第14章 专题七 全等三角形的常见辅助线作法(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(沪科版)

年级上册·I 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第14章　全等三角形 专题七　全等三角形的常见辅助线作法 倍长中线法 1. （2023·芜湖镜湖区期中）如图所示，在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，已 知 AB ＝5， AC ＝3，求线段 AD 的长的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：延长 AD 到点 E ，使 AD ＝ DE ，连接 BE ，如图所示. ∵ AD 是△ ABC 的中线， ∴ BD ＝ CD . ∵ BD ＝ CD ，∠ ADC ＝∠ EDB ， AD ＝ ED ， ∴△ ADC ≌△ EDB （ SAS ）， ∴ EB ＝ AC ＝3.根据三角形的三边关系，得 5－3＜ AE ＜5＋3， ∴1＜ AD ＜4. 故线段 AD 的长的取值范围为1＜ AD ＜4. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图所示， AD 是△ ABC 的中线，点 E 在 BC 的延长线上， CE ＝ AB ，∠ BAC ＝∠ BCA . 求证： AE ＝2 AD . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：如图所示，延长 AD 至点 M ，使 DM ＝ AD ，连接 CM . ∵ AD 是△ ABC 的中线， ∴ DB ＝ CD . 在△ ABD 和△ MCD 中， ∴△ ABD ≌△ MCD （ SAS ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴ MC ＝ AB ，∠ B ＝∠ MCD . ∵ AB ＝ CE ，∴ CM ＝ CE . ∵∠ BAC ＝∠ BCA ，∴∠ B ＋∠ BAC ＝∠ ACB ＋∠ MCD ，即∠ ACM ＝ ∠ ACE . 在△ ACE 和△ ACM 中， ∴△ ACE ≌△ ACM （ SAS ），∴ AE ＝ AM . ∵ AM ＝2 AD ，∴ AE ＝2 AD . 1 2 3 4 5 6 7 8 截长补短法 3. 几何直观　如图所示， AD ∥ BC ， BE 平分∠ ABC 交 CD 于点 E ，连接 AE ， AE ⊥ BE . 求证： AD ＋ BC ＝ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：如图所示，延长 AE ， BC 交于点 H . ∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠ CBE . 在△ ABE 和△ HBE 中， ∴△ ABE ≌△ HBE （ ASA ）， ∴ AB ＝ BH ， AE ＝ EH . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ D ＝∠ DCH . 在△ ADE 和△ HCE 中， ∴△ ADE ≌△ HCE （ AAS ），∴ AD ＝ CH ， ∴ AB ＝ BH ＝ BC ＋ CH ＝ BC ＋ AD ，即 AD ＋ BC ＝ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 4. （2023·淮南潘集区月考）如图所示， AB ∥ CD ， BE ， CE 分别是∠ ABC ， ∠ BCD 的平分线，点 E 在 AD 上.求证： BC ＝ AB ＋ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：在 BC 上取点 F ，使 BF ＝ AB ，连接 EF . ∵ BE ， CE 分别是∠ ABC ，∠ BCD 的平分线， ∴∠ ABE ＝∠ FBE ，∠ BCE ＝∠ DCE . ∵ AB ∥ CD ，∴∠ A ＋∠ D ＝180°. 在△ ABE 和△ FBE 中， ∴△ ABE ≌△ FBE （ SAS ），∴∠ A ＝∠ BFE ，∴∠ BFE ＋∠ D ＝180°. ∵∠ BFE ＋∠ EFC ＝180°，∴∠ EFC ＝∠ D . 在△ EFC 和△ EDC 中， ∴△ EFC ≌△ EDC （ AAS ），∴ CF ＝ CD . ∵ BC ＝ BF ＋ CF ，∴ BC ＝ AB ＋ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 连接公共边证两个三角形全等 5. 模型观念　如图所示， AC 与 BD 相交于点 O ，且 AB ＝ DC ， AC ＝ DB ，求 证：∠ A ＝∠ D . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：如图所示，连接 BC ， 在△ ABC 和△ DCB 中， ∴△ ABC ≌△ DCB （ SSS ），∴∠ A ＝∠ D . 1 2 3 4 5 6 7 8 以三角形角平分线为公共边构造全等三角形 6. 几何直观　如图所示， OP 平分∠ AOB ， C ， D 分别在 OA ， OB 上，若∠ PCO ＋∠ PDO ＝180°. 求证： PC ＝ PD . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明：过点 P 作 PE ⊥ OA 于点 E ，过点 P 作 PF ⊥ OB 于点 F ， 如图所示，则∠ PEO ＝∠ PFO ＝∠ PFD ＝90°. ∵ OP 平分∠ AOB ，∴∠1＝∠2. ∵ PO ＝ PO ，∴△ PEO ≌△ PFO （ AAS ）， ∴ PE ＝ PF . ∵∠ PCO ＋∠ PDO ＝180°，∠ PCO ＋∠ PCE ＝180°，∴∠ PCE ＝∠ PDF . 在△ PCE 和△ PDF 中， ∴△ PCE ≌△ PDF （ AAS ）， ∴ PC ＝ PD . 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图所示，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， BD 是∠ ABC 的平分线，且 CE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E . 求证： BD ＝2 CE . 证明：如图所示，延长 CE ， BA 交于点 F . ∵∠ EBF ＋∠ F ＝90°，∠ ACF ＋∠ F ＝90°， ∴∠ EBF ＝∠ ACF . 在△ ABD 和△ ACF 中， ∴△ ABD ≌△ ACF （ ASA ），∴ BD ＝ CF . 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵ BD 是∠ ABC 的平分线，∴∠ EBC ＝∠ EBF . 在△ BCE 和△ BFE 中， ∴△ BCE ≌△ BFE （ ASA ），∴ CE ＝ EF ， ∴ CF ＝2 CE ，∴ BD ＝ CF ＝2 CE . 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 如图所示， AD 是∠ BAC 的平分线，∠ B ＝∠ EAC ， ED ⊥ AD 于点 D . 求 证： ED 平分∠ AEB . 证明：延长 AD 交 BC 于点 F ，如图所示. ∵ AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∵∠ DFE ＝∠ B ＋∠ BAD ，∠ DAE ＝∠ EAC ＋∠ CAD ，∠ B ＝∠ EAC ，∴∠ DFE ＝∠ DAE . 又∵ ED ⊥ AD ，∴∠ ADE ＝∠ FDE ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 在△ ADE 和△ FDE 中， ∴△ ADE ≌△ FDE （ AAS ）， ∴∠ DEA ＝∠ DEF ， ∴ ED 平分∠ AEB . 1 2 3 4 5 6 7 8 $$