专题 求二次函数表达式的九种方法（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题03求二次函数表达式的九种方法 题型01利用一般式（三点式）求二次函数的表达式 【典例分析】 【例1】（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23九年级上·河北保定·期中）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线经过三点，则抛物线的表达式是 ． 【变式1-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为______________． 题型02利用顶点式求二次函数的表达式 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知顶点为的抛物线过点，此抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 【例2-3】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）某抛物线满足：①开口向上；②顶点．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，已知拋物线的顶点坐标是，且与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，作于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)当为多少时，最大？最大值为多少？ (3)请直接写出的最大值． 题型03利用交点式求二次函数的表达式 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【例3-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数的图象过，和三点． (1)求二次函数及直线的函数关系式． (2)直接写出不等式的解集． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数经过（2，0），（，0），（0，）三点，则解析式为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数（，b是实数），过，，这三个点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数的顶点坐标和对称轴． 题型04利用平移法求二次函数的表达式 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，经过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例4-2】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【例4-3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. (1)求二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围是 ； (3)将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·河南洛阳·期中）将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海松江·期末）在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，顶点在轴负半轴上，若． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若将（1）中抛物线平移得到，其顶点坐标为，且抛物线与直线总有交点，求的取值范围． 题型05利用对称轴求二次函数的表达式 【典例分析】 【例5-1】（2022·九年级上·贵州铜仁·）已知二次函数的图像过点，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【例5-2】（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 【例5-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的正半轴交于点A．    (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当时，求的面积． 【变式演练】 【变式5-1】（21-22九年级上·全国·课后作业）抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（    ） A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3 【变式5-2】（2022九年级·全国·专题练习）已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为（0，-2），则此二次函数的解析式为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·四川自贡·期末）已知抛物线（是常数）与轴交于两点，在的左侧．    (1)若抛物线的对称轴为直线（如图1），求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，是抛物线上的两点，点是轴上的一动点，连接，当的周长最小时，求点的坐标； 题型06利用图像中的信息求二次函数的表达式 【典例分析】 【例6-1】（20-21九年级上·山东泰安·期末）如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知二次函数与轴的正半轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，若，那么二次函数的表达式是 ． 【例6-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围是______； (3)若关于x的方程有且只有四个解，则的取值范围是______． 【变式演练】 【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    （1）求抛物线的表达式 ． （2）若点P在抛物线对称轴上，当点P坐标为 ，点Q坐标为 时，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形． 【变式6-3】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知抛物线经过三点，点的坐标为 ，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)则点______（填“在”或“不在”）抛物线上； (3)若点和都在此函数的图象上，则______（填“”，“”或“”； (4)当时，则的取值范围是____． 题型07利用表格信息求二次函数的表达式 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·北京西城·期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【例7-2】（21-22九年级上·河南新乡·期末）小刚在用描点法画抛物线C1：时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … 请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式： ． 【例7-3】（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【变式演练】 【变式7-1】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： … 0 3 5 7 9 … … … 根据表格可知，下列说法中，正确的是（    ） A．二次函数的图象在轴下方 B．二次函数中，的最大值是 C．二次函数的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【变式7-2】（2020·九年级·上海浦东新·）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 那么当时，该二次函数的值为 ． 【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，根据表格回答以下问题： … 0 1 2.5 3 … … 1 … (1)________，抛物线的对称轴是________； (2)求二次函数的解析式； (3)若抛物线上点到轴的距离小于3，请结合图象直接写出的取值范围. 题型08利用几何建模求二次函数的表达式 【典例分析】 【例8-1】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）正三角形的边长为1，D是边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作边的垂线，交于点G，用x表示线段的长度，的面积y是x的函数，则该函数的表达式是 （要求写出自变量x的取值范围） 【例8-3】（23-24九年级上·广东江门·期末）为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如图所示．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？ 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·浙江温州·期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设这个矩形的宽为，则矩形面积随变化的函数解析式为 ． 【变式8-3】（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 题型09利用建立实际问题模型求二次函数的表达式 【典例分析】 【例9-1】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 【例9-3】（22-23九年级上·云南大理·期末）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为W元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式演练】 【变式9-1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24九年级上·吉林白城·阶段练习）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为 ． 【变式9-3】（23-24九年级上·山东济宁·期中）某商店经销一种销售 成本为40元/kg的水产品，据市场分析∶若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品，设水产品售价x元/kg， 请解答以下问题∶ (1)写出月销售量与售价x元之间的函数解析式； (2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)商店想月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03求二次函数表达式的九种方法 题型01利用一般式（三点式）求二次函数的表达式 【典例分析】 【例1】（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解． 【详解】解：设这个二次函数的解析式是，把，，代入得： ， 解得：； 所以该函数的解析式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式 【变式演练】 【变式1-1】（22-23九年级上·河北保定·期中）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次函数一般式求出解析式 【详解】解：设 把，，分别代入得 ， 解得， ∴该函数的解析式是：， 故选：A 【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握用二次函数一般式求出解析式是解题关键 【变式1-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线经过三点，则抛物线的表达式是 ． 【答案】/ 【分析】根据待定系数法求解即可。 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将点代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为 【变式1-3】（2022九年级下·江苏·专题练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为______________． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）由待定系数法解二次函数的解析式； （2）根据图象性质，当ax2+bx+c=-3即y=-3，由此得到其中一个解x=0，再根据抛物线的对称性，解得另一个解即可； 【详解】解：（1）把点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c得， 解得 抛物线解析式为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为：直线， 方程ax2+bx+c=-3的解即y=-3时x的值，由图象可知，抛物线与y轴的交点为（0，-3） 根据抛物线的对称性可得，抛物线与直线y=-3的另一个交点为（2，-3） 故得到方程ax2+bx+c=-3的解为， 故答案为：，； 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型02利用顶点式求二次函数的表达式 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知顶点为的抛物线过点，此抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数的顶点坐标设出二次函数的解析式，然后将代入，可求得a的值． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是，则设这个二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 故这个二次函数的表达式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据顶点坐标正确设出二次函数的表达式 【例2-2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把代入求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则抛物线解析式为：． 故答案为： 【例2-3】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题目是一道求解二次函数解析式的问题，设二次函数解析式时，有三种表示方法：一般式，顶点式，交点式．知道顶点时，通常设成顶点式求解较简单．根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把代入求出值，即可确定出解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数与轴的一个交点是， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：， 故答案为： 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数顶点式， 图像过点， ，解得， 该二次函数的解析式是， 故选：C 【变式2-2】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）某抛物线满足：①开口向上；②顶点．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质：开口向上，即，二次函数的顶点坐标为即可解题． 【详解】解：①开口向上，即， ②顶点，即， ∴任意一个满足题意的二次函数的表达式：（答案不唯一） 【变式2-3】（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，已知拋物线的顶点坐标是，且与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，作于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)当为多少时，最大？最大值为多少？ (3)请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式，用待定系数法即可解答； （2）先求直线的解析式，再写出点D与E的坐标，求出与m关系式，最后根据二次函数的性质，求出的最大值； （3）先求出，进一步的得到，从而，根据的最大值即得的最大值． 【详解】（1）拋物线的顶点坐标是， ， 将的坐标代入得，， 解得， ， 即； （2）由（1）得：抛物线与y轴的交点坐标， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）∵ ， ∵， ， 轴， ， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出与m关系式是解答本题的关键 题型03利用交点式求二次函数的表达式 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， 设该抛物线的表达式为． ∵与y轴交于点，代入得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为， 故选：B 【例3-2】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意，设二次函数解析式为，将点代入，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： 【例3-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数的图象过，和三点． (1)求二次函数及直线的函数关系式． (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）图象法，找到抛物线在直线下方时，自变量的取值范围即可． 利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过，和三点， ∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：， 解得：， ∴； 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴． （2）由图象可知：的解集为：或 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键．根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故选：B 【变式3-2】（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数经过（2，0），（，0），（0，）三点，则解析式为 ． 【答案】 【分析】求二次函数的解析式，用待定系数法，根据三点的特征，设二次函数的顶点式，代入字母计算即可． 【详解】∵二次函数的图象经过(2，0)，(-4，0)，(0，-8)三点， ∴设二次函数的解析式为，将点(0，-8)代入得-8= -8a，解得a = 1， ∴函数解析式为，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，用待定系数法，做题的关键是代入熟练的计算． 【变式3-3】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数（，b是实数），过，，这三个点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数关系式，把抛物线的一般式化为顶点式，掌握“待定系数法与配方法”是解本题的关键. （1）根据待定系数法求解即可； （2）将（1）中结果化为顶点式即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数（，b是实数），过，，这三个点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： （2）由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为 题型04利用平移法求二次函数的表达式 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，经过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后得到， 经过点， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键 【例4-2】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减． 【详解】解：由题意得：平移后所得新抛物线的表达式是：， 即：， 故答案为： 【例4-3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. (1)求二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围是 ； (3)将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质，二次函数的平移， （1）设二次函数的解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入函数解析式，再结合图形，即可解答； （3）设二次函数的图象向下平移个单位，根据顶点式平移的性质可得二次函数的解析式，再将代入，解方程，求得的值，即可解答， 熟练掌握二次函数的平移口诀：“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入，可得， 解得， 二次函数的解析式为，即； （2）解：将代入函数解析式， 可得， 将代入函数解析式， 可得， 根据题意可得，当时，有最小值为 当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：设向下平移个单位， 可得， 把代入， 可得， 解得， 故答案为：18 【变式演练】 【变式4-1】（21-22九年级上·河南洛阳·期中）将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图像信息求解原抛物线的解析式，然后利用平移法则求解即可． 【详解】解：由题意，原抛物线顶点为，过点， ∴设原抛物线解析式为：， 将代入得：， ∴， ∴原抛物线解析式为， ∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到， 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及二次函数图象平移，掌握二次函数的顶点式以及平移法则是解题关键 【变式4-2】（23-24九年级上·上海松江·期末）在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是， 故答案为： 【变式4-3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，顶点在轴负半轴上，若． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若将（1）中抛物线平移得到，其顶点坐标为，且抛物线与直线总有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法确定抛物线的解析式，抛物线与一次函数的交点问题： （1）根据题意设抛物线解析式为，再将代入解析式求出的值即可； （2）先确定的解析式为，联立方程组，转化为，再根据两函数图像总有交点可得，求解即可； 将两函数图像的交点情况转化为一元二次方程的根的情况是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线顶点在轴负半轴上，且， ∴，， 设抛物线的解析式为，即， 当时，得： 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵将（1）中抛物线平移得到，其顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为：， 联立，得：， ∵抛物线与直线总有交点， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 题型05利用对称轴求二次函数的表达式 【典例分析】 【例5-1】（2022·九年级上·贵州铜仁·）已知二次函数的图像过点，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意确定h和k，再将点代入解析式求出a，进而得出函数解析式． 【详解】解：设， ∵图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴， ∴， ∵图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点， ∴， ， 代入点，得， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的图像与性质和待定系数法求函数解析式，掌握以上知识点是做出本题的关键 【例5-2】（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．根据抛物线的对称性求得与x轴另一个交点坐标，然后利用待定系数法即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点坐标为，对称轴为， ∴与x轴另一个交点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴其解析式为， 故答案为： 【例5-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的正半轴交于点A．    (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当时，求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线为：；(2)15 【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入函数的解析式，结合对称轴建立方程组求解二次函数的解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）确定A点坐标，然后设第二象限内抛物线上的点，结合勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得 抛物线的解析式为． 当，解得：，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：； （2）∵， ∴，则， 设第二象限内抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：，（舍去）， ∴，， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及勾股定理的应用，求出函数解析式并利用数形结合思想解题是关键 【变式演练】 【变式5-1】（21-22九年级上·全国·课后作业）抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（    ） A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3 【答案】B 【分析】把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式． 【详解】解：把(3，0)与(2，−3)代入抛物线解析式得： ， 由直线x=1为对称轴，得到=1，即b=−2a， 代入方程组得：， 解得：a=1，b=−2，c=−3， 则抛物线解析式为y=x2−2x−3， 故选：B． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴公式 【变式5-2】（2022九年级·全国·专题练习）已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为（0，-2），则此二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】由对称轴x＝2和抛物线在x轴上截得的线段长为6，可知抛物线与x轴的两个交点为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式，即可求解． 【详解】解：∵ 抛物线的对称轴为x＝2，且在x轴上截得线段长为6， ∴ 抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(5，0)． 设二次函数解析式为y＝a(x+1)(x-5) (a≠0)． 将点(0，2)代入上式得-2＝a(0+1)(0-5)， ∴ ． 因此二次函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，抛物线与x轴两交点是解题的关键 【变式5-3】（23-24九年级上·四川自贡·期末）已知抛物线（是常数）与轴交于两点，在的左侧．    (1)若抛物线的对称轴为直线（如图1），求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，是抛物线上的两点，点是轴上的一动点，连接，当的周长最小时，求点的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)坐标为 【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程列出关于m的对称轴方程，求出m的值即可得出结论； （2）先求出点C，D的坐标，设点关于轴的对称点为，则，连接，作直线．求出直线的解析式，再由可得当点位于直线与轴交点位置时，的周长最小，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得． 抛物线的解析式为：． （2）解：当时，， 解得 ， 当时， ， 如图，设点关于轴的对称点为，则，连接，作直线． 设直线的解析式为，则 ，解得， 直线的解析式为：． 在中， 当点位于直线与轴交点位置时，的周长最小． 直线与轴交点即为所求的点，其坐标为．    【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的最值，正确利用二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 题型06利用图像中的信息求二次函数的表达式 【典例分析】 【例6-1】（20-21九年级上·山东泰安·期末）如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可． 【详解】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴将二次函数的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为，即． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴的对称点的坐标特点是解答此题的关键 【例6-2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知二次函数与轴的正半轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，若，那么二次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是解答本题的关键． 根据题意设，则，，得到抛物线解析式为：，把代入得：，得到，由此得到二次函数的表达式． 【详解】解：根据题意设： ，则，， ，，， 设抛物线解析式为：， 把代入得：， 解得：（舍去），， 抛物线解析式为：， 即． 故答案为： 【例6-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围是______； (3)若关于x的方程有且只有四个解，则的取值范围是______． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确画出的图像是解题关键． （1）把点和代入可得关于、的方程组，解方程组求出、的值可得二次函数解析式，配方后得出顶点式二次函数解析式即可得顶点坐标； （2）根据二次函数解析式得出对称轴为直线，根据二次函数的对称性可得出点关于对称轴对称的点的坐标，根据图像即可得答案； （3）画出，得出顶点关于轴对称的点的坐标，根据方程有且只有四个解，得出的图像与直线有4个交点，即可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 由图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为： （3）解：画图像如图所示， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴顶点关于轴对称的点的坐标为， ∵关于x的方程有且只有四个解， ∴的图像与直线有4个交点， ∴的取值范围是：． 故答案为： 【变式演练】 【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与轴交点时，可设交点式，通过图象设解析式求解即可 【变式6-2】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    （1）求抛物线的表达式 ． （2）若点P在抛物线对称轴上，当点P坐标为 ，点Q坐标为 时，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形． 【答案】 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】解：（1）当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）设， 以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ． 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 【变式6-3】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知抛物线经过三点，点的坐标为 ，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)则点______（填“在”或“不在”）抛物线上； (3)若点和都在此函数的图象上，则______（填“”，“”或“”； (4)当时，则的取值范围是____． 【答案】(1)， (2)不在 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，可得，则，然后作答即可； （2）将代入得，，进而可得点不在抛物线上； （3）由二次函数的图象与性质可知，当时，随的增大而减小，关于对称轴对称的点坐标为，由，可得； （4）根据二次函数的图象与性质求取值范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的函数表达式为，顶点坐标为； （2）解：将代入得，， ∴点不在抛物线上， 故答案为：不在； （3）解：∵， ∴对称轴为直线，当时，随的增大而减小， 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故答案为：； （4）解：当时，， 当时，； 当时，； ∵， ∴ ∴的取值范围是， 故答案为： 题型07利用表格信息求二次函数的表达式 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·北京西城·期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程中各项的系数已知，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上， 则， 解得：， 所以一元二次方程可化为：， 解得：，， 故选：C 【例7-2】（21-22九年级上·河南新乡·期末）小刚在用描点法画抛物线C1：时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … 请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式： ． 【答案】 【分析】从表格中找三组x，y的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可． 【详解】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y=ax2+bx+c中得： ， 解得：， ∴抛物线C1的解析式为：y=-x2+4x+3， 故答案为：y=-x2+4x+3． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是准确熟练地进行计算 【例7-3】（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴ 【变式演练】 【变式7-1】（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： … 0 3 5 7 9 … … … 根据表格可知，下列说法中，正确的是（    ） A．二次函数的图象在轴下方 B．二次函数中，的最大值是 C．二次函数的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将表格中的三组数据代入，利用待定系数法确定函数解析式，然后确定顶点坐标及对称轴即可求解． 【详解】解：由图表可知抛物线过点，，， 代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为，在x轴上方，选项A错误，不符合题意； 最大值为4，选项B错误，不符合题意； 对称轴为直线，选项C正确，符合题意； 当时，随的增大而增大，选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键 【变式7-2】（2020·九年级·上海浦东新·）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 那么当时，该二次函数的值为 ． 【答案】 【分析】根据待定系数法将表格中任意三个点代入中，列出含a,b,c的方程组，求解a，b，c即可确定函数表达式. 【详解】解：将点(0,-3),(1,0),(2,1)代入中得， ， 解得， ， ∴抛物线表达式为. ∴当x=5时，y= -8. 故答案为：-8. 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，遵循待定系数法求解析式的步骤即可，即“一设”、“二代”、“三求解”、“四确定 【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，根据表格回答以下问题： … 0 1 2.5 3 … … 1 … (1)________，抛物线的对称轴是________； (2)求二次函数的解析式； (3)若抛物线上点到轴的距离小于3，请结合图象直接写出的取值范围. 【答案】(1)，对称轴为直线，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得的值； （2）根据待定系数法求得即可； （3）根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】（1）根据图表可知：当时，， ∴， 二次函数的图象过点， ∴对称轴为直线； （2）∵抛物线经过点（0，1），（1，-2），（3，-2）， 代入y=ax2+bx+c得， 解得 ， ∴此二次函数的解析式为； （3）； 当时，， 当时，， 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键 题型08利用几何建模求二次函数的表达式 【典例分析】 【例8-1】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值． 【详解】解：设矩形的宽为，面积为， 根据题意得：， ∴时，菜园面积最大，最大面积是． 故选：A 【例8-2】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）正三角形的边长为1，D是边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作边的垂线，交于点G，用x表示线段的长度，的面积y是x的函数，则该函数的表达式是 （要求写出自变量x的取值范围） 【答案】（） 【分析】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，利用三角形面积公式列函数解析式．根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点D不与点B、C重合可列关于的一元一次不等式求出范围即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为1，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点D不与点B、C重合，， ∴，即：， 故答案为：（） 【例8-3】（23-24九年级上·广东江门·期末）为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如图所示．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）根据（1）及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵且， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵，且， ∴当时，绿化带的面积最大，最大值为； 答：当时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·浙江温州·期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用：设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则，根据矩形的面积公式列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则， 则， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则能建成的饲养室最大总占地面积为， 故选：B 【变式8-2】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设这个矩形的宽为，则矩形面积随变化的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的宽为，可以求出矩形的长，再根据矩形面积公式即可得解． 【详解】解：这个矩形的宽为， 这个矩形的长为， 由题意可得， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了根据实际问题求二次函数的解析式，正确理解题意、列出相应的函数解析式是解答此题的关键 【变式8-3】（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 题型09利用建立实际问题模型求二次函数的表达式 【典例分析】 【例9-1】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 【例9-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 【答案】 10240 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240 【例9-3】（22-23九年级上·云南大理·期末）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为W元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当定价元时，有最大值，最大值是400元 【分析】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键． （1）每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润得出答案； （2）根据配方法，结合二次函数增减性可得答案． 【详解】（1）根据题意可得： ； （2）根据题意得：， ， 时，随的增大而减小， 当定价元时，有最大值，最大值是400元 【变式演练】 【变式9-1】（23-24九年级上·福建厦门·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清“每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量”是解题的关键． 【详解】解：解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：， 故选C 【变式9-2】（23-24九年级上·吉林白城·阶段练习）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用第3年的销售量=第一年的销售量每年销售量的增长率，即可得出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 【变式9-3】（23-24九年级上·山东济宁·期中）某商店经销一种销售 成本为40元/kg的水产品，据市场分析∶若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品，设水产品售价x元/kg， 请解答以下问题∶ (1)写出月销售量与售价x元之间的函数解析式； (2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)商店想月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？ 【答案】(1) (2)当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是6250元 (3)销售单价不少于50元，且不超过80元， 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）根据按60元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，可以写出月销售量与售价之间的函数解析式； （2）根据题意可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得到当售价定为多少时，月销售利润最大，最大利润是多少； （3）根据二次函数性质求解即可． 【详解】（1）由题意可得， ， 即月销售量与售价之间的函数解析式是； （2）设利润为元， 由题意可得， 当时，取得最大值，此时， 答：当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是6250元； （3）月销售利润不少于4000元， ∴令，则， 解得， 即的取值范围是． 即销售单价不少于50元，且不超过80元，月销售利润不少于4000元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$