精品解析：河南省周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年下学期高一年级期末考试 数学（人教版） 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则，可能平行、异面或者相交 B. 若，，则与可能平行、相交或者 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（ ） A. B. C. D. 3 8. 在中，角所对的边分别是，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形为等腰梯形 D. 四边形的周长为 10. 设是一个随机试验中的三个事件，且，与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若事件相互独立，则 C. D. 11. 在三棱锥中，底面，，，，以点为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 当取得最小值时，球与侧面的交线长为 D. 当取得最小值时，球与侧面的交线长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为______. 13. 在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________. 14. 已知等边三角形边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了全面提高学生素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长； （3）若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数. 16. 已知复数，，为虚数单位，. （1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若是方程的根，求. 17. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明､小红两名同学都解答错误的概率是，小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且. （1）求三名同学都正确解出这道题的概率； （2）求小王正确解出这道题概率. 18. 如图，为三棱锥的高，且点在的内部，点为的中点，且，直线平面. （1）求直线与平面所成角的大小. （2）若直线分别与直线，所成的角相等，且. ①求二面角的大小； ②求三棱锥的体积. 19. 三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：； （2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下学期高一年级期末考试 数学（人教版） 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念得答案. 【详解】因为，所以，故. 故选：B. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示分析求解. 【详解】因为，则，解得. 故选：A. 3. 从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】从这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有，共6种， 其中满足两个数的和大于87的结果有共2种，所以任取两个数的和大于87的概率. 故选：B. 4. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则，可能平行、异面或者相交 B. 若，，则与可能平行、相交或者 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】若，则可能平行､异面或者相交，故A正确； 若，则与可能平行､相交或者，故B正确； 若，则与可能平行，也可能，故C错误； 若，由线面垂直的性质定理可知，故D正确. 故选：C. 5. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由模长公式可得，即可由投影向量的公式求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以在上的投影向量为. 故选:D. 6. 在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式，结合割补法即可得解. 【详解】设正方体的棱长为， 易得， 所以，解得， 故正方体棱长为6. 故选：C. 7. 经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的计算公式求解. 【详解】丙样本每天使用电脑时间的平均数为（小时）， 故丙样本每天使用电脑时间的方差为 故选：B. 8. 在中，角所对的边分别是，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理以及基本不等式可得，代入可得，即可由三角函数的性质求解. 【详解】，当且仅当时取等号， ，即3，即， . 故选:C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形为等腰梯形 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】由题意可画出其直观图如下， 其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC. 10. 设是一个随机试验中的三个事件，且，与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若事件相互独立，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由和事件的概率公式计算判断选项A；由相互独立事件的概率公式计算判断选项B；由积事件的概率公式计算结果判断选项CD. 【详解】对于选项，因为， ，，， 则有，所以A选项错误； 对于选项，因为事件相互独立，所以，所以选项正确； 对于C选项，因为事件与互斥，故，所以选项错误； 对于D选项，，所以选项正确. 故选：BD 11. 在三棱锥中，底面，，，，以点为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 当取得最小值时，球与侧面的交线长为 D. 当取得最小值时，球与侧面的交线长为 【答案】AC 【解析】 【分析】设，则，在中，由余弦定理得.设的外接圆半径为，在中，由正弦定理得，则，利用二次函数性质即可求得的最小值，由已知计算可证得平面，过点作交于点，则可证得侧面.进而可得，设球的半径为，则 .由，进而可得点在侧面上的轨迹长即为球与侧面的交线长.取计算研究，可得结果. 【详解】因为底面，故， 设，则， 由，且，得. 在中，由余弦定理得. 设的外接圆半径为， 在中，由正弦定理得， 则，当时，取得最小值1， 故A正确，B错误. 此时，又，所以. 又因为，所以平面， 过点作交于点，则，所以侧面. 而，设球的半径为，则，所以.由， 设，则点在侧面上的轨迹长即为球与侧面的交线长.取研究， 当在上时，，所以； 当在上时，在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，所以，故，. 因为，所以， 所以点在侧面上的运动轨迹是半径为1，圆心角为的圆弧，弧长为， 所以当取得最小值时，球与侧面的交线长为，故C正确，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数加法运算即可求解. 【详解】设，为虚数单位，则， 由题意可得，解得，故的实部为1. 故答案为：1 13. 在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________. 【答案】15.5 【解析】 【分析】根据百分位数计算公式即可求解. 【详解】因为，所以这组数据的上四分位数是. 故答案为：15.5 14. 已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算，结合数量积的运算律可得，即可利用二次函数的性质求解最值. 【详解】设，其中，则 ，所以当时，取得最大值. 故答案为： 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了全面提高学生素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长； （3）若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数. 【答案】（1） （2）23.4（分钟）. （3）600（人） 【解析】 【分析】（1）由所有分组的频率之和为1，求的值； （2）利用频率分布直方图由公式计算平均值； （3）利用频率计算频数. 【小问1详解】 由题意知，，解得. 【小问2详解】 由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为23.4（分钟）. 【小问3详解】 由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的频率为0.20+0.10， 则该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为（人）. 16. 已知复数，，为虚数单位，. （1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围； （2）若是方程的根，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据第一象限点的特征，即可列不等式求解， （2）将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解，由模长公式即可求解. 【小问1详解】 因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以解得. 【小问2详解】 由题意可得， 故， 即， 所以解得， 故. 17. 2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明､小红两名同学都解答错误的概率是，小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且. （1）求三名同学都正确解出这道题的概率； （2）求小王正确解出这道题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据独立事件概率乘法公式和对立事件依次可得，，进而可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， 所以三名同学都正确解出这道题的概率为. 【小问2详解】 因为，则， 又因为，可得，则， 又因为，所以. 所以小王正确解出这道题概率为. 18. 如图，为三棱锥的高，且点在的内部，点为的中点，且，直线平面. （1）求直线与平面所成角的大小. （2）若直线分别与直线，所成的角相等，且. ①求二面角的大小； ②求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意即为直线与平面所成的角，计算可得为等边三角形，即可得出结果； （2）①如图，延长交于点，连接，由线面平行的性质可得，进而证得即为二面角的平面角，计算求解即可；②利用勾股定理求解出,长，即可求出的体积. 【小问1详解】 因为为三棱锥的高，故底面. 又平面，故. 因为点为的中点，故， 则为等边三角形，故. 又底面，则即为直线与平面所成的角， 故与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 ①如图，延长交于点，连接. 直线为过直线的平面与平面的交线， 又平面，故. 又为的中点，故为的中点. 则， 又平面平面， 故，易知. 因为直线与直线所成的角相等， 所以. 在与中，， 故，故. 在与中，， 故，故， 即为的平分线， 又，则，且为的中点， 又，则， 则即为二面角的平面角， 则， 则二面角的大小为. ②由，可知，则， 故. 19. 三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：； （2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，由正弦定理得即可证得结果； （2）由题意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出的最小值为4，进而由三角形面积求出答案. 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 由正弦定理， 得. 【小问2详解】 因为，由正弦定理 及余弦定理可得， ， 解得（舍）或， 故， 则， 所以. 因为，所以的最小值为4， 此时， 所以整边三角形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$