精品解析：河北省邯郸市汉光中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

初一数学试卷 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（1-6题每题3分，7-16题每题2分，共38分） 1. 下列各线段能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm B. 6cm、7cm、14cm C. 9cm、5cm、11cm D. 4cm、10cm、6cm 2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 对某地区饮用水矿物质含量的调查，采用抽样调查方式 B. 旅客上飞机前的安全检查，采用抽样调查方式 C. 对某班学生的校服尺寸大小的调查，采用抽样调查方式 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查方式 3. 如图，的一个外角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为测量跳远成绩的示意图，起跳线是直线l，则能表示本次跳远成绩的是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 6. 若是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 已知一组数据：，，，3，，其中无理数所占的百分比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将线段 AB 平移到线段 CD 的位置，则 a+b 的值为（ ） A. 4 B. 0 C. 3 D. ﹣5 9. 约1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（ ） A. 鸡20只，兔15只 B. 鸡12只，兔23只 C. 鸡15只，兔20只 D. 鸡23只，兔12只 10. 如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 11. 已知点为第四象限内一点，且满足，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为下列何者？（ ） A. B. C. D. 13. 若关于的二元一次方程组的解也是二元—次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 15. 下面是两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的折线统计图，根据图中信息，在实验数据范围内，以下说法错误的是（ ） A. 球与球相比，球的弹性更大 B. 随着起始高度增加，两球的反弹高度也会增加 C. 两球的反弹高度均不会超过相应的起始高度 D. 将球从68cm的高度自由下落，第二次接触地面后的反弹高度小于40cm 16. 在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，沿着“…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空2分，共10分） 17. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，-----照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了____________米． 18. 对任意有理数规定，若，则的取值范围为______． 19. （1）如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是________； （2）在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是________； （3）以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是________（用含n的代数式表示）． 三、解答题（共7小题，共72分） 20. 计算 （1） （2）解方程组： （3）解不等式组，并指出它的所有整数解． 21. 如图，已知，，求证：． 22. 某初中学校为了解学生每天的睡眠时间（单位：小时），在全校1000名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果分为、、、四个组进行统计，根据统计的信息，绘制了如图不完整的频数分布直方图、扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： 　 （1）填空：本次调查中，样本容量为__________；睡眠时间在范围内的学生占抽取学生的百分比为__________；在扇形统计图中，对应的圆心角的度数是度__________；请补全频数分布直方图． （2）若睡眠时间未达到9小时的学生需要加强睡眠管理，则该校全校学生需要加强睡眠管理的学生大约有多少人？ 23. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，格点三角形(顶点为网格线的交点)的顶点，的坐标分别为，． (1)请在网格图中建立平面直角坐标系； (2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，请画出两次平移后的，并直接写出点的对应点的坐标； (3)若是内一点，直接写出中的对应点的坐标． 24. 某学校为提高办学条件，计划在每一个教室安装一台Ⅰ型电脑或者Ⅱ型电脑．经市场调查发现，若购买台Ⅰ型电脑和台Ⅱ型电脑共需元；购买台Ⅰ型电脑比购买台Ⅱ型电脑多元． （1）求每台Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑的价格； （2）现有两家商场分别推出了优惠套餐： 甲商场：Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑均打八折出售． 乙商场：Ⅰ型电脑每满元减元，Ⅱ型电脑无优惠活动． 该校需要购买Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑共台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算？ 25. 如图①，在 中，与的平分线相交于点P． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． （3）如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 26. 定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． （1）在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） （2）已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． （3）若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学试卷 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（1-6题每题3分，7-16题每题2分，共38分） 1. 下列各线段能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm B. 6cm、7cm、14cm C. 9cm、5cm、11cm D. 4cm、10cm、6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可 【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意； B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意； C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意； D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意 故选：C 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形． 2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 对某地区饮用水矿物质含量的调查，采用抽样调查方式 B. 旅客上飞机前的安全检查，采用抽样调查方式 C. 对某班学生的校服尺寸大小的调查，采用抽样调查方式 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查方式 【答案】A 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、了解某地区饮用水矿物质含量的情况，采用抽样调查方式，符合题意； B、旅客上飞机前的安检，应采用全面调查方式，故此选项不符合题意； C、对某班学生的校服尺寸大小的调查，应采用全面调查方式，故此选项不符合题意； D、调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查方式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 如图，的一个外角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角是一边的延长线与另一边的夹角判断出是的一个外角． 【详解】由图可知的一个外角是， 故选：C． 【点睛】此题主要是考查了三角形的外角的定义，能够熟记三角形外角的定义是解题的关键． 4. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可． 【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得， ∴“”中应填的符号是“”， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 5. 如图为测量跳远成绩的示意图，起跳线是直线l，则能表示本次跳远成绩的是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．利用垂线段最短求解． 【详解】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短，符合题意的垂线段是B． 故选：B． 6. 若是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入关于的方程得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个解， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，根据题意得出关于的方程是解此题的关键． 7. 已知一组数据：，，，3，，其中无理数所占的百分比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：一组数据：，，，3，，其中无理数有：π，，共有2个， 所以，无理数所占的百分比， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数，算术平方根，熟练掌握无理数的意义是解题的关键． 8. 如图，将线段 AB 平移到线段 CD 的位置，则 a+b 的值为（ ） A. 4 B. 0 C. 3 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标平移的变化规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段 AB 向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位得到线段 CD， ∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2， ∴a+b＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律，属于中考常考题型． 9. 约1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（ ） A. 鸡20只，兔15只 B. 鸡12只，兔23只 C. 鸡15只，兔20只 D. 鸡23只，兔12只 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在“鸡兔问题”中的实际应用，解题的关键是未知数的设法：若设兔为x只，则由于鸡兔共35只，则鸡有只． 分别设出鸡、兔的只数，然后根据脚的总数建立方程即可：兔的脚数鸡的脚数． 【详解】解：设笼中有x只兔，则有只鸡． 依据题意得：， 去括号得： 移项合并同类项得：， ∴． 即兔有12只，则鸡有：（只）． 故选：D． 10. 如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解： ，若， ， 是的中点， ∴， 是的中点， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 11. 已知点为第四象限内一点，且满足，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在第四象限内，那么其横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据所给的条件判断具体坐标． 【详解】解：∵点P（x，y）在第四象限， ∴x＞0，y＜0， 又∵|x|＝3，y2＝4， ∴x＝3，y＝−2， ∴点P的坐标是（3，−2）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点，第四象限（＋，−）． 12. 美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为下列何者？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意可知，拿到3张摸彩卷的意思即是消费金额大于等于300小于400，拿到4张摸彩卷的意思即是消费金额大于等于400小于500，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：美美拿到3张彩卷说明消费金额达到了300，但是不足400， 小仪拿到了4张彩卷说明消费金额达到了400，但是不足500， 因此可得， ， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩卷数量的不等关系是解题的关键． 13. 若关于的二元一次方程组的解也是二元—次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ①-②，得5y=-4k，解得， 把代入②，得，解得， 把，代入二元一次方程2x+3y=6，得，解得． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 14. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的内角和增加180°，然后根据多边形的内角和定理，求出原多边形的边数为多少即可． 【详解】解：由题意得： ∴原多边形的边数为15． 故选：B． 15. 下面是两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的折线统计图，根据图中信息，在实验数据范围内，以下说法错误的是（ ） A. 球与球相比，球的弹性更大 B. 随着起始高度增加，两球的反弹高度也会增加 C. 两球的反弹高度均不会超过相应的起始高度 D. 将球从68cm的高度自由下落，第二次接触地面后的反弹高度小于40cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像即可判断． 【详解】解：从图函数图像得： 起始高度相同时，A球反弹高度比B球大，则球与球相比，球的弹性更大，故A选项正确； 随着起始高度增加，两球的反弹高度也会增加，故B选项正确； 两球的反弹高度均不会超过相应的起始高度，故C选项正确； 将球从68cm的高度自由下落，则第一次反弹的高度大约为58cm，则第二次相当于从58cm高度自由下落，则第二次反弹的高度大约为48cm>40cm，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图像，正确理解函数图像，从函数图像中获取解题的信息是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，沿着“…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可． 【详解】解：由题意知， A1（1，1）， A2（2，0）， A3（3，1）， A4（4，0）， A5（5，-1）， A6（6，0）， A7（7，1）， … 由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，-1，0这样循环， ∴A2020（2020，0）， 故选：A． 【点睛】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在． 二、填空题（每空2分，共10分） 17. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，-----照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了____________米． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以20米即可． 【详解】解：∵小亮每次都是沿直线前进20米后向左转30度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了（米）． 故答案为：240． 【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键． 18. 对任意有理数规定，若，则的取值范围为______． 【答案】x＞-3 【解析】 【分析】根据新定义可知-4x-2＜10，求不等式的解即可． 【详解】解：根据规定运算，不等式化为-4x-2＜10， 解得x＞-3． 故答案为x＞-3． 【点睛】本题考查了利用一种新型定义转化为解一元一次不等式的问题，理解题意是解题的关键． 19. （1）如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是________； （2）在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是________； （3）以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是________（用含n的代数式表示）． 【答案】 ①. 540° ②. 900° ③. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理即可得到答案； （3）当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是． 【详解】解：（1）在图1中的任一小三角形内任取一点，图中互不重叠的所有角的和是． （2）在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），图中互不重叠的所有角的和是． （3）当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是， ∴当取到点，图中互不重叠的所有角的和是：． 故填：540°；900°；． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，列代数式，熟练掌握三角形内角和定理和找规律的方法是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共72分） 20. 计算 （1） （2）解方程组： （3）解不等式组，并指出它的所有整数解． 【答案】（1）；（2）；（3）-2＜x≤2，整数解为-1，0，1，2 【解析】 【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）分别求出每一个不等式，再合并得到解集，从而得到整数解． 【详解】解：（1） = =； （2）， ②×3-①得：13y=26， 解得：y=2，代入②中， 解得：x=4， ∴方程组的解为； （3）， 解不等式①得：x＞-2， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组的解集为：-2＜x≤2， 整数解为：-1，0，1，2． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握计算方法和解法． 21. 如图，已知，，求证：． 【答案】 证明：∵AB∥CF， ∴∠BCF=∠ABC=85°， ∵∠BCD=55°， ∴∠DCF=∠BCF-∠BCD=30°， ∵∠CDE=150°， ∴∠CDE+∠DCF=180°， ∴DE∥CF． 【解析】 【分析】先根据AB∥CF知∠BCF=∠ABC=85°，结合∠BCD=55°知∠DCF=∠BCF-∠BCD=30°，据此可得∠CDE+∠DCF=180°，从而判定CF∥DE． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 22. 某初中学校为了解学生每天的睡眠时间（单位：小时），在全校1000名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果分为、、、四个组进行统计，根据统计的信息，绘制了如图不完整的频数分布直方图、扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： 　 （1）填空：本次调查中，样本容量为__________；睡眠时间在范围内的学生占抽取学生的百分比为__________；在扇形统计图中，对应的圆心角的度数是度__________；请补全频数分布直方图． （2）若睡眠时间未达到9小时的学生需要加强睡眠管理，则该校全校学生需要加强睡眠管理的学生大约有多少人？ 【答案】（1）50；；115.2． 补全直方图如图所示， （2）人 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可知，睡眠时间在的有12人，占调查人数的，根据可求出调查人数，即样本容量，根据各组频数之和为样本容量可求出睡眠时间在范围内的学生人数，进而求出所占的百分比，求出“睡眠时间在范围内的学生”所占的百分比，即可计算相应的圆心角度数，最后补全统计图即可； （2）求出样本中睡眠时间末达到9小时的学生所占的百分比，即可估计总体的百分比，进而计算相应的人数． 【小问1详解】 解：调查人数为（人）， 因此样本容量为50， （人）， ， ， 故答案为：50；；115.2； 【小问2详解】 （人）， 答：该校全校学生需要加强睡眠管理的学生大约有人． 【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，掌握是正确解答此题的关键． 23. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，格点三角形(顶点为网格线的交点)的顶点，的坐标分别为，． (1)请在网格图中建立平面直角坐标系； (2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，请画出两次平移后的，并直接写出点的对应点的坐标； (3)若是内一点，直接写出中的对应点的坐标． 【答案】 (1)如图所示； (2)； (3). 【解析】 【分析】（1）根据A、C两点坐标根据平面直角坐标系即可； （2）首先确定A、B、C三点向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度的对应点位置，然后再连接即可；； （3）利用此平移规律可得． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示：点B坐标为：（1，3）；将先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，画出两次平移后的，即为所求，点的对应点的坐标； （3）先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，可得． 【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 24. 某学校为提高办学条件，计划在每一个教室安装一台Ⅰ型电脑或者Ⅱ型电脑．经市场调查发现，若购买台Ⅰ型电脑和台Ⅱ型电脑共需元；购买台Ⅰ型电脑比购买台Ⅱ型电脑多元． （1）求每台Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑的价格； （2）现有两家商场分别推出了优惠套餐： 甲商场：Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑均打八折出售． 乙商场：Ⅰ型电脑每满元减元，Ⅱ型电脑无优惠活动． 该校需要购买Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑共台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算？ 【答案】（1）元，元； （2）台． 【解析】 【分析】（1）根据题意找等量关系，列方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 设每台Ⅰ型电脑元，每台Ⅱ型电脑元， 由题意得：， 解得：， 答：每台Ⅰ型电脑元，每台Ⅱ型电脑元； 【小问2详解】 设购买Ⅰ型电脑台，则购买Ⅱ型电脑台， 由题意得：， 解得：， ∴的最小整数解为， 答：该学校至少购买台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和不等式的应用，理解题意找出相等关系或不等关系是解题的关键． 25. 如图①，在 中，与的平分线相交于点P． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． （3）如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）的度数是或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可． 【小问1详解】 ， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； 【小问3详解】 延长得射线， 为的外角的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则，， 综合上述，的度数是或或或． 26. 定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点． （1）在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号） （2）已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积． （3）若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）①③； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题； （2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积； （3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系． 【小问1详解】 解：将①；②；③三点，分别代入方程， ①， ②， ③， 在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③， 故答案为：①③； 【小问2详解】 ∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点， ， 解得， ， 点在轴上， 当时，， ， ， 点在轴上， 当时，， ， ，， 四边形的面积； 【小问3详解】 ，，三点是二元一次方程图象的关联点， 将，代入 得 整理，得①， 将代入 得②， ①②得， 解得 将代入 得 即 解得， 将代入 得 即 解得， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $