专题 二次函数图像与系数的七种关系（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题01二次函数图像与系数的七种关系 题型01二次函数二次项系数与图像的关系 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【例1-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数与直线相交于点，求： (1)，的值； (2)函数 的图象的顶点的坐标及直线与抛物线的另一个交点的坐标． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值． 题型02二次函数一次项系数与图像的关系 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）抛物线的对称轴是（     ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 【例2-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【例2-3】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有 ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）拋物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2-2】（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）抛物线的对称轴是直线，则b的值为（　　） A． B．4 C．1 D． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象的对称轴是直线 ． 题型03二次函数常数项与图像的关系 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把二次函数的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ． 【例3-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，． (1)求点A的横坐标． (2)求线段的长度． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）已知抛物线与轴相交于点，（点在点左侧），顶点为，平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习） 函数的图象如图所示． (1)求，的值； (2)设点是图象与轴的另一个交点，求点的坐标； (3)求图象的顶点坐标及最大值． 题型04二次函数二次项系数、一次项系数与图像的关系 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）对于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随增大而增大 【例4-2】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线，抛物线的对称轴为 ； 【例4-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线有最高点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求的长； (3)当时，x的取值范围是__________． 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 题型05二次函数二次项系数、常数项与图像的关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示是二次函数的图象，则的值是（     ）    A． B． C． D．或 【例5-2】（23-24九年级上·江苏镇江·期末）若二次函数图象经过原点，则m的值为 ． 【例5-3】（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的解析式； (2)在直线上，点的横坐标为，过点作直线与抛物线有且仅只有一个交点，直接在图1中作示意图，并直接写出满足条件的直线解析式； (3)设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线过点． (1)求的值； (2)求该抛物线顶点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 题型06二次函数一次项系数、常数项与图像的关系 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ） A．1或0 B．1或 C．或 D．0或 【例6-2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 【例6-3】（23-24九年级上·云南玉溪·期末）已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)若点（其中）在抛物线上，求的值． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线经过点，则的值是（　　） A． B． C．1 D．7 【变式6-2】（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则 ． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知：二次函数的图象与轴交于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围． 题型07二次函数的系数与图像的关系 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例7-2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ． 【例7-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数、b是常数， (1)若在该二次函数的图象上，当时，试判断代数式的正负性； (2)已知对于任意的常数a、，二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数图象上所有的点都高于点 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论∶①②；③；④其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-2】（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 【变式7-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标 ． (2)求证：无论a，b取任意实数，此抛物线必经过一个定点，并求出此定点； (3)若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数图像与系数的七种关系 题型01二次函数二次项系数与图像的关系 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B 【例1-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【答案】 顶点 抛物线 上 y轴（或直线） 减小 增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 【例1-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数与直线相交于点，求： (1)，的值； (2)函数 的图象的顶点的坐标及直线与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)顶点 (即坐标原点)的坐标为，直线与抛物线的另一个交点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与直线交点求解析式，将直线与函数的图象交点坐标可利用方程求解是解题的关键．直线与函数的图象交点坐标可将两函数解析式联立形成方程组求解，方程组的解对应着交点的横、纵坐标． 【详解】（1）解：点是直线与函数图象的交点， 点A的坐标满足二次函数和直线的关系式， （2）由(1)知二次函数为， ∴顶点的坐标为， 由，解得，， 当时，， 当时，， 直线与抛物线的另一个交点的坐标为 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A 【变式1-2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理和二次函数的图象和性质，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．分别用表示、两点的坐标，然后根据坐标系两点距离公式求出、，的值，然后分三种情况，用勾股定理进行求解即可． 【详解】把横坐标，分别代入得、， ∴，，， 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，， 此方程无解， 综上，当为直角三角形，的值为或 题型02二次函数一次项系数与图像的关系 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）抛物线的对称轴是（     ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴为进行解答即可． 根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，即对称轴为y轴． 故选B． 【例2-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是(    ) A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的 C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可得． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故选项B错误，选项C正确； 时，， 该函数图象经过点，故选项A错误； 该函数图象可由函数的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误； 故选：C． 【例2-3】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据当时，，可判断③，根据图象的特点可以判断④，根据抛物线与x轴的交点可判断⑤，根据a，b，c的关系即可判断⑥． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，，故①错误，②正确； 由图可知，当时，， ∴，故③正确 由图可知，当时，函数图象在x轴上方，此时或，故④错误； 由图可知抛物线与x轴有2个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故⑤正确． ∵，当时，， ∴，即，故⑥错误， ∴正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤ 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）拋物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数一般式中对称轴的求法．根据题意直接代入对称轴公式“直线”即可选出本题答案． 【详解】解:∵抛物线, ∴, ∴对称轴为直线, 故选:D 【变式2-2】（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）抛物线的对称轴是直线，则b的值为（　　） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图像的对称轴公式列出关于b的方程计算即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线 ∴抛物线对称轴为，解得：． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的知识，利用对称轴求解即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 题型03二次函数常数项与图像的关系 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系． 【详解】解：， ， 又时，， ， ， 选项C不正确； 抛物线开口向上， ； 又， ， 选项A不正确； ， ， 又， ， 选项D正确； ， 时，， ， 又， ， 选项B不正确． 故选：D． 【例3-2】（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把二次函数的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ． 【答案】/ 【分析】 本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换． 先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得，即可求解． 【详解】 解：把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度， 平移后的解析式为：， 平移后的解析式为：， 对称轴为直线， 平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， ， ， 故答案为： 【例3-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，． (1)求点A的横坐标． (2)求线段的长度． 【答案】(1)点A横坐标为 (2)的长度均为7 【分析】此题考查二次函数的性质，准确判断点A与点E关于对称轴对称是解此题的关键． （1）根据对称轴公式直接求抛物线的对称轴，点A、E关于对称轴对称和点E横坐标，求出点A横坐标； （2）求出C、D的坐标即可求出的长． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 轴， 又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1， ， 解得：， ∴点A的横坐标为． （2）解： 点E是抛物线与抛物线的交点， ， ， ， 令， 则， ； ∴的长度均为7 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）已知抛物线与轴相交于点，（点在点左侧），顶点为，平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移； 首先求出点A、B、M的坐标，然后根据平移后点落在轴上，点落在轴上得出平移方式，再根据二次函数图象的平移规律得出答案． 【详解】解：令， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， ∵点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上， ∴抛物线向上平移1个单位长度，向左平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， 故选：B 【变式3-2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度 【变式3-3】（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习） 函数的图象如图所示． (1)求，的值； (2)设点是图象与轴的另一个交点，求点的坐标； (3)求图象的顶点坐标及最大值． 【答案】(1)， (2) (3)二次函数顶点坐标为，最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法求二次函数解析式等等，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出a的值，根据二次函数经过，利用待定系数法求出b的 值即可； （2）根据二次函数的对称性进行求解即可； （3）根据（1）所求把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴， ∴； （2）解：二次函数对称轴为直线，且经过经过点， ∴二次函数图象与轴的另一个交点P的坐标为； （3）解：由（1）得二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为，最大值为4 题型04二次函数二次项系数、一次项系数与图像的关系 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）对于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随增大而增大 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性． 根据二次函数的性质，，开口向上，，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为;,,随的增大而减小，，随的增大而增大；,,随的增大而增大，，随的增大而减小；根据相关性质，即可对选项进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下，故A错误 对称轴为，故B错误 顶点坐标为，故C错误 ，对称轴为 当，随的增大而增大，故D正确 故选：D 【例4-2】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线，抛物线的对称轴为 ； 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式利用二次函数的性质即可求出抛物线的对称轴为直线，此题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【例4-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标． 【答案】(1)直线 (2)， 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为： 直线． （2）解：将点代入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：． 上式变形得：， 顶点坐标为： 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线有最高点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟练的利用函数的图象有最高点是解本题的关键．根据函数的图象有最高点可知二次函数的二次项系数即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 即． 故选：B 【变式4-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求的长； (3)当时，x的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及直线与抛物线的交点，关键是求函数解析式． （1）把，代入，用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，解方程求出x的值，再求即可； （3）由（2）和图象可以得出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：把点的纵坐标，代入， 得：， 解得：或， 则长； （3）解：由（2）和图象知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或 【变式4-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 【答案】(1)①；②. (2)见解析. 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键. （1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题； （2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题． 【详解】（1）①当时，将点代入函数解析式得， ， 解得． 所以二次函数的表达式为． ②因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，y随x的增大而增大． 故一个符合条件的x的取值范围是：． （2）证明：因为抛物线的对称轴为直线， 又因为， 所以点和点关于抛物线的对称轴对称， 则． 又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数， 所以m和p都是非正数，n是正数， 则， 解得． 所以 题型05二次函数二次项系数、常数项与图像的关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示是二次函数的图象，则的值是（     ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点，把点代入函数解析式得，解得的值． 【详解】 解：由图象得，此二次函数过原点， 把点代入函数解析式得，解得； 又因为此二次函数的开口向上，所以； 所以． 故选：C 【例5-2】（23-24九年级上·江苏镇江·期末）若二次函数图象经过原点，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质．把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 整理得， 解得或， ， ． 故答案为：3 【例5-3】（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的解析式； (2)在直线上，点的横坐标为，过点作直线与抛物线有且仅只有一个交点，直接在图1中作示意图，并直接写出满足条件的直线解析式； (3)设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为 (2)示意图见解析，直线解析式为，， (3)点的坐标为时，有最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，抛物线的顶点为，设过点的直线的解析式为，利用待定系数法得出过点的直线的解析式为，联立，得：，利用一元二次方程根的判别式即可得出的值，再结合图象即可得出答案； （3）过点作轴的垂线，交直线于，设，则，，表示出，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 直线经过、两点， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：在直线上，点的横坐标为， 当时，， ， ， 抛物线的顶点为， 设过点的直线的解析式为， 将代入解析式得：， ， 过点的直线的解析式为， 联立，得：， 过点作直线与抛物线有且仅只有一个交点， ， 解得：或， 过点的直线的解析式为或， 当直线经过点且与轴平行时，交点也只有一个， 画出直线如图所示： ， 由图可得：直线解析式为，，； （3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于， ， 设，则， ， ， ， ， 当时，有最大值为，此时， 点的坐标为时，有最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是将代入，求出，然后根据抛物线开口向上，得出． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A 【变式5-2】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积有最大值4，此时 (3)存在， 【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时； （3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过坐标轴上三点， 将代入得，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将代入得，解得， 直线的函数解析式为， 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， 由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时； （3）解：存在点，使得四边形是平行四边形． ， 抛物线的对称轴为直线， 由题知，， 设， 当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得， ． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线过点． (1)求的值； (2)求该抛物线顶点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图像和性质； （1）将代入即可求得的值， （2）将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （3）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为； （3）解：∵开口向上，对称轴为直线，， ∵， ∴当时取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∴当时， 题型06二次函数一次项系数、常数项与图像的关系 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ） A．1或0 B．1或 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可． 【详解】解：二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴函数的最大值为2， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为3， ∴当，即时，时，， ， 解得，（舍去）， 当，即时，时，， ， 解得（舍去），， 故选：C 【例6-2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用二次函数的对称性得到，进而得到，得到，把代入二次函数解析式计算即可求出，根据二次函数的对称性得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象过点，， ∴，关于直线对称， ∴， ∴， 把点代入得， ， 故答案为： 【例6-3】（23-24九年级上·云南玉溪·期末）已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)若点（其中）在抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把代入可得的值，根据函数增减性可得对称轴是直线，可求的值； （2）将点代入（1）所求解析式，再结合进行化简可以的解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ∴ ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线对称轴为：， ∴，解得：． （2）由（1）知，抛物线的解析式为：． ∵点在抛物线上， ∴． 原式，将代入可得， 原式 ， ∴的值为 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线经过点，则的值是（　　） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查二次函数，解题关键在于熟练掌握计算法则．把代入即可解得的值． 【详解】解：把代入可得：， 即 ∴， 故选：C． 【变式6-2】（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）若二次函数的图象经过原点，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式，直接把原点坐标代入解析式得到的方程，然后解关于的方程即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过原点， ∴把代入， ∴， 解得， 故答案为： 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知：二次函数的图象与轴交于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 【分析】（1）根二次函数的图象与轴交于点，可得函数解析式； （2）画出二次函数图象，根据函数图象写出答案即可； 此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，． ∴； （2）如图，二次函数的图象， 根据图象可知，时，的取值范围为或 题型07二次函数的系数与图像的关系 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①错误． ∵时，， ∴，②错误． ∵抛物线对称轴为直线，时， ∴时，，③正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④错误． ∵时y取最大值， ∴，即，⑤正确． 故选：A 【例7-2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ． 【答案】 【详解】题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 解：由图象可知，，对称轴， 且， ，故不正确； 由图可知当时，， ， ，故正确； 抛物线与轴有两个交点， ，故不正确； ，， ， ，故正确． 是抛物线上两点，若， ， 函数对称轴是直线， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ，故正确． 故答案为： 【例7-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数、b是常数， (1)若在该二次函数的图象上，当时，试判断代数式的正负性； (2)已知对于任意的常数a、，二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数图象上所有的点都高于点 【答案】(1)为正 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，，又，在该二次函数的图象上，从而，进而，再由不等式的性质可以判断得解； （2）依据题意，由（1），对于任意的常数、，都有当时，，可得二次函数始终过定点，再结合对于一次函数，当时，，从而对于任意的，当时都有，故可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， 又，在该二次函数的图象上， ． ． ． ． ． 又， ，即为正． （2）证明：由（1）， 对于任意的常数、，都有当时，． 二次函数始终过定点． 对于一次函数， 当时， ． 对于任意的，当时都有． 一次函数图象上所有的点都高于点 【变式演练】 【变式7-1】（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论∶①②；③；④其中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象可确定和的符号，根据 的函数值和对称轴的位置即可得出答案，解题的关键是要能根据图象确定，的符号，能确定是时的函数值． 【详解】解：由二次函数的图象可知开口向下， 故①符合题意， ∵由图象可知，当时，故②不符合题意， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的上方， 故③符合题意， ∵由图象可知抛物线的对称轴在和之间， 故④符合题意， ∴正确的个数有个， 故选：B 【变式7-2】（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由所给抛物线可知，，，， ∴，故错误； ∵，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴在直线和直线之间， ∴点离对称轴的距离比点远， 又抛物线开口向下， ∴，故正确． 将点代入二次函数表达式得，， 又， 两式相加得，， 又， ∴，故错误， 故答案为： 【变式7-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标 ． (2)求证：无论a，b取任意实数，此抛物线必经过一个定点，并求出此定点； (3)若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，抛物线必经过一个定点 (3)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将a、b值代入抛物线解析式，可以化为顶点式求解即可； （2）将抛物线解析式化为交点式可求解； （3）①先表示出顶点坐标，进而根据纵坐标的取值范围结合已知得到a、b关系式；②先求得抛物线的对称轴，再根据开口方向得到离对称轴越远函数值越小列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时，， ∵， ∴顶点为； （2）证明：， ∴抛物线经过定点， ∴无论a，b取任意实数，此抛物线必经过一个定点； （3）解：①顶点为， ∵， ∴当时，抛物线的顶点在最低位置； ②∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴， 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$