝3×20 60＝4×15 60＝5×12 60＝6×10 60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60， 60的质因数有2，3，5。 故答案为：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；2，3，5。 【点评】灵活掌握找一个数因数的方法和质因数的含义，是解答此题的关键。 10．【分析】一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大倍数．所以求一个数的倍数，就用这个数依次乘1、2、3、4、5…；据此解答． 【解答】解：30以内4的倍数有4，8，12，16，20，24，28． 故答案为：4，8，12，16，20，24，28． 【点评】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求倍数的方法． 三．判断题（共5小题） 11．【分析】根据因数、倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；由此判断即可。 【解答】解：根据分析可知：一个非0自然数既是它本身的因数，又是它本身的倍数，说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题考查的目的是理解掌握因数、倍数的意义及应用。 12．【分析】因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在；由此判断即可． 【解答】解：由分析知：因为4×6＝24，所以24是倍数，4和6是因数，说法错误；只能说4是24的因数，24是4的倍数； 故答案为：×． 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确倍数和因数是相对的，一个不能独立存在． 13．【分析】根据找一个因数的方法的方法，进行列举解答即可． 【解答】解：18的全部因数有：1、2、3、6、9、18； 所以18的全部因数有1、2、3、6、9的说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查的是找一个数的因数的方法，应成对成对的找，然后按照从小到大的顺序排列，做到不重复、不遗漏． 14．【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答即可。 【解答】解：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，因此一个数的因数一定比这个数的倍数小说法错误。 故答案为：×。 【点评】解答此题要明确：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。 15．【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。1既不是质数也不是合数；质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数，由此举例进行判断即可。 【解答】解：2是质数，3也是质数，它们的和是5，5也是质数；4是合数，9也是合数，它们的和是13，13是质数；所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查质数与合数的知识点，解答本题的关键是熟练掌握质数与合数的概念。 四．应用题（共5小题） 16．【分析】把85写成两个质数相乘，其中较大的数是哥哥的年龄，较小的数是妹妹的年龄。 【解答】解：因为85＝17×5，所以哥哥17岁，妹妹5岁。 答：哥哥17岁，妹妹5岁。 【点评】解答此题的关键在于知道85是两个质数17和5的积。 17．【分析】根据最小的合数是4，最小的质数是2，和乘与除的互逆运算，解答此题即可。 【解答】解：188÷2＝94 94×4＝376 答：正确的结果是376。 【点评】知道最小的合数是4，最小的质数是2，是解答此题的关键。 18．【分析】此题可以依据条件“五年级的人数是六年级的1.5倍，五年级的人数比六年级多了65人”找到等量关系：四年级的人数×1.5﹣六年级的人数＝65人，由此可以列方程解决。 【解答】解：设六年级的人数为x，则五年级的人数为1.5x 1.5x﹣x＝65 0.5x＝65 x＝130 那么五年级的人数为1.5×130＝195（人）。 答：六年级的人数有130人，五年级的人数有195人。 【点评】此题主要考查两个量的倍比关系，据此找出等量关系，就可以列方程解决。 19．【分析】选哪个箱子能正好装完，只要依据整除的意义，谁能整除642，就选那种包装箱，据此解答即可． 【解答】解：因为642÷6＝107 642÷8＝80.25 所以每箱装6盒能正好把642盒牛奶装完； 【点评】此题主要依据整除的意义解决问题，掌握整数除法的计算方法是解答本题的关键． 20．【分析】45的因数有：1、45、5、9、3、15；45以内9的倍数有：9、18、27、36、45；既是45的因数，又是9的倍数的有：9、45。 【解答】解：45＝1×45＝3×15＝5×9 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 所以，既是45的因数，又是9的倍数的有：9、45。 答：这个计算器的价格可能是9元，也可能是45元。 【点评】分别找出45的因数和45以内9的倍数，是解答此题的关键。 【拓展拔高】 一．选择题（共5小题） 1．【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：24×35＝840，下列结论错误的是840的因数只有24和35，因为840的因数还有很多。 故选：D。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 2．【分析】根据求一个数的因数的方法，分别求出下面各数的因数，然后根据完全数的意义据此判断。 【解答】解：8的因数有1、2、4、8 1+2+4＝7 所以8不是完全数； 12的因数有1、2、3、4、6、12； 1+2+3+4+6＝16 所以12不是完全数。 20的因数有1、2、4、5、10、20 1+2+4+5+10＝22 所以20不是完全数。 28的因数有1、2、4、7、14、28； 1+2+4+7+14＝28 所以28是完全数。 故选：D。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，完全数的意义及应用。 3．【分析】三色珠子，每种颜色的颗数相同，则珠子总数一定是3的倍数；接下来分别用91、96、102、105除以3，根据计算结果即可得到答案。 【解答】解：91÷3＝30……1 96÷3＝32 102÷3＝34 105÷3＝35 答：这串珠子不可能是91颗。 故选：A。 【点评】本题考查一位数除多位数的计算，注意计算的准确性。 4．【分析】质数又称素数，是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数；合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数；而自然数1，只有一个因数1，所以1既不是质数也不是合数，由此判断即可。 【解答】解：〇表示一个质数，△表示一个合数，根据质数加合数可能是质数，也可能是合数，质数减合数可能是质数，也可能是1，质数÷合数不是整数，不可能是合数，质数×合数＝合数所以〇×△一定是合数。 故选：A。 【点评】解答本题要明确自然数、质数、合数的概念。 5．【分析】奇数和偶数的性质：奇数+偶数＝奇数。 【解答】解：40+5＝45 5+2＝7 46+5＝51 有4张数字卡片，上面分别写着40，16，5，2，从中任选2张卡片，把上面的数字相加求和，和是奇数的一共有3种不同的选法。 故选：C。 【点评】本题考查了奇数和偶数的性质。 二．填空题（共5小题） 6．【分析】（1）求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出48的因数； （2）根据偶数、奇数、质数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；由此解答即可。 【解答】解：48＝1×48 48＝2×24 48＝3×16 48＝4×12 48＝6×8 所以48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；在这些因数中，奇数有1，3，共2个。 故答案为：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；2。 【点评】熟练掌握找一个数的因数的方法以及奇数的特征是解决此题的关键。 7．【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3。 【解答】解：“108”的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2个。 故答案为：108，108，2。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数和倍数的方法，以及质数的意义。 8．【分析】根据奇数和偶数的性质即可解答。 【解答】解：21+22+23+……+49的和是奇数，21×22×23×……×49的积是偶数。 故答案为：奇；偶。 【点评】此题考查了奇数和偶数的性质。 9．【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可． 【解答】解：18÷3＝6中，3和6是18的因数． 因为3×9＝27中，所以27÷3＝9，27÷9＝3，则27是3和9的倍数； 故答案为：3，6，18，27，3，9． 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解． 10．【分析】3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除； 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 【解答】解：在2、3、8、17、21、51这些数中，3的倍数有3、21、51，质数有2、3、17。 故答案为：3、21、51；2、3、17。 【点评】本题考查了质数的定义以及3的倍数特征，要熟练掌握。 三．判断题（共5小题） 11．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数；进行解答即可． 【解答】解：因为48÷8＝6，所以48是8的倍数，8是48的因数， 因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在． 12．【分析】因为6和3是倍数关系，6是3的2倍；所以一个数是6的倍数，就一定是3的倍数；进而得出结论． 【解答】解：6÷3＝2倍 一个数是6的倍数，一定是3的倍数； 故答案为：√． 【点评】此题应结合题意，根据两个数的特点，进行分析、解答即可． 13．【分析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此解答。 【解答】解：在自然数中，最小的质数是2，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题考查的目的是理解质数、合数的意义，掌握20以内的质数．明确：最小的质数是2，最小的合数是4。 14．【分析】一个数是3的倍数又是偶数，说明这个数既是3的倍数也是2的倍数，所以一定是6的倍数。 【解答】解：3×2＝6。同时是2和3的倍数，最小是6。一个数既是3的倍数又是偶数，它一定是6的倍数。 故答案为：√。 【点评】本题考查了2和3的倍数特征。 15．【分析】一个数的最大因数是它本身，因此这个数是6；6的因数有：1、2、3、6。 【解答】解：一个数的最大因数是它本身，因此这个数是6；6的因数有：1、2、3、6，一共有4个因数，因此原题的说法是错误的。 故答案为：×。 【点评】本题考查了因数的知识，属于基础知识，要熟练掌握。 四．应用题（共5小题） 16．【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，解答即可。 【解答】解：48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组。 答：共有3种分法。 【点评】本题考查求一个数的因数的方法，明确每组人数的范围，熟练掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 17．【分析】因为143＝11×13，又因为排数比座号数大2，所以11×（11+2），因此可以求出这张电影票的排好和座位号。 【解答】解：因为143＝11×13 ＝11×（11+2）所以小红的电影票是13排11号。 答：李青的电影票是13排11号。 【点评】本题意很简单，利用分解因式的方法，更容易求解。 18．【分析】第一位是最小的质数，是2，第二位是5的最小倍数，是5，第三位是偶数但不是合数，是2，第四位只有因数1和3，是3，第五位既不是质数，也不是合数，是1，第六位是一位数中最大的合数，是9，第七位是最小的合数，是4，据此写出此数即可。 【解答】解：根据分析可知，小红家的电话号码是4913252。 【点评】本题考查了奇偶数、质数与合数以及倍数和因数的相关知识，要熟练掌握这些特殊的数。 19．【分析】先求出比35大的8的最小倍数，再减去35即可求解。 【解答】解：比35大的8的最小倍数是40， 40﹣35＝5（人） 答：至少再来5人正好分完。 【点评】此题考查的目的是理解掌握找一个数的倍数的方法，100以内退位减法计算法则及应用。 20．【分析】根据题意，先求出它们的平均年龄，然后根据三个连续的偶数，即可求出答案。 【解答】解：36÷3＝12（岁） 12﹣2＝10（岁） 12+2＝14（岁） 答：他们三人中最小的是10岁，最大的14岁。 【点评】此题考查了奇数与偶数的初步认识，要求学生掌握。 【挑战名校】 一．选择题（共5小题） 1．【分析】根据奇数和偶数的性质：偶数+奇数＝奇数，偶数×奇数＝偶数，偶数÷奇数＝偶数，据此解答。 【解答】解：A.一个偶数乘3，结果是偶数，不符合题意； B.一个偶数加上1，结果是奇数，符合题意； C.一个偶数乘5，结果是偶数，不符合题意； D.一个偶数除以3，结果是偶数，不符合题意。 故选：B。 【点评】此题考查的是奇数和偶数的性质，根据其性质进行分析即可。 2．【分析】若整数a能够被b（b≠0）整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：80÷14＝5......10 7÷14＝0.5 4.2÷14＝0.3 56÷14＝4 故选：D。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义。 3．【分析】根据完全数的定义，可将下列选项中的数字进行计算，即可得出答案。 【解答】解：A.12的因数有：1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6＝16，所以12不是“完全数”，故不符合题意； B.28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，所以28是“完全数”，故符合题意； C.24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，1+2+3+4+6+8+12＝36，所以24不是“完全数”，故不符合题意； D.18的因数有：1，2，3，6，9，18，所以1+2+3+6+9＝21，不符合题意。 故选：B。 【点评】此题主要考查的是如何计算一个数的因数。 4．【分析】根据总的苹果数、每个礼盒装的数，即可推算出。 【解答】解：全用装4个苹果的礼盒，可以用12个； 全用装6个苹果的礼盒，可以用8个； 所以，7个礼盒装不下48个苹果。 故选：D。 【点评】本题主要考查了优化问题。 5．【分析】质数：一个大于0的自然数，除了1和它本身外，再没有其它的因数，据此解答。 【解答】解：以上的数据中，质数有17、19、23，有3个。 故选：C。 【点评】本题考查了质数的定义，要熟练掌握。 二．填空题（共5小题） 6．【分析】“35+36+37+38+39+40+41+42+43”是5个奇数相加是奇数，4个偶数相加是偶数，奇数+偶数＝奇数。 平均数的求解方法：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出。 【解答】解：由分析可知：“35+36+37+38+39+40+41+42+43”的和是奇数。 （35+36+37+38+39+40+41+42+43）÷9 ＝351÷9 ＝39 答：这9个数的平均数是39。 故答案为：奇；39。 【点评】本题考查了奇数和偶数的性质及求平均数的方法。 7．【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数。 故答案为：整数，因数。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 8．【分析】分别写出6的倍数和36的因数，再找出这个数。 【解答】解：6的倍数有：6、12、18、24、30、36...... 36的因数有：1、2、3、4、6、8、12、18、36。 既是6的倍数，又是36的因数，这个数可能是6、12、18、36。 故答案为：6、12、18、36。 【点评】分别找出6的倍数和36的因数，从而找出这个数，这种方法简单易懂，不容易出错。 9．【分析】最大的两位数是99，用99除以7求出商和余数，用99减去余数即是所求；一个数的因数最小是1，最大是它本身，据此解答。 【解答】解：99÷7＝14……1 99﹣1＝98 即在7的倍数中，最大的两位数是98； 一个数只有a，5，7，35四个因数，即该数最小的因数是a，即a＝1，最大的因数是35，该数就是35。 故答案为：98；35。 【点评】本题考查了因数和倍数问题的应用。 10．【分析】自然数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；1既不是质数也不是合数；据此解答。 【解答】解：把79、75、2、13、6这5个数分类，可以是79、2、13一类，75、6一类，这样分的理由是：79、2、13都是质数，75、6是合数。 故答案为：79、2、13，75、6，79、2、13都是质数，75、6是合数。（答案不唯一） 【点评】此题考查了合数与质数，奇数与偶数的初步认识，要求学生掌握。 三．判断题（共5小题） 11．【分析】偶数个奇数的和是偶数，所以6个奇数的和是偶数；几个奇数连乘的积是奇数，所以6个奇数的积也是偶数，这个说法是错误的。 【解答】解：6个奇数的和是偶数，这种说法是正确的，但是6个奇数的积是奇数，所以题干中的说法错误。 故答案为：×。 【点评】这道题考查的是自然数的奇偶性，要明确偶数个奇数的和是偶数和几个奇数连乘的积是奇数。 12．【分析】因数和倍数是相互依存的，离开了因数也就无所谓倍数，离开了倍数也就无所谓因数，应当说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数，本题应当说56是7和8的倍数，7和8是56的因数． 【解答】解：56÷7＝8，所以56是7的倍数，7是56的因数． 所以因为56÷7＝8，所以56是倍数，7和8是因数说法错误． 故答案为：×． 【点评】本题是考查因数与倍数的意义．要记住，因数和倍数是相互依存的． 13．【分析】根据题意，一个数的因数中有3和5，说明这个数是3和5的公倍数；根据“当两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积”，由此求出3和5的最小公倍数是15；那么15的倍数就是3和5的公倍数，再根据“一个数的最大因数是它本身”，得出结论。 【解答】解：3和5的最小公倍数是：3×5＝15 3和5的公倍数有：15，30，45，60，……； 因为一个数的最大因数是它本身，所以这个数的最大因数不一定是15。 原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查求一个数的因数的应用。 14．【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数；据此解答即可。 【解答】解：12的最小倍数是12，12的倍数我们可以用12n（n是大于等于1的自然数）来表示， 12n÷3＝4n（整数），12n÷6＝2n（整数），由此可知，12n既是3的倍数，也是6的倍数。 例如：24是12的倍数，也是3和6的倍数。 所以，一个数是12的倍数，这个数一定是3和6的倍数。 故答案为：√。 【点评】本题考查了倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数。 15．【分析】合数是含有3个以上约数的数，两个自然数的积不一定是合数，可以举例证明． 【解答】解：1和2是自然数，但是1×2＝2，2是质数，所以两个自然数的积一定是合数的说法是错误的； 故答案为：×． 【点评】本题主要考查合数的意义，注意合数是含有3个以上约数的数． 四．应用题（共5小题） 16．【分析】62是偶数，根据奇数+奇数＝偶数可判断另一个数是奇数或是偶数；用总人数除以平均分成的组数可求出每组分的人数和剩下的人数，除数减去剩下的人数可求出至少需要再来的人数。 【解答】解：如果第一组的人数是奇数，第二组的人数是奇数。 62÷4＝15（人）......2（人） 4﹣2＝2（人） 答：第二组的人数是奇数；至少还需要再来2个同学。 【点评】本题考查了奇偶性的应用，理解奇偶性的意义可解答问题。 17．【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：264÷3＝88，所以3个3个地数能正好数完这些步兵俑。 因为264÷5＝52....4，264不能被5整除，所以不能5个5个数。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 18．【分析】由题意可知，每组的人数和分成的组数是28的因数，且组数大于1，小于28，根据28的因数找出符合题意的所有分法即可。 【解答】解：28＝2×14＝4×7，所以可以分成2组，每组14人；14组，每组2人；4组，每组7人；7组，每组4人。 答：可以分成2组，每组14人；14组，每组2人；4组，每组7人；7组，每组4人。 【点评】本题主要考查利用因数解决实际问题，掌握一个数因数的求法是解答题目的关键。 19．【分析】找出48的因数，48以内6的倍数，得出即是6的倍数，又是48的因数的数，再根据十位上是最小的质数也就是2，解答即可。 【解答】解：48因6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 即是6的倍数，又是48的因数：6，24，48 最小的质数是2，所以王老师今年24岁。 答：王老师今年24岁。 【点评】本题主要考查质数、因数、倍数的意义，要熟练掌握。 20．【分析】能被2整除的数叫作偶数；不能被2整除的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此分析解答。 【解答】解：因为1既不是质数，也不是合数，所以最高位上的数既不是质数，也不是合数，则最高位上是1； 因为3既是奇数又是质数，且是最小的，所以第二、五位上的数是3； 因为最大的一位数是9，所以第三位上是9； 因为最小的偶数是0，所以第四位上是0； 因为最小的合数是4，所以第六位上是4，第七位上是4+1＝5； 因为8是最大的一位偶数，所以其余各位上都是8， 王老师的手机号码是13903458888。 答：王老师的手机号码是13903458888。 【点评】本题考查的主要内容是质数、合数、奇数、偶数的认识问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$