精品解析：湖北省孝感市高新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

孝感高新区2024年春季学期期末学业水平考试 八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、精心选一选，相信自己的判断！（共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1、、 B. 2、3、4 C. 1、2、3 D. 4、5、6 4. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 5. 如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人从城出发到城旅行，甲骑自行车，乙骑摩托车．如图表示甲、乙两人离开城的路程与时间的关系，则下列结论正确的个数为（ ） ①乙从城到城花了2个小时；②乙的速度为50千米/时；③甲在途中休息3小时；④甲前3小时走了60千米． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在菱形ABCD中，，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点A．设x轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交和的图象于点B、C，若，则的值为（　　） A 8 B. 4 C. 0或8 D. 0或4 二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知一组数据3，4，8，6，6，那么这组数据的中位数等于___________． 10. 某一次函数图像过点，且函数值y随x的增大而减小．请写一个符合上述条件的函数表达式________． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，若∠C＝120°，则∠DAE的度数是 _____度． 12. 已知，，则的值为______． 13. 如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是___________nmile． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为____________． 15. 观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算：___________． 16. 如图，在矩形中，，分别以点A，C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交于点E，F．．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的有 ________．（填写正确结论的序号） 三、用心做一做（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分． 19. 如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，，求的长． 20. 2024年孝感市组织了“学习《条例》我先行·争做文明孝感人”主题知识竞赛活动．丹阳中学从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（百分制），成绩整理，描述和分析如下： 八年级成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．；八年级10名学生成绩数据中，在C组中的是：94，90，92． 七年级10名学生的成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84． 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 96 34.4 八年级 92 b 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由； （2）求出统计图中a的值以及表格中b的值； （3）该校七年级共1080人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）七年级学生人数是多少？ 21. 已知直线l1：y1＝2x＋3与直线l2：y2＝kx－1交于点A，点A的横坐标为－1，且直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C. (1)直线l2对应的函数表达式； (2)连接BC，求S△ABC. 22. 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 23. “双减”政策颁布后，各校在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商 品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出，的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍套，售完这批体育用品获利元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点，过点作轴交直线于点． （1）求直线的函数解析式； （2）求点到直线的距离及点的坐标； （3）试探究在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高新区2024年春季学期期末学业水平考试 八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、精心选一选，相信自己的判断！（共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A． 和，不是同类二次根式，不能合并，故此项不符合题意； B． ，故此项不符合题意； C． ，故此项不符合题意； D． ，故此项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除运算法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1、、 B. 2、3、4 C. 1、2、3 D. 4、5、6 【答案】A 【解析】 【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可. 【详解】A、12+（）2=（）2 ∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;  B、22+3242 ∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;  C、 12+2232 ∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;  D、 42+5262 ∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;  故选A.. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键. 4. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ） A 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，可知：学校食堂调调查目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多， ∵众数是数据中出现次数最多的数， ∴最值得关注的是统计数据中的众数． 故选：D． 【点睛】本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 5. 如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断A，再根据等腰梯形的性质判断B，然后根据平行四边形的定义判断C，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断D即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形． 可知A不符合题意； 由，， 可知四边形可能是等腰梯形． 则B符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 则C不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 则D不符合题意． 故选：B． 6. 甲、乙两人从城出发到城旅行，甲骑自行车，乙骑摩托车．如图表示甲、乙两人离开城的路程与时间的关系，则下列结论正确的个数为（ ） ①乙从城到城花了2个小时；②乙的速度为50千米/时；③甲在途中休息3小时；④甲前3小时走了60千米． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：乙从城到城花了个小时；故①正确； 乙的速度为千米/时；故②正确； 甲在途中休息小时，故③错误； 甲前3小时走了60千米，故④正确； 故选C． 7. 如图，在菱形ABCD中，，点P为边AB上一点（点P不与端点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，连接BD，AC与BD相交于点O，利用中位线定理求出AC的长，再证明△ACD是等边三角形，得到菱形的边长，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD的长，求出△ACD的面积，再证明△ACD≌△ACB（SSS），进而求得菱形ABCD的面积． 【详解】解：连接AC，连接BD，AC与BD相交于点O， ∵点E、F分别为AP、CP的中点， ∴EF是△APC的中位线， ∴AC＝2EF＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝BO＝AC＝2，ABCD，AD＝CD＝BC＝AB， ∴∠ADC＝180°－∠BAD＝60°，∠AOD＝90°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝4， 在Rt△AOD中，由勾股定理得 ， ∴OD＝， ∴， ∵AD＝CD＝BC＝AB，AC＝AC， ∴△ACD≌△ACB（SSS）， ∴菱形ABCD的面积＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握图形的性质是基础，灵活应用是关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点A．设x轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交和的图象于点B、C，若，则的值为（　　） A. 8 B. 4 C. 0或8 D. 0或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，把分别代入和，分别求解，的坐标，再利用，再建立方程求解即可． 【详解】解： 把分别代入和得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴a的值为0或8． 故选C 二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知一组数据3，4，8，6，6，那么这组数据的中位数等于___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键在于熟练掌握中位数的概念． 根据中位数的定义（将一组数据按照从小到大的顺序排列，若数据为奇数个，中位数则是最中间的数；若数据为偶数个，中位数则是最中间两个数的平均数）即可求出答案． 【详解】解：已知一组数据3，4，8，6，6， 将数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，6，6，8． 这组数据的中位数为：6． 故答案为：6． 10. 某一次函数的图像过点，且函数值y随x的增大而减小．请写一个符合上述条件的函数表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由一次函数的图象过点(0,1)，则可求得一次函数表达式中b的值，再根据函数值y随x的增大而减小，则k的值为负，取k=-1即可． 【详解】由于一次函数的图象过点(0,1)， 则有b=1，所以， 又函数值y随x的增大而减小， 所以k<0，取k=-1， 故符合条件的函数表达式为：． 故答案：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，点与直线的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，若∠C＝120°，则∠DAE的度数是 _____度． 【答案】30 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，由余角的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝120°， ∴∠B＝∠D＝60°， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的量锐角互余，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是___________nmile． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知， ∴． 在中，，， ∴（nmile）． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集就是求能使函数y1=k1x+b的图像在函数y2=k2x的下方的自变量的取值范围． 【详解】解：由图像可以看出，直线y1=k1x+b与直线y2=k2x的交点的横坐标为-3， ∴当x≤-3，y1≤y2， ∴不等式k1x+b≤k2x的解集为x≤-3， 故答案为：x≤-3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值的大小的问题是解决本题的关键． 15. 观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，分别以点A，C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交于点E，F．．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的有 ________．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∵， ∴， ∴；故②正确； ③由菱形的面积可得，故③不正确， ④∵四边形是菱形， ∴ 又∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 三、用心做一做（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的除法法则运算． 【详解】解：（1）原式= =0； （2）原式= = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则是解决问题的关键． 18. 在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据三角形的中位线，可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】证明：∵点分别是的中点， ∴， ∵三点共线，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与相互平分． 19. 如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，得到，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键． 【详解】矩形中，， ∴, ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 设，则， ∴ 解得． ． 20. 2024年孝感市组织了“学习《条例》我先行·争做文明孝感人”主题知识竞赛活动．丹阳中学从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（百分制），成绩整理，描述和分析如下： 八年级成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．；八年级10名学生成绩数据中，在C组中的是：94，90，92． 七年级10名学生的成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84． 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 96 34.4 八年级 92 b 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由； （2）求出统计图中a的值以及表格中b的值； （3）该校七年级共1080人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的七年级学生人数是多少？ 【答案】（1）七年级，见解析 （2）40；93 （3）648人 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，求中位数，利用样本估计总体： （1）利用方差判断稳定性即可； （2）求出组所占的比例，用1减去其他组的百分比求出a的值，根据中位数的确定方法，求出的值； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的学生的成绩更稳定，理由如下： ∵， ∴七年级学生竞赛成绩的方差小于八年级， ∴七年级的学生的成绩更稳定； 【小问2详解】 组所占的百分比为：， ∴； 将数据排序后，第5个数据和第6个数据分别为：， ∴； 【小问3详解】 （人）． 故参加此次比赛成绩优秀的七年级学生人数是648人 21. 已知直线l1：y1＝2x＋3与直线l2：y2＝kx－1交于点A，点A的横坐标为－1，且直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C. (1)直线l2对应的函数表达式； (2)连接BC，求S△ABC. 【答案】(1)y2＝－2x－1；(2)S△ABC＝1. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可求一次函数解析式；（2）先求B,C,D的坐标，再求三角形面积. 【详解】(1)将x＝－1代入y1＝2x＋3， 得y1＝1，所以A(－1，1)． 将点A(－1，1)的坐标代入y2＝kx－1，得k＝－2.所以y2＝－2x－1. (2)当y1＝0时，x＝－， 所以B. 当x＝0时，y1＝3，y2＝－1， 所以D(0，3)，C(0，－1)． 所以S△ABC＝S△BCD－S△ACD＝×32×4－×1×4＝1. 【点睛】本题考核知识点：一次函数的运用.解题关键点：会求函数图象的交点坐标. 22. 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE； （2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC， ∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF=DE； 【小问2详解】 解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE=AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE， 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四边形AFBE是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质． 23. “双减”政策颁布后，各校在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商 品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出，的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍套，售完这批体育用品获利元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 【答案】（1）35；40 （2），（，且为整数）；当时，乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大；当时，不管购进乒乓球拍多少套，获利恒定为元；当时，乒乓球拍150套，羽毛球拍150套，获利最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润，即可得出关于的函数关系式，根据“购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过150套”列出一元一次不等式组，计算即可得出取值范围；②先求出新的函数解析式，再分三种情况讨论：当时，当时， 当时，分别利用一次函数的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 解：①设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， 解得：， ∴，（，且为整数） ②乒乓球拍的进价每套降低了元后，利润为， 当时，，故随的增大而减小， ∴当时，最大，即乒乓球拍100套，羽毛球拍200套； 当时，，不管为何值，始终为； 当时，，故随的增大而增大， ∴当时，最大，即乒乓球拍150套，羽毛球拍150套； 综上所述，当时，乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大；当时，不管购进乒乓球拍多少套，获利恒定为元；当时，乒乓球拍150套，羽毛球拍150套，获利最大． 24. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点，过点作轴交直线于点． （1）求直线的函数解析式； （2）求点到直线的距离及点的坐标； （3）试探究在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据题意可得点的坐标，由此求出的值，运用等面积法即可求解； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论，当点在轴上时，由可得点的坐标；当以为对角线时，运用中点坐标公式的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，且直线与轴分别交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵，轴交直线于点， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得，， ∴， ∴，，，且， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵设点到的距离为，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下， 第一种情况，如图所示，当点在轴上，点的左边， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点的横坐标为，即； 当点在轴上，点的右边， ∴点的横坐标为，即； 第二种情况，如图所示，为对角线，连接交于点， ∴，且， 设， ∴， 解得，，， ∴； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点求几何图形面积，平行四边形的判定和性质，中点坐标的计算方法的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$