精品解析：山西省太原市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024学年第二学期七年级期末学业诊断 数学 注意事项： 1．本试卷全卷共6页，满分100分，考试时间上午8:00-9:30． 2．答卷前，学生务必将自己的姓名、考试编号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 计算的正确结果是（　） A. B. C. D. 2. 中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下说法合理的是（ ） A. 一个抽奖活动中，中奖概率为，若抽奖10次，就会有1次中奖 B. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半的时间在下雨 C. 小凡做3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此她说钉尖朝上的概率是 D. 小亮做了3次掷均匀硬币试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 5. 如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形任意两边之和大于第三边 6. 近期中芯国际成功攻克了14纳米（1纳米米）制程技术，这一重大突破展现了中国在高端半导体制造领域中的强劲实力．数据“14纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日——8月11日在法国巴黎举行．如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目．现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题．把答案写在答题卡相应位置．） 11. 计算的结果等于__． 12. 山西小米以其独特的品质和营养价值而闻名，被誉为“王冠上的明珠”，产出小米的植物叫“谷子”．某实验基地研究新品种谷子的种子发芽率，在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 种子粒数 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 发芽种子粒数 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 发芽频率 0923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902 据此估计，该品种谷子的种子发芽的概率约为______（精确到0.1）． 13. 如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为______． 14. 如图，，，要使，则可添加的一个条件是______（写出一个即可）． 15. 如图，在中，，点D是上一点，将沿折叠得到，连接交于点F．若，的度数为，则的度数为______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．） 16 计算： （1）； （2）； （3）（运用整式乘法公式进行计算）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 某商场为吸引顾客，举行“转转盘得礼品”的活动，顾客购物满一定金额就能获得一次转动转盘的机会．如图，转盘被等分成9份，分别标有这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，若指针指向的数字为3的倍数则可获得小礼品．请计算转动一次转盘获得小礼品的概率． 19. 如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 20. 【问题背景】某校在科技节中举办“纸飞机”大赛，小林设计的“纸飞机”中包含特殊的几何图形，并且图形中的元素存在特殊关系，较好地应用所学数学知识，因此，获得一等奖．下面是他对自己设计理念中两个特点的描述，请仔细阅读并完成相应的任务． 特点一：如图是该“纸飞机”中平面图形的一部分，它是以所在直线为对称轴的轴对称图形． 【任务一】现已画出该轴对称图形的一半图稿，请你利用尺规根据作全等三角形的思路作，其中点B的对应点为点D． （不写作法，保留作图痕迹） 特点二：在上图中延长交于点E，此时且．（在试卷中画出草图即可） ， 是的垂直平分线． ， ．（依据：①） ， ， ， ． 点E为的中点， ． ， ．（依据：② 【任务二】根据上面性质，小明发现与相等，并写出他的探究思路，请认真阅读并填写依据． 依据①_______________________________________________________________________； 依据②_______________________________________________________________________． 21. 如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p（单位：）与其离水面深度h（单位：m）的几组数据，整理出下表： 10 15 20 25 30 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： （1）自变量是______，因变量是______； （2）青海湖水面大气压强为______； （3）请直接写出p与h关系式，并求出最深处处的压强值． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务： 巧算不规则图形的面积 古希腊哲学家、数学家、力学家、天文学家阿基米德，被誉为“数学之神、力学之父”．他在《定理汇编》中曾给出一个关于面积的论断：如图1，点Q和点R是线段上的两点，并且，点O是线段的中点，分别以线段为直径向不同方向画半圆，构成一个轴对称图形，其中，点M在半圆上，点N在半圆上，所在直线为该图形的对称轴，将图1中阴影部分面积记为．阿基米德通过构图巧秒地将其转化成一个圆的面积，即在图1的基础上以线段为直径作圆如图2所示，该圆的面积记为，那么，并从数的角度用代数推理的方式给出验证．下面是代数推理验证的一部分： 设，，用含a，b的代数式分别表示与． … … 任务： （1）请将材料中验证过程补充完整； （2）如图3，点Q是线段上的一点，分别以为直径在线段的上方作半圆，一些数学家利用阿基米德的这种巧算不规则面积的方法，在图3的基础上过点Q作，与半圆交于点S，以为直径作圆得到图4，经过验证得到图3，图4中的阴影部分的面积相等．请你利用面积相等得出的线段间的数量关系，直接写出当，时的长度． 23. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点． 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点； 【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期七年级期末学业诊断 数学 注意事项： 1．本试卷全卷共6页，满分100分，考试时间上午8:00-9:30． 2．答卷前，学生务必将自己的姓名、考试编号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 计算的正确结果是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可求解，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式除以单项式，完全平方公式和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 以下说法合理的是（ ） A. 一个抽奖活动中，中奖概率为，若抽奖10次，就会有1次中奖 B. 天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半的时间在下雨 C. 小凡做3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此她说钉尖朝上的概率是 D. 小亮做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的意义，根据概率的意义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、一个抽奖活动中，中奖概率为，若抽奖10次，不一定会有1次中奖，原说法不合理，不符合题意； B、天气预报说明天下雨的概率是，所以明天可能下雨，也可能不下雨，原说法不合理，不符合题意； C、小凡做3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此她说钉尖朝上的概率是是不合理的，因为试验次数太少，偶然性因素很多，原说法不合理，不符合题意； D、小亮做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，原说法合理，符合题意； 故选：D 5. 如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．根据图示，三角形的性质即可求解， 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 6. 近期中芯国际成功攻克了14纳米（1纳米米）制程技术，这一重大突破展现了中国在高端半导体制造领域中的强劲实力．数据“14纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 详解】解：“14纳米” 米， 故选：B． 7. 如图，在中，点D，E分别是边上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，则． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日——8月11日在法国巴黎举行．如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目．现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用水上项目的卡片数除以卡片总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有五张卡片，其中水上项目的卡片有两张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是， 故选：D． 9. 无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，分三个阶段：在线段上运动时，距离h随着时间的推移越来越大，在半圆弧上运动时，h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时h随着时间的推移越来越小，据此可得答案． 【详解】解：在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越大，当在半圆弧上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越小， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 10. 超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，作，则，根据平行线的性质推出，再由垂直的定义和平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E和F分别作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题．把答案写在答题卡相应位置．） 11. 计算的结果等于__． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案． 【详解】原式． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 12. 山西小米以其独特的品质和营养价值而闻名，被誉为“王冠上的明珠”，产出小米的植物叫“谷子”．某实验基地研究新品种谷子的种子发芽率，在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 种子粒数 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 发芽种子粒数 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 发芽频率 0.923 0.883 0.89 0915 0.905 0.897 0.902 据此估计，该品种谷子的种子发芽的概率约为______（精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴该品种谷子的种子发芽的概率约为， 故答案为：0.9． 13. 如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质与判定，角平分线的定义，过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2． 【详解】解：如图所，过点D作于E， ∴， ∵，， ∴， ∵线段是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 14. 如图，，，要使，则可添加的一个条件是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在中，，点D是上一点，将沿折叠得到，连接交于点F．若，的度数为，则的度数为______（用含的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等等，先由等边对等角推出，再由三角形外角的性质得到，根据折叠的性质得到，则． 【详解】解：∵在中，，的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1）； （2）； （3）（运用整式乘法公式进行计算）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式和平方差公式： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 某商场为吸引顾客，举行“转转盘得礼品”的活动，顾客购物满一定金额就能获得一次转动转盘的机会．如图，转盘被等分成9份，分别标有这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，若指针指向的数字为3的倍数则可获得小礼品．请计算转动一次转盘获得小礼品的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用3的倍数的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有9个区域，其中是3的倍数的区域有3个，且每个区域被转到的概率相同， ∴转动一次转盘获得小礼品的概率为． 19. 如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键．根据平行线的性质可知．再根据，可得出．即可利用“”证明，即得出，，根据平性线的判定定理即得出． 【详解】解：，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 20. 【问题背景】某校在科技节中举办“纸飞机”大赛，小林设计的“纸飞机”中包含特殊的几何图形，并且图形中的元素存在特殊关系，较好地应用所学数学知识，因此，获得一等奖．下面是他对自己设计理念中两个特点的描述，请仔细阅读并完成相应的任务． 特点一：如图是该“纸飞机”中平面图形的一部分，它是以所在直线为对称轴的轴对称图形． 【任务一】现已画出该轴对称图形的一半图稿，请你利用尺规根据作全等三角形的思路作，其中点B的对应点为点D． （不写作法，保留作图痕迹） 特点二：在上图中延长交于点E，此时且．（在试卷中画出草图即可） ， 是的垂直平分线． ， ．（依据：①） ， ， ， ． 点E为的中点， ． ， ．（依据：② 【任务二】根据上面的性质，小明发现与相等，并写出他的探究思路，请认真阅读并填写依据． 依据①_______________________________________________________________________； 依据②_______________________________________________________________________． 【答案】任务一：见解析；任务二：依据①：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；依据②：等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，线段的尺规作图等等： 任务一：如图所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求； 任务二：根据已给推理过程结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明即可． 【详解】解：任务一：如图所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，以的长为半径画弧，二者交于点D，连接，则即为所求； 任务二：， ， ， ， 点E为的中点， ， 是的垂直平分线． （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． ． ．（等边对等角） 21. 如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p（单位：）与其离水面深度h（单位：m）的几组数据，整理出下表： 10 15 20 25 30 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： （1）自变量是______，因变量是______； （2）青海湖水面大气压强为______； （3）请直接写出p与h的关系式，并求出最深处处的压强值． 【答案】（1）离水面深度h，大气压强p （2）68 （3），最深处处的压强值为 【解析】 【分析】本题考查自变量和因变量的定义，函数表达式，函数值，解题的关键是从表格中得到信息． （1）根据自变量和因变量的定义，即可解答； （2）根据表格可得离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，则列式计算即可求出青海湖水面大气压强； （3）由（2）知离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，且青海湖水面大气压强为，即可得出p与h的关系式为，即可求出最深处处的压强值． 【小问1详解】 解：根据题意：压强随离水面深度变化而变化， 自变量是离水面深度h，因变量是压强p； 【小问2详解】 解：水面深度每增加，压强p（单位：）增加， 则青海湖水面大气压强为： ； 【小问3详解】 解：由（2）知离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，且青海湖水面大气压强为， p与h的关系式为， 最深处处的压强值为． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务： 巧算不规则图形的面积 古希腊哲学家、数学家、力学家、天文学家阿基米德，被誉为“数学之神、力学之父”．他在《定理汇编》中曾给出一个关于面积的论断：如图1，点Q和点R是线段上的两点，并且，点O是线段的中点，分别以线段为直径向不同方向画半圆，构成一个轴对称图形，其中，点M在半圆上，点N在半圆上，所在直线为该图形的对称轴，将图1中阴影部分面积记为．阿基米德通过构图巧秒地将其转化成一个圆的面积，即在图1的基础上以线段为直径作圆如图2所示，该圆的面积记为，那么，并从数的角度用代数推理的方式给出验证．下面是代数推理验证的一部分： 设，，用含a，b的代数式分别表示与． … … 任务： （1）请将材料中验证过程补充完整； （2）如图3，点Q是线段上的一点，分别以为直径在线段的上方作半圆，一些数学家利用阿基米德的这种巧算不规则面积的方法，在图3的基础上过点Q作，与半圆交于点S，以为直径作圆得到图4，经过验证得到图3，图4中的阴影部分的面积相等．请你利用面积相等得出的线段间的数量关系，直接写出当，时的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用： （1）根据半圆面积公式结合已给推理过程进行证明即可； （2）图3中的阴影部分面积为，图4中的阴影部分面积为，根据，，分别表示出和，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 证明：设，，用含a，b的代数式分别表示与． ， 由题意得，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：设图3中的阴影部分面积为，图4中的阴影部分面积为， 由题意得， ， ， ∵， ∴， ∴； 当，，， ∴或（舍去）． 23. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点． 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点； 【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）或或 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等的性质得到，易证是等腰三角形，由，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）由等腰三角形的性质可得，，进而证明，证明，即可得出结论； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】证明：， ， 是等腰三角形， ， ， 点E是线段的中点，即点M是线段的中点； （2）如图， ， ， ， ， ， ， 在与中， 点M是线段的中点； （3）当时，如图， ， ，即点E点M重合， ， ， ， ， ； 当时，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上，为等腰三角形时，的角度为或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，正确画出示意图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$