精品解析：河南省焦作市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

焦作市普通高中2023-2024学年（下）高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 2. 已知随机变量服从正态分布，设，则服从正态分布（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列，且，则（ ） A B. C. 1 D. 2 4. 小明准备下周六去市或市（二者选其一）看演唱会，去市的概率为，去市的概率为，若天气预报下周六市下雨的概率为，市下雨的概率为，则小明下周六看演唱会遇到雨天的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.24 C. 0.23 D. 0.21 5. 如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则的前100项和为（ ） A 2475 B. 2500 C. 2525 D. 5050 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则的值可能为（ ） A 1 B. 3 C. 5 D. 7 10. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A. 对于回归方程，变量每增加1个单位，则平均减少个单位 B. 两个变量，的相关系数越小，，之间的线性相关程度越弱 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 D. 用最小二乘法求得一组成对数据的回归方程，若增加一个新的样本点，则得到的新回归方程可能不变 11. 若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记等差数列的前项和为，若，则______. 13. 某果农计划在A，B，C，D这4个地块上种植2种不同的果树，每个地块只种植一种果树，有苹果、梨、桃子、杏4种果树可供选择，则不同的种植方案数为______.（用数字作答） 14. 已知数列满足，且，，若，则数列的前n项和最小时，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若图象上任意两点连线的斜率都大于a，求a的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为. （1）求方程； （2）若，是上与不重合的两动点，且，求证：直线过定点. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，函数有两个极值点，，求的取值范围. 19. 若数列满足，且存在正整数，，使得，，则称数列是数列，若，都是数列，记. （1）各写出等比数列，的一个通项公式，使得数列是数列；（不要求写出过程） （2）已知数列满足，，，若数列是数列，且前项的和为100，求，及相应的的值； （3）若，，都是数列，求证：，，中至少有1个是偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 焦作市普通高中2023-2024学年（下）高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则. 故选：A 2. 已知随机变量服从正态分布，设，则服从正态分布（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量的均值、方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以均值,方差， 又因为， 所以随机变量均值为，方差为， 所以随机变量服从正态分布. 故选：C. 3. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算，结合已知条件，即可求得公比和. 【详解】设等比数列的公比为， 则，又，解得. 故选：C. 4. 小明准备下周六去市或市（二者选其一）看演唱会，去市的概率为，去市的概率为，若天气预报下周六市下雨的概率为，市下雨的概率为，则小明下周六看演唱会遇到雨天的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.24 C. 0.23 D. 0.21 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】依题意小明下周六看演唱会遇到雨天的概率. 故选：C 5. 如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 6. 已知数列满足，则前100项和为（ ） A. 2475 B. 2500 C. 2525 D. 5050 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，令，将问题转化求，由等差数列的求和公式计算可得. 【详解】由，可得， ， 所以， 令，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 由于， 所以的前100项和为2475， 故选：A 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 8. 平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】 由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则的值可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件求出，再求出即可判断得解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，由，解得或或， 当时，由，得，因此； 当时，由，得，因此； 当时，由，得，因此，ABD可能，C不可能. 故选：ABD 10. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A. 对于回归方程，变量每增加1个单位，则平均减少个单位 B. 两个变量，的相关系数越小，，之间的线性相关程度越弱 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 D. 用最小二乘法求得一组成对数据的回归方程，若增加一个新的样本点，则得到的新回归方程可能不变 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据回归直线方程的意义判断A、D，根据相关系数的概念判断B，根据相关指数的定义判断C. 【详解】对于A：对于回归方程，变量每增加1个单位，则平均减少个单位，故A正确； 对于B：越接近于，则，之间的线性相关程度越强， 越接近于，则，之间的线性相关程度越弱，故B错误； 对于C：在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D：若增加的样本点恰好为原回归直线的样本中心点时， 则增加该样本点后，回归方程不会发生改变，故D正确. 故选：ACD 11. 若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意可得关于的不等式有实数解，令，，则问题转化为有实数解，只需，利用导数求出，由二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】关于的不等式有实数解， 等价于关于的不等式有实数解， 令，， 则问题转化为有实数解， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以当时， 要使不等式有实数解，则，即， 结合选项可知只有A、B符合题意. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为关于的不等式有实数解，只需满足. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据下标和的性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 13. 某果农计划在A，B，C，D这4个地块上种植2种不同的果树，每个地块只种植一种果树，有苹果、梨、桃子、杏4种果树可供选择，则不同的种植方案数为______.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】先挑出两种果树，然后再每块地去选择果树. 【详解】先选两种果树有种方案，然后每块地有2种选择，所以不同的种植方案有种植方案. 故答案为：84. 14. 已知数列满足，且，，若，则数列的前n项和最小时，______. 【答案】5或7 【解析】 【分析】由题可得，即数列为等差数列，根据条件可得，分析的正负，从而得到的正负，即可求解. 【详解】由，可得，即，所以数列为等差数列，设公差为，所以，则，由，解得，所以，则， 当时，，当时，， 故当时，，，，，当时，， 所以数列的前n项和最小时，或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）若图象上任意两点连线的斜率都大于a，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）将图象上任意两点连线的斜率都大于转化为单调递增，再转化为恒成立，然后求的范围即可. 小问1详解】 ，则， 又， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 设图象上任意两点的坐标为，，且， 则，整理得， 令，则单调递增， 恒成立，即， 所以的取值范围为. 16. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用数量积的坐标表示求出，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，，，，，，， 则，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为，为原点，第一象限内的点在上，，且的面积为. （1）求的方程； （2）若，是上与不重合两动点，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可得，由面积公式即可求出，从而得到抛物线方程； （2）设直线的方程为：，，，联立方程结合韦达定理可得，， 由，利用向量关系化简可得：，从而得到，的关系，即可证明. 【小问1详解】 由题可得，由，可得的横坐标为， 因为点在第一象限内，则， 所以，解得：， 所以抛物线方程为 【小问2详解】 由(1)可得：，， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，， 所以， 联立方程，可得：， 所以，即，，， 因为，所以， 则， 化简得：， 则， 所以， 解得：，或， 当时，即，且， 所以，所以直线过定点为， 当时，即，且， 所以，所以直线过定点为，即点，不满足题意，舍去； 综上：直线过定点为 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式或横截式来证明. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，函数有两个极值点，，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，依题意可得方程有两个不等的正实数根，，利用根的判别式及韦达定理求出的取值范围，即可表示出，再换元，利用导数求出函数的值域，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若时，，定义域为， 又， 因为，为的两个极值点， 所以有两个不等的正实数根，， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，所以， 且当时，， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 若数列满足，且存在正整数，，使得，，则称数列是数列，若，都是数列，记. （1）各写出等比数列，的一个通项公式，使得数列是数列；（不要求写出过程） （2）已知数列满足，，，若数列是数列，且前项的和为100，求，及相应的的值； （3）若，，都是数列，求证：，，中至少有1个是偶数. 【答案】（1），（答案不唯一） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）列出符合题意的函数解析式，再检验即可； （2）依题意，再对，分四种情况讨论，分别列出的前项，即可得到的周期性，从而求出； （3）对，，分四种情况讨论，分别确定，，的值，从而得到为偶数，即可得证. 【小问1详解】 令，， 则，满足是数列； 【小问2详解】 因为数列是数列，所以， 若，则，不符合题意； 若，，即，，又， 所以的前项依次为，，，，，， 所以是周期为的数列，则的前项和为， 所以的前项和为，又，所以或； 若，，即，，又， 所以的前项依次为，，，，，， 所以是周期为的数列，则的前项和为， 所以的前项和为，所以； 若，，即，，又， 所以的前项依次为，，，，，， 所以是周期为的数列，则的前项和为， 所以的前项和为，又，所以或； 综上可得，当，时或；当，时；当，时或. 【小问3详解】 因为，，都是数列， 若，，均为或均为时； 若，，是一个、两个时，，，是一个、两个； 若，，是一个、两个时，，，是一个、两个； 即对任意的正整数，，，中要么没有，要么有两个， 所以为偶数，故，，中至少有个是偶数. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是对所给定义的理解，另外就是分类讨论需全面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$