精品解析：江苏省苏州市昆山市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023~2024 学年第二学期阶段性学业水平阳光测评七年级数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1. 人体内红细胞的直径大约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 若，则与是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D. 如果，那么 5. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知点为的中点，点在边上，且，相交于点，若的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相应位置上． 9. 计算：______． 10. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 11. 已知是不等式的一个解，则m的取值范围是_____． 12. 如图，直线，被直线所截，若，，，则_____． 13. 若，则的结果是______． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为___________度． 15. 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．图就是一个幻方，将个数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等．图是一个未完成的幻方，则的值是_____． 16. 如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为_____． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 因式分解： （1） （2）． 19. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 20. 化简求值：其中． 21. 如图，在中，于点． （1）作的角平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） （2）在（）的条件下，若，，求的度数． 22. 观察下列算式，解答下列问题： 第个算式：， 第个算式：， 第个算式：， ， 第个算式：________． （1）根据上述算式的规律，直接写出第个算式_____； （2）用字母（为正整数）表示数，写出第个算式，并证明这个算式的正确性． 23. 如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 24. 根据下表信息，探索完成任务． 背景 某校组织七年级师生到全国中小学生研学实践教育基地沙家浜开展春季研学活动，需要联系客运公司租用客车乘车前往． 信息 租用辆甲型客车和辆乙型客车满载能坐师生人；租用辆甲型客车和辆乙型客车满载能坐师生人． 信息 本次参加研学的师生共有人；甲型客车每辆租金元，乙型客车每辆租金元． 信息 学校计划租甲、乙两种型号客车共辆，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过元． 任务解决 任务 每辆甲型客车和乙型客车各能坐多少人？ 任务 有哪几种租车方案？ 25. 数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． （1）提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； （2）探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； （3）拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 26. 对x、y定义一种新运算T，规定：(其中a、b均为非零常数)．例如： 已知 （1）_____，_____； （2）已知且求的取值范围； （3）求的最小值． 27. 如图，在和中，已知，，． （1）如图，求证：； （2）当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024 学年第二学期阶段性学业水平阳光测评七年级数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1. 人体内红细胞的直径大约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项，根据积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项等计算法则求解判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，一定成立，原选项符合题意； 、∵，∴，原选项不符合题意； 、∵，∴，原选项不符合题意； 、∵，则不一定成立，此选项不符合题意； 故选：． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 若，则与是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据对顶角，内错角，平行线的判定逐项排除即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则与不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，原选项是真命题，符合题意； 、如果，那么或，原选项是假命题，不符合题意； 故选：． 5. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 当时，可以证明；故选项A不符合题意； 当时，不能判定；故选项B符合题意； 当时，可以证明；故选项C不符合题意； 当时，可以证明；故选项D不符合题意； 故选B． 6. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一个题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当”．译文：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲只羊，那么甲的羊数为乙的倍；如果甲给乙只羊，那么两人的羊数相同，请问原来甲，乙各有多少只羊？设原来甲有羊只，乙有羊只，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来甲有羊只，乙有羊只，由题意列出即可，正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设原来甲有羊只，乙有羊只， 根据题意得：， 故选：． 7. 边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两个正方形面积再加上阴影三角形的面积减去空白三角形的面积，即可得到部分阴影部分的面积，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：． 8. 如图，在中，已知点为的中点，点在边上，且，相交于点，若的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由，设，得，，又点为中点，则，，设，从而有，根据得，解出，然后由的面积为即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由，设， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即，解得：， ∴， 解得：， ∴四边形的面积是， 故选：． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相应位置上． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式除以单项式的运算能力，关键是能准确理解并运用对应法则进行正确地计算． 运用单项式除以单项式的计算法则进行求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 11. 已知是不等式的一个解，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解的定义是关键． 根据不等式的解的定义得关于的不等式，解不等式即可得出的范围． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ， ， 故答案为：． 12. 如图，直线，被直线所截，若，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质邻补角的性质，由得，再根据邻补角互补得出，从而求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若，则的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，先根据已知条件，求出的值，再把所求代数式中幂的底数化成，然后利用同底数幂的乘法运算，最后把的值代入计算即可，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法法则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，三角形内角和定理． 根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得，，在中，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．图就是一个幻方，将个数填入幻方的空格后，幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等．图是一个未完成的幻方，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最左下角的数和最中间的数，再利用第三行和第二列的数字之和相等列出方程，解之即可，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵幻方的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和都相等， ∴，，，， ∴，，，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂以及负整数指数幂、绝对值，先化简零次幂以及负整数指数幂、绝对值再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）利用完全平方公式进行分解，即可解答． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解二元一次方程值，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：（1）整理得， ①②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得， 则方程组的解为； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为． 20. 化简求值：其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 21. 如图，在中，于点． （1）作的角平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） （2）在（）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据作角平分线的方法即可； （）求出，，再利用三角形的外角的性质求解； 本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形及熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 如图， 以为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点， 分别以为圆心，大于长度半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点，交于点， ∴即为所求； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 观察下列算式，解答下列问题： 第个算式：， 第个算式：， 第个算式：， ， 第个算式：________． （1）根据上述算式的规律，直接写出第个算式_____； （2）用字母（为正整数）表示数，写出第个算式，并证明这个算式的正确性． 【答案】（1）； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据规律即可得出结论； （）根据（）中规律可得第个等式，再利用整式的混合运算验证即可； 本题考查了的数字的变化规律，完全平方公式及整式的运算，熟练掌握整式的运算顺序和法则是解题的关键． 【小问1详解】 ∵第个算式：， 第个算式：， 第个算式：， ∴第个算式：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵第个算式：， 第个算式：， 第个算式：， 第个算式：， ， 第个算式：， 证明：左边 ， ， 右边， ∴左边右边． 23. 如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为中点， ∴， 在和中， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证出，进而证明是解题的关键． （1）由为中点，得，而， ，即可根据“”证明； （2）由， ，得，由全等三角形的性质得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数是． 24. 根据下表信息，探索完成任务． 背景 某校组织七年级师生到全国中小学生研学实践教育基地沙家浜开展春季研学活动，需要联系客运公司租用客车乘车前往． 信息 租用辆甲型客车和辆乙型客车满载能坐师生人；租用辆甲型客车和辆乙型客车满载能坐师生人． 信息 本次参加研学的师生共有人；甲型客车每辆租金元，乙型客车每辆租金元． 信息 学校计划租甲、乙两种型号客车共辆，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过元． 任务解决 任务 每辆甲型客车和乙型客车各能坐多少人？ 任务 有哪几种租车方案？ 【答案】任务：每辆甲型客车能坐人，每辆乙型客车能坐人；任务：方案一租甲型客车辆，则租甲型客车辆；方案二租甲型客车辆，则租甲型客车辆． 【解析】 【分析】任务：根据等量关系列出方程组，再解即可； 任务：列出不等式，再解即可； 此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． 【详解】任务：设每辆甲型客车能坐人，每辆乙型客车能坐人， 根据题意，得：，解得：， 答：每辆甲型客车能坐人，每辆乙型客车能坐人； 任务：设租甲型客车辆，则租甲型客车辆， 由题意得：，解得：， ∵为正整数， ∴或， ∴方案一租甲型客车辆，则租甲型客车辆； 方案二租甲型客车辆，则租甲型客车辆． 25. 数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． （1）提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； （2）探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； （3）拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【答案】（1） （2） （3）不存在， 【解析】 【分析】（1）当旋转角时，则，，，根据角平分线定义得，由此可得的度数； （2）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，则，由此可得的值； （3）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，，由此可得与之间的关系． 此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：当旋转角时，则， ， ， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， 即， ， ． 26. 对x、y定义一种新运算T，规定：(其中a、b均为非零常数)．例如： 已知 （1）_____，_____； （2）已知且求的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）2，； （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据已知得关于和的二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据，得，求出的范围，即可求出的取值范围； （3）根据，，，根据非负性即可求出答案． 本题考查解二元一次方程组、新定义，解不等式，完全平方公式的变形运用，能理解新运算，并能将新运算与所学运算相结合是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，， ， 解得； 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ，，的最小值为6． 27. 如图，在和中，已知，，． （1）如图，求证：； （2）当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）；． 【解析】 【分析】（）证明即可得出； （）通过得出，通过角度和差得，最后由三角形内角和得出的度数； 过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积的求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 同理（）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∴ ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $