精品解析：广东省湛江市徐闻县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023---2024学年度第二学期期末教学调研测试 八年级数学试卷 （测试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 有一组数据：2，5，3，7，5，这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 3. 一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，，5 B. 1，2， C. 1，， D. 4，5，6 7. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对边相等 8. 如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. 2．2 B. 2．3 C. D. 9. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ②③ 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 化为最简二次根式__________． 12. 某区招聘教师，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6：4记入总成绩，若小王笔试成绩80分，面试成绩90分，则他总成绩是______分． 13. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______． 14. 如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为_____． 15. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是__________． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题8分，满分24分） 16 17. 如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由． 18. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． （1）求一次函数的函数解析式； （2）直接写出不特式的解集； （3）求面积． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如表所示． 部门 人数 每人所创年利润/万元 A 5 3 B 2 8 C 1 7 D 4 4 E 3 9 （1）指出这个公司年利润的众数、中位数； （2）这个公司平均每人所创年利润是多少？ （3）公司规定，个人所创年利润由高到低前40%的人可以获奖．试判断D部门的员工能否获奖，并说明理由． 20. 如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点，当时，求的长度． 21. 冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 五、解答题（三）（共2个小题，每小题12分，满分24分） 22. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点F的横坐标为x． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点P，使是以为直角边等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践： 如图1，已知正方形纸片ABCD． 实践操作 第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O． 第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF． 问题解决 （1）的度数是______； （2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由； 探索发现 （3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023---2024学年度第二学期期末教学调研测试 八年级数学试卷 （测试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的性质逐项进行分析即可． 【详解】解：A. ，即的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B. ，即的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. ，是最简二次根式，故本选项符合题意； D. ，即的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 2. 有一组数据：2，5，3，7，5，这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先把数据按从小到大排列为2，3，5，5，7，然后根据中位数的定义求出答案即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：2，3，5，5，7， 则中位数是5. 故选：C． 【点睛】此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义． 3. 一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故选：B. 【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键. 4. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图像平移的性质“左减右加（横轴变），上加下减（纵轴变）”即可求解． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度， ∴新函数的解析式为，即， ∴平移后函数的解析式为， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的平移，掌握一次函数图像的平移规律是解题的关键． 6. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，，5 B. 1，2， C. 1，， D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A．，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D．，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 7. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对边相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、矩形和平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意； B、矩形和平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； D、矩形和平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质定理是解题的关键． 8. 如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. 2．2 B. 2．3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理以及数轴上的点表示的数即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴点A所表示的数为． 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示的数等知识点，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键． 9. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知的长度，根据点是的中点，可知是等腰三角形，根据平面直角坐标系的特点，可得，根据勾股定理可求出，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， ∵点是的中点， ∴是等腰三角形，，， 根据平面直角坐标系的特点可知，， ∴在，， ∴， ∴橡皮筋被拉长了， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握平面直角坐标系的特点，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 10. 一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据函数图象直接得到结论；②观察函数图象可以直接得到答案；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④根据两直线交点可以得到答案． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①说法正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确， 由图象可得当x＜3时，一次函数图象在的图象上方， ∴的解集是x＜3，故③说法不正确； ∵一次函数与图象的交点的横坐标为3， ∴3a＋b＝3c＋d ∴3a−3c＝d−b, ∴d−b＝3（a−c）．故④说法正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 化为最简二次根式__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 某区招聘教师，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6：4记入总成绩，若小王笔试成绩80分，面试成绩90分，则他总成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，总成绩是： （分）， 故答案为：84． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答． 13. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质． 14. 如图，在 中，，，分别以 ， 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 ，，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明， ，， 长方形的周长是：， 故答案为：16 三、解答题（一）（共3个小题，每小题8分，满分24分） 16. 【答案】 【解析】 【分析】按照二次根式混合运算的顺序计算即可． 【详解】解： ＝3－5 ＝ 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由． 【答案】∠D是直角，理由见解析 【解析】 【分析】连接AC，首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，即可判定∠D是直角． 【详解】解：∠D是直角，理由如下： 连接AC，如图所示： ∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°， ∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625， 又∵CD＝7，AD＝24， ∴CD2+AD2＝625， ∴AC2＝CD2+AD2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠D是直角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，综合运用勾股定理及其逆定理，是解决问题的关键． 18. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． （1）求一次函数的函数解析式； （2）直接写出不特式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及交点问题， （1）根据一次函数求得点D，将点D和点C代入利用待定系数法求解析式即可； （2）结合函数图像的交点和位置关系即可求得其取值范围； （3）利用一次函数与坐标轴的交点求点A和点B，结合点D到直线的距离即可求得三角形面积． 【小问1详解】 解：由题意，将点代入一次函数得：， 故点D的坐标为； 将点代入一次函数得：， 解得， 故一次函数函数解析式为； 【小问2详解】 ∵的交点为， ∴； 【小问3详解】 对于， 当时，， 即点A的坐标为， 对于， 当时，， 即点B的坐标为， 则， 点D的坐标为， 的边上的高为， 则的面积为． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如表所示． 部门 人数 每人所创年利润/万元 A 5 3 B 2 8 C 1 7 D 4 4 E 3 9 （1）指出这个公司年利润的众数、中位数； （2）这个公司平均每人所创年利润是多少？ （3）公司规定，个人所创年利润由高到低前40%的人可以获奖．试判断D部门的员工能否获奖，并说明理由． 【答案】（1）众数是3，中位数是4 （2）万元 （3）不能获奖，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可以将这组数据按照从大到小的顺序排列起来，从而可以找到这组数据的众数和中位数； （2）根据加权平均数的定义计算可得； （3）先求出获奖人数，再根据各部门获奖人数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 这15名员工的每人创年利润为：9、9、9、8、8、7、4、4、4、4、3、3、3、3、3， ∴这组数据的众数是3，中位数是4． 【小问2详解】 公司平均每人所创年利润（万元）． ∴这个公司平均每人所创年利润是多少万元． 【小问3详解】 D部门员工不能获奖． 理由：获奖人数为：（人） 个人所创年利润由高到低分别为E部门3人，B部门2人，C部门1人，共6人，而本组数据的中位数是4，按个人所创年利润由高到低排在本组数据的第7位． ∴D部门的员工不能获奖． 【点睛】本题考查众数，中位数和加权平均数．解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数；熟练掌握加权平均数的定义及其计算公式． 20. 如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点，当时，求的长度． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）长度为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定方法即可求证； （2）根据四边形是菱形，四边形是矩形，可证，可得，在中，根据含角的直角三角形的性质，可求出，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线交于点， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图： ∵四边形是菱形，时，由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 21. 冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A款玩偶20个，购进B款玩偶10个 （2）购进A款玩偶15个，购进B款玩偶30个时才能获得最大利润，最大利润是270元 【解析】 【分析】（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶个，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶个，利润为w元．根据题意，列出函数关系式，再由“规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．”求出a的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：购进A款玩偶20个，则购进B款玩偶10个． 【小问2详解】 解∶设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶个，利润为w元．由题意可得： ， ∴w随a的增大而增大， ∴网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ∴，解得， ∴当时，w取得最大值，此时，， 答：购进A款玩偶15个，购进B款玩偶30个时才能获得最大利润，最大利润是270元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 五、解答题（三）（共2个小题，每小题12分，满分24分） 22. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接，设点F的横坐标为x． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点P，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为 （2）的面积S与x之间的函数关系式为 （3）①．理由见解析；②存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点A，B坐标代入一次函数解析式求出k，b的值即可； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【小问1详解】 解：将点，代入一次函数得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合）， 设点F的横坐标为x，过点F作轴， ∴F点坐标为， ∴的面积：， ∴的面积S与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：①．理由如下： 当的面积时， ， 解得：， ∴F点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在，点P的坐标为或． 过点F作轴交x轴于点E，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点； 情况二：∵是等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 23. 综合与实践： 如图1，已知正方形纸片ABCD． 实践操作 第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O． 第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF． 问题解决 （1）的度数是______； （2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由； 探索发现 （3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求的值． 【答案】（1）；（2）四边形BGEF是菱形，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在中利用三角形内角和即可求出答案； （2）由正方形的性质，折叠的性质得出BG=EF，且BG∥EF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形BGEF是平行四边形，又，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答案； （3）做辅助线由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明，全等三角形对应边相等，故，由等角对等边得出BF的长，最后根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：（1）解：四边形ABCD是正方形， ， ， 由折叠的性质得， 在中， ． （2）结论：四边形BGEF是菱形． 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． 由折叠可知，，． ∴． ∴． ∵四边形ABCD是正方形， ∴． 由折叠可知， ． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴BG=EF，且BG∥EF， ∴四边形BGEF是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形BGEF是菱形． （3）如图，过点N作于点K，交AF于点I， 则． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴四边形ADNK为矩形． ∴． 由折叠，可知． ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 又， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理， 得． ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质和判定和勾股定理等知识，牢固掌握以上知识点和学会做辅助线是做出本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$