专题 一元二次方程根与系数关系的十一种应用（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题02一元二次方程根与系数关系的十一种应用 题型01已知一个方程的根，求另一个根及待定系数 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．2，2 【例1-2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）已知是方程的一个根，则另一根是 ， ． 【例1-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元二次方程一个根为，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式1-2】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知关于的方程的一个根为2，求的值是 方程的另一根 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的一个根是，求另一个根及c的值． 题型02已知一个方程，求含两个未知数的代数式的值 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（    ） A．2021 B．2032 C．2022 D．2030 【例2-2】（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【例2-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设是的两实数根，求下列代数式的值． (1)； (2) 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【变式2-2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若m、n是方程的两个实数根，则代数式 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）设、分别为方程的两个实数根，求代数式的值． 题型03已知两个方程，求含两个未知数的代数式的值 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）若a，b是两个不相等的实数，且满足，则代数式的值为（  　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例3-2】（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ． 【例3-3】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）若，满足，，则的值为 ． 【变式演练】 【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若实数a、b满足，，则的值为 【变式3-3】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）若实数、分别满足，，且，则 ． 题型04已知一个方程，求字母系数的取值范围 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，的长是拋物线与x轴交点的横坐标的绝对值，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 【例4-3】（23-24九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的一元二次方程. 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）关于的方程两实根之和为，且满足，关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·广东惠州·期末）已知关于x的一元二次方程：有二个不相等实数根，． (1)若，求此时方程的解； (2)当时，求m的取值范围． 题型05已知方程，求字母系数的值 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 【例5-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【例5-3】（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若一元二次方程的两根之和是两根之积的2倍，则m的值为（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【变式5-2】（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ，若方程两根a，b满足，则 ． 【变式5-3】（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求k的值． 题型06已知方程，判断根的符号 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 【例6-3】不解方程，2x2+3x-1=0的两个根的符号为（ ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【变式6-2】一元二次方程的根的情况是（    ） A． 有两个正的实数根 B．有两个负的实数根 C．两根的符号相反 D．方程没有实数根 【变式6-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断方程两根的符号． 题型07已知两个跟，求一元二次方程 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·江苏·期中）若一个一元二次方程的两根分别是方程两根的相反数，则这个一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24九年级上·河南安阳·期中）请任意写出一个一元二次方程，它有两个解分别为1，2，这个一元二次方程为 ． 【例7-3】．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）写出一个以和为两根、且二次项系数为1的一元二次方程 ： 【变式演练】 【变式7-1】（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知关于的二次项系数为1的一元二次方程的两根之和为，两根之积为，则这个方程为 ． 【变式7-3】（23-24九年级上·广东佛山·期中）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 题型08结合根的判别式证明等式 【典例分析】 【例8-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）关于一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程有两个 的实数根（填相等或不相等） 【例8-3】若一元二次方程的两根之比为，求证：； 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式8-2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式8-3】若一元一次方程的两根之比为，求证： 题型09结合根的判别式证明不等式 【典例分析】 【例9-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于，求的取值范围． 【例9-2】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知关于x的一元二次方程： (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围． 【例9-3】（23-24九年级上·四川乐山·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：若为一元二次方程的两个实数根，则． (1)已知实数满足，且，求的值． 解：根据题意，可将看作方程的两个实数根． ∴______，_______． ∴_______． (2)已知实数满足，且，求的值． (3)已知实数满足，求实数的最大整数值． 【变式演练】 【变式9-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）【阅读理解】 利用根与系数的关系构造一元二次方程 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法一：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法二：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数，满足，，求的值． (2)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【变式9-2】（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程． (1)求k的取值范围； (2)如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值； (3)当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由． 【变式9-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 题型10结合抛物线求字母的值 【典例分析】 【例10-1】（21-22九年级上·河南驻马店·期中）已知关于x的二次函数y=x2-x+a-1的图象与x轴有两个交点，则实数a的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【例10-2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是 ． 【例10-3】（22-23九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数为常数，且，其图象与x轴有且只有一个交点，求m的值． 【变式演练】 【变式10-1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为(    ) A．3 B．2 C．4 D．2或3 【变式10-2】（22-23九年级上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ． 【变式10-3】（21-22九年级上·江西南昌·期中）已知二次函数． （1）写出它的开口方向，对称轴； （2）若它与坐标轴有且只有两个交点，求的值． 题型11结合一元二次方程求抛物线与x轴两个交点间的距离 【典例分析】 【例11-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是（    ）． A．4 B．5 C．8 D． 【例11-2】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）抛物线与轴的两交点间的距离是 ． 【例11-3】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程两实数根为，，且满足，求二次函数的图象与轴的两个交点间的距离． 【变式演练】 【变式11-1】若方程的两根为，3，则抛物线与轴的两个交点间的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式11-2】（23-24九年级上·四川南充·期末）若一元二次方程的两根为，则抛物线与轴的两个交点间的距离是 ． 【变式11-3】（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根． (2)若抛物线与x轴交于，两点，则A，B两点间的距离是否存在最大值或者最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程根与系数关系的十一种应用 题型01已知一个方程的根，求另一个根及待定系数 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ） A．0， B．0，0 C．， D．2，2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．设方程另一个根为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程，再将代入方程求得m的值即可． 【详解】解：设方程另一个根为，根据题意得， 解得． 将代入方程得： ， 解得：， 故选：C 【例1-2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）已知是方程的一个根，则另一根是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴； ∴方程的另一个根为； ∴， ∴， 故答案为：， 【例1-3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根． 【答案】的值是，另一个根是 【分析】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根．由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 设另一个根为，则， ∴， ∴的值是，另一个根是 【变式演练】 【变式1-1】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元二次方程一个根为，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求出另一个根为，再根据，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， ∵一元二次方程一个根为， ∴另一个根为， ∴，则， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系： 【变式1-2】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知关于的方程的一个根为2，求的值是 方程的另一根 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得，，然后先求出t，再求m的值． 【详解】解：设方程的另一根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即m的值为1，方程的另一根为． 故答案为：1，． 【变式1-3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的一个根是，求另一个根及c的值． 【答案】； 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．设方程另一个根为，先利用两根之和计算出，然后利用两根之积求出c的值． 【详解】解：设方程另一个根为， 根据题意得，， ∴， ∴， ∴ 题型02已知一个方程，求含两个未知数的代数式的值 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（    ） A．2021 B．2032 C．2022 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可知： ， 又 ，利用它们可以化简   ，然后就可以求出所求的代数式的值． 【详解】由题意可知： 是 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： ， 又， 则 ， 故选：B 【例2-2】（23-24九年级上·新疆阿克苏·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为： 【例2-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设是的两实数根，求下列代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键． （1）将代数式 变形为，再代入数据即可得出结论； （2）将代数式变形为，再代入数据即可得出结论． 【详解】（1）∵是 的两实数根， ， ∴ ； （2） 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根，，．根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别是和， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若m、n是方程的两个实数根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故答案为： 【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）设、分别为方程的两个实数根，求代数式的值． 【答案】2023 【分析】本题考查了根与系数的关系．根据方程的解的定义得出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：、分别为方程的两个实数根， ， ， 、分别为方程的两个实数根， ， 题型03已知两个方程，求含两个未知数的代数式的值 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）若a，b是两个不相等的实数，且满足，则代数式的值为（  　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程的两个根，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题可知a，b是方程的两个根， ∴， ∴， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，， 【例3-2】（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ∵实数m，n满足，，且， ∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随x的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：3 【例3-3】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）若，满足，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】分①和②两种情况，再将，看作是方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系可得，然后利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：①当时，； ②当时，，， ，是方程的两个不相等的实数根， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确分两种情况讨论是解题关键 【变式演练】 【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程  的两边都除以得，进而得出a，为方程的两个实数根，最后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】由题意可知，将方程 的两边都除以得， ∵，， ∴，为方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，将方程 变形，进而得出a，为方程的两个实数根是解题的关键 【变式3-2】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若实数a、b满足，，则的值为 【答案】或2 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再利用分式的性质得出，再代入求值即可． 【详解】解：当时， ∵，即， 又∵实数a、b满足，， ∴，， ∴， 当时，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键 【变式3-3】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）若实数、分别满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 题型04已知一个方程，求字母系数的取值范围 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，的长是拋物线与x轴交点的横坐标的绝对值，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，三角形三边的关系，先根据抛物线与x轴有交点，得到，求出；设m、n是抛物线与x轴两个交点的横坐标，由根与系数的关系得到，再由三角形三边的关系得到，则，再根据完全平方公式的变形推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的长是拋物线与x轴交点的横坐标的绝对值， ∴拋物线与x轴有交点， ∴， ∴， 设m、n是抛物线与x轴两个交点的横坐标， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故选D． 【例4-2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 【答案】或， 【分析】将原方程变形为，求出方程的，分为两种情况，，代入后求出a的范围即可． 【详解】解：由题意得：，这是一个关于的一元二次方程， ∵原方程有且仅有两个不相等的实根， ∴只有一个大于0的实数根， ， 当时，有唯一解； 时，； 此时原方程为，即， 解得：； 的一个根大于0，另一个根小于0， ②，，， 根据根与系数的关系得：， 即， 综合上述，a的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数关系的应用，熟记概念是关键 【例4-3】（23-24九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的一元二次方程. 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据根的情况求出参数以及根与系数的关系： 根据“两个不相等的实数根”，得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：二元一次方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴； 【变式演练】 【变式4-1】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与有两个交点，可知有两个不相等的实根，即，可得关于的不等式；再由，不等式左边展开，利用韦达定理可得关于的不等式，联立不等式组即可． 【详解】解：因为与有两个交点，所以，即有两个不相等的实根，即，解得：， 由整理得： ， 由韦达定理可知：，代入上式得，，解得：， 联立解得：， 故选：A． 【点睛】本题结合函数考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是理解图像有两个交点等价于方程有两个不相等实数根，从而得出含的不等式，利用韦达定理展开已知含两根的不等式得出含的不等式 【变式4-2】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）关于的方程两实根之和为，且满足，关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及根的判别式得，，再解利用不等式即可得解． 【详解】解：方程有两实根， ， 解得； 关于的不等式组有实数解， 又， ， 解得． 的取值范围是得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及判别式、解不等式式组，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及判别式是解题的关键 【变式4-3】（23-24九年级上·广东惠州·期末）已知关于x的一元二次方程：有二个不相等实数根，． (1)若，求此时方程的解； (2)当时，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，一元二次方程根于系数的关系，根的判别式． （1）将代入方程，利用因式分解法进行求解即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根，和分别求出m的取值范围，即可得到最后结果． 【详解】（1）解：当， 方程为， ， 解得：，； （2）有二个不相等实数根，， ， 解得：， ， ， 解得：， ． 题型05已知方程，求字母系数的值 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 【详解】当3为底边长时，则， ∴， ∵4，4，3能围成三角形， ∴， 解得：； 当3为腰长时，a、b中有一个为3，假定， ∴ ∴ ∴另一个边长为5， ∵5，3，3能围成三角形， ∴， 解得：； ∴m的值为17或16， 故选：D 【例5-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值． 【详解】方程有两个实数根，， ， 解得：； 原方程的两个实数根为、， ，， ， ， ， ， ，且， 整理得，， ∵， ∴， ∵， ∴解得：． 故答案为：， 【例5-3】（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程，当判别式时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，若方程的两个实数根为、，则，． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，列出不等式即可得答案； （2）根据（1）中结果得出值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）设方程的两个实数根为、，且， ∴，， 由（1）可知：， ∵为符合条件的最小整数， ∴， ∵该方程的较大根是较小根的倍， ∴， ∴，， ∴， 解得：，． 当时，，则，符合题意， 当时，，则，与不符，舍去， ∴ 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·陕西汉中·期中）若一元二次方程的两根之和是两根之积的2倍，则m的值为（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】B 【分析】先设一元二次方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，由两根之和是两根之积的2倍，列出关于m的方程，求出m即可． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， 则，， ∵一元二次方程的两根之和是两根之积的2倍， ∴， ∴， 故选：B 【变式5-2】（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ，若方程两根a，b满足，则 ． 【答案】 或 【分析】根据一元二次方程判别式，然后解不等式即可；根据根与系数的关系，，代入解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 解得：； 方程两根a，b满足，即，，， ，即， ， 解得：，． 故答案为：，或． 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，，是方程的两根时，则， 【变式5-3】（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程； （1）有两个实数根，则，根据可求得的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出，，代入中，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：． （2）∵方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或． ∵， ∴． 题型06已知方程，判断根的符号 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系．根据有两个符号相反的解，得到两根之积为负数，进行判断即可． 【详解】解：A、,两根之积为0，本选项不符合题意； B、，方程没有实数根，本选项不符合题意； C、，两根之积为，本选项不符合题意； D、，且两根之积为，本选项符合题意； 故选：D 【例6-2】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解． 【详解】解：的两根分别为，，则，， ∴方程的两根同号，且两根都是正数， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键 【例6-3】不解方程，2x2+3x-1=0的两个根的符号为（ ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系来判断两根的符号． 【详解】∵一元二次方程2x2+3x-1=0的二次项系数a=2，常数项c=-1， =-＜0， ∴一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根x1、x2的符号是异号； 故选B． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系．解得此题时，利用了根与系数关系来判断一元二次方程的两根的符号 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B 【变式6-2】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个正的实数根 B．有两个负的实数根 C．两根的符号相反 D．方程没有实数根 【答案】C 【分析】判断方程的根的情况，可由根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断根的存在，用x1+x2，x1•x2的符号判断两根的符号关系． 【详解】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵x1•x2＝＜0， ∴方程两根的符号相反． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根 【变式6-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断方程两根的符号． 【答案】两根一正一负 【分析】由原方程得到：，根据一元二次方程根的判别式求出△的值，进而确定方程根的情况； 再根据根与系数关系求出两根之积的值，进而确定两根符号即可解答． 【详解】∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∵，， ∴两根一正一负． 【点睛】本题考查判断一元二次方程根的符号的题目，掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键 题型07已知两个跟，求一元二次方程 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·江苏·期中）若一个一元二次方程的两根分别是方程两根的相反数，则这个一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的两根分别为和，根据根与系数的关系得，，再分别计算和的值，然后根据根与系数的关系写出新方程． 【详解】设方程的两根分别为和， 根据题意得，， 因为， ， 所以所求的新方程为． 故选：C． 【例7-2】（23-24九年级上·河南安阳·期中）请任意写出一个一元二次方程，它有两个解分别为1，2，这个一元二次方程为 ． 【答案】 【分析】根据一般式构造方程即可，熟练掌握构造方程的方法是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 【例7-3】．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）写出一个以和为两根、且二次项系数为1的一元二次方程 ： 【答案】 【分析】由于方程的两根为和，可以利用来解答． 【详解】两根之和； 两根之积为； 根据根与系数的关系，方程为， 将①②代入③得，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用根与系数的关系构造一元二次方程，熟悉是解题的关键 【变式演练】 【变式7-1】（22-23九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程和根与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A：方程的解是，不符合题意； B：由题意得，而方程中，不符合题意； C：方程的解是，符合题意； D：由题意得，而方程中，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识 【变式7-2】（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知关于的二次项系数为1的一元二次方程的两根之和为，两根之积为，则这个方程为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：依题意，一元二次方程为， ∴这个方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式7-3】（23-24九年级上·广东佛山·期中）课本再现： （1）若一元二次方程的两个根是，，则_____，_____．（用含，，的代数式表示） 类比探究： （2）写出以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_____． 【答案】（1），；（2）； 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； （2）根据根与系数的关系求得及的值，即可得到答案； 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个根是，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根为2和3，则有， ，， ∵二次项系数为1， ∴新方程为：； 题型08结合根的判别式证明等式 【典例分析】 【例8-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）关于一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、由可得：，所以方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； B、由可得：，所以方程有两个相等的实数根，故符合题意； C、由可得：，所以方程无实数根，故不符合题意； D、由可得：，所以方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选：B 【例8-2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程有两个 的实数根（填相等或不相等） 【答案】相等 【分析】先求出判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， 故答案为：相等． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根 【例8-3】若一元二次方程的两根之比为，求证：； 【答案】见解析 【分析】设方程的两根是，，根据根与系数的关系得到，，由此得到①，②，将其变形即可得到答案； 【详解】设方程的两根是，，则 ，， ∴①，②， 由①得③， 把③代入②，得 ， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故方程有两个相等的实数根． 故选A 【变式8-2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A 【变式8-3】若一元一次方程的两根之比为，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】设，是一元二次方程的两根，得到，，由将其变形整理即可得到结论. 【详解】 证明：设，是一元二次方程的两根， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的两个关系式是解题的关键. 题型09结合根的判别式证明不等式 【典例分析】 【例9-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及根的判别式、十字相乘法解一元二次方程及解一元一次不等式等知识，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系及解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出，即可得证； （2）利用十字相乘法因式分解求出关于的一元二次方程的解，由题意列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程中，， ， 关于的一元二次方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程可分解为， 解得， 方程有一根小于， ， 解得 【例9-2】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知关于x的一元二次方程： (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论； （2）解方程得，根据方程有一个根大于2得到即可得到k的取值范围． 【详解】（1）证明：依题意，得 ． ∵， ∴． ∴该方程总有两个实数根． （2）解：解方程得， ． ∵该方程有一个根大于2， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键 【例9-3】（23-24九年级上·四川乐山·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：若为一元二次方程的两个实数根，则． (1)已知实数满足，且，求的值． 解：根据题意，可将看作方程的两个实数根． ∴______，_______． ∴_______． (2)已知实数满足，且，求的值． (3)已知实数满足，求实数的最大整数值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识点，掌握相关结论，学会逆向思考是解题关键． （1）根据根与系数的关系可直接求解； （2）由可得，即可推出是一元二次方程的不相等的两个实数根，据此即可求解； （3）由题意可得、，故可推出可以看作是一元二次方程的两个实数根，即可得出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴ 故答案为：，， （2）解：∵， ∴ ∵ ∴是一元二次方程的不相等的两个实数根 整理方程得：， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴可得：， 即： 可得：， 即： ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根 ∴ 化简得：， 解得：， ∴实数的最大整数值为 【变式演练】 【变式9-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）【阅读理解】 利用根与系数的关系构造一元二次方程 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法一：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法二：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数，满足，，求的值． (2)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】(1)或2 (2)1 【分析】（1）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （2）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （2）解：，， 将、看作是方程的两实数根． ， 而， ， ， 即， 的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握，若，是一元二次方程的两根时，， 【变式9-2】（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程． (1)求k的取值范围； (2)如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值； (3)当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由． 【答案】(1)且 (2)或 (3)成立，见解析 【分析】（1）将k当作已知数解出方程的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即，解得，即可求出k的取值范围； （2）根据，可得，，代入方程②，可得，可得，，由于②的解为负整数且k为整数，所以或，可得或，即可求出整数m的值； （3）方法1：由（1）可知且，且k为正整数，可知，所以方程②为，因为方程②有两个实数根，，所以，，，由可求出，将，，代入，可得，将其代入，即可证明；方法2：先得出，，，，根据，求出，可得，分两类和，与，，代入，可得，将其代入，即可证明． 【详解】（1）解：∵关于x的方程的解为，且该方程的解为非正数， ∴，解得， 又∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，，解得， 综上所述，k的取值范围是且． （2）解：由（1）可知且， ∵，， ∴，， ∴方程②为， 即， ， 解得：，， ∵方程②为，方程②的解为负整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴m的值为或． （3）解：方法1：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴（*） ∵， ∴ 即， 即，即代入（*） ∴ ∴； 方法2：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，（漏1种情况扣1分） ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，成立． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握并应用相关知识点是解答本题的关键 【变式9-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】 ，：；，：；应用：；推广：最小值为． 【分析】（）【探究】根据一元二次方程的两个根构造方程； 根据一元二次方程的两个根构造方程； （）【应用】由方程的解代入方程，然后整体代入即可求解； （）【推广】由，，转化为，是关于方程的两根，，然后用根的判别式即可求解． 根据一元二次方程中根与系数之间关系即可求解； 【详解】（）【探究】∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， 故答案为：，； （）【应用】∵， ∴，为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， （）【推广】：， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：正数的最小值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式 题型10结合抛物线求字母的值 【典例分析】 【例10-1】已知关于x的二次函数y=x2-x+a-1的图象与x轴有两个交点，则实数a的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】利用判别式可以判断方程的根的情况，列出不等式，解不等式即可． 【详解】∵二次函数y=x2-x+a-1的图象与x轴有两个交点 ∴， 解得=1.25 故选A． 【点睛】本题考查了根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，属于基础题 【例10-2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的联系，得有实数根，所以且，求解取最大整数解，得答案． 【详解】解：由题意知，，方程有实数根 ∴，且 解得，且 ∴整数a的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根的判别，一元一次不等式的求解，理解二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键 【例10-3】（22-23九年级上·云南昭通·期中）已知二次函数为常数，且，其图象与x轴有且只有一个交点，求m的值． 【答案】7 【分析】根据抛物线与轴的交点问题，当时，抛物线与轴有且只有一个交点，然后解关于的一元二次方程． 【详解】解：令，则． 根据题意知，， 解得． 所以当图象与轴有且只有一个交点时，的值为7． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点 【变式演练】 【变式10-1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为(    ) A．3 B．2 C．4 D．2或3 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断． 【详解】解：∵抛物线与坐标轴有且仅有两个交点 ∴令， 得 ∵与x轴一个交点时， ∴， 解得， 当与x轴有两个交点，且其中一个交点与y轴交点相重合时， 此时 ∴， 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，明确抛物线与x轴的交点数量是解题关键 【变式10-2】（22-23九年级上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ． 【答案】或2 【分析】根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当时，函数为二次函数， ∵函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴有1个实数根， ∴， 解得或． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键 【变式10-3】已知二次函数． （1）写出它的开口方向，对称轴； （2）若它与坐标轴有且只有两个交点，求的值． 【答案】（1）开口向上，对称轴是直线；（2）过原点时，；与轴只有一个交点时，的值为0或4 【分析】（1）根据二次函数的解析式即可得到答案； （2）分二次函数过原点和不过原点两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴是直线； （2）①当二次函数经过原点时，则 ②当二次函数不经过原点，且与轴只有一个交点时， ， 解得 ∴当二次函数，与坐标轴有且只有两个交点，c的值为0或4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识 题型11结合一元二次方程求抛物线与x轴两个交点间的距离 【典例分析】 【例11-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是（    ）． A．4 B．5 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系、二次函数图象的平移，设抛物线与x轴两个交点坐标为，，则，求得，再求得平移后的解析式，设其与x轴的交点坐标为，，求得即可．熟知函数图象平移规则“左加右减，上加下减”和两点距离公式是解答的关键． 【详解】解：设抛物线与x轴两个交点坐标为，， 则，， ∴， ∴， 抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线的表达式为 ， 设平移后的抛物线与x轴的交点坐标为，， 则，， ∴ ， 故选：A 【例11-2】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）抛物线与轴的两交点间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为、， 抛物线与轴的两交点间的距离是， 故答案为：4 【例11-3】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程两实数根为，，且满足，求二次函数的图象与轴的两个交点间的距离． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根知，解答即可； （2）先求出一元二次方程的两根．再根据二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标就是方程的两个根，求差的绝对值即可． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴， ∴． （2）∵方程有两个实数根， ∴． ∵ ∴， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为． 【点睛】本题侧重考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系，掌握其关系是解决此题的关键 【变式演练】 【变式11-1】若方程的两根为，3，则抛物线与轴的两个交点间的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点．求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．根据抛物线与轴两交点横坐标为，3，利用两根关系求的值． 【详解】解：方程的两个根分别为，3， 抛物线与轴的两个交点的横坐标为，3， 抛物线与轴两个交点间距离为， 故选：C 【变式11-2】（23-24九年级上·四川南充·期末）若一元二次方程的两根为，则抛物线与轴的两个交点间的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需明确二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根．由二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是， 又一元二次方程的两根就是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为． 则抛物线与轴的两个交点间的距离是 故答案为： 【变式11-3】（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根． (2)若抛物线与x轴交于，两点，则A，B两点间的距离是否存在最大值或者最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)A，B两点间的距离有最小值，最小值为 【分析】（1）计算根的判别式，判断判别式的正负，即可得答案； （2）由根与系数的关系，可用含m的代数式表示A、B间的距离，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴， ∴原方程有两个不等实数根； （2）解：存在最小值，由题意知，是方程的两根， ∴，． ∵， ∴ ， ∴当时，有最小值8， ∴有最小值，即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根与系数的关系，利用完全平方公式用含m的代数式表示A、B间的距离是解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$