第13章 专题三 证明全等三角形的常见模型(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(冀教版)

年级上册·JJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第十三章　全等三角形 专题三　证明全等三角形的常见模型 旋转模型 1. 如图所示，以△ ABC 的边 AB ， AC 分别向外作等腰直角三角形 ABD 与等腰直 角三角形 ACE ，∠ BAD ＝∠ CAE ＝90°，连接 BE 和 CD 相交于点 O ， AB 交 CD 于点 F ， AC 交 BE 于点 G . 求证：（1）△ DAC ≌△ BAE . 1 2 3 4 证明：（1）∵△ ABD 和△ ACE 都是等腰直角三角形， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AC . 又∵∠ BAD ＝∠ CAE ＝90°， ∴∠ BAD ＋∠ BAC ＝∠ CAE ＋∠ BAC ， 即∠ DAC ＝∠ BAE ， 在△ DAC 和△ BAE 中， ∴△ DAC ≌△ BAE （SAS）. 1 2 3 4 （2） DC ⊥ BE . 证明：（2）∵△ DAC ≌△ BAE ， ∴ BE ＝ DC ，∠ ABE ＝∠ ADC . 又∵∠ BFO ＝∠ DFA ，∠ ADF ＋∠ DFA ＝90°， ∴∠ ABE ＋∠ BFO ＝90°，∴∠ BOF ＝∠ DAF ＝90°， 即 DC ⊥ BE . 1 2 3 4 （3）点 A 到 CD ， BE 所在直线的距离相等. 证明：（3）设点 A 到 CD ， BE 所在直线的距离分别为 d1， d2. ∵△ DAC ≌△ BAE ，∴ S△ DAC ＝ S△ BAE ， 即 × CD × d1＝ × BE × d2. ∵ CD ＝ BE ， ∴ d1＝ d2，即点 A 到 CD ， BE 所在直线的距离相等. 1 2 3 4 对角互补模型 2. 综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究. （1）如图所示，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D ＝90°， E ， F 分别 是边 BC ， CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD . 请探究线段 EF ， BE ， DF 之间的 数量关系.下面是琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整. 1 2 3 4 解：如图①所示，延长 EB 到点 G ，使得 BG ＝ DF ，连接 AG ， 在△ ABG 和△ ADF 中， ∴△ ABG ≌△ ADF （SAS）， ∴ AG ＝ AF ，∠ BAG ＝∠ DAF . ∴∠ BAG ＋∠ BAE ＝∠ DAF ＋∠ BAE . ∵∠ EAF ＝ ∠ BAD ， …… 1 2 3 4 解：（1）延长 EB 到点 G ，使得 BG ＝ DF ，连接 AG ， 在△ ABG 和△ ADF 中，∴△ ABG ≌△ ADF （SAS）， ∴ AG ＝ AF ，∠ BAG ＝∠ DAF ，∴∠ BAG ＋∠ BAE ＝∠ DAF ＋∠ BAE . ∵∠ EAF ＝ ∠ BAD ，∴∠ GAE ＝∠ EAF . 在△ AEG 和△ AEF 中，∴△ AEG ≌△ AEF （SAS）， ∴ EF ＝ EG ＝ BE ＋ BG ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 （2）李浩发现在如图②所示的四边形 ABCD 中，若 AB ＝ AD ，∠ B ＋∠ D ＝ 180°， E ， F 分别是边 BC ， CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD ，（1）中的结论 仍然是成立的，请你写出结论并说明理由. 1 2 3 4 解：（2） EF ＝ BE ＋ DF . 理由如下： 如图所示，延长 FD 到点 G ，使 DG ＝ BE ，连接 AG ，则∠ ADF ＋∠ ADG ＝180°.　 ∵∠ B ＋∠ ADC ＝180°，∴∠ B ＝∠ ADG . ∵ AB ＝ AD ，∴△ ABE ≌△ ADG （SAS）， ∴ AE ＝ AG ，∠1＝∠3. ∵∠ EAF ＝ ∠ BAD ，∴∠1＋∠2＝ ∠ BAD ， ∴∠3＋∠2＝ ∠ BAD ，即∠ FAG ＝ ∠ BAD ， ∴∠ EAF ＝∠ FAG . 又 AF ＝ AF ，∴△ AEF ≌△ AGF （SAS），∴ EF ＝ GF . ∵ GF ＝ DG ＋ DF ，∴ EF ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 三垂模型 3. 推理能力　在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD ⊥ MN 于点 D ， BE ⊥ MN 于点 E . （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图①所示的位置时，求证：①△ ADC ≌△CEB ； 解：（1）证明：①∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ ACD ＋∠ BCE ＝90°. ∵ AD ⊥ MN ， BE ⊥ MN ，∴∠ ADC ＝∠ CEB ＝90°，∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝ 90°， ∴∠ ACD ＝∠ CBE . 在△ ADC 和△ CEB 中， ∴△ ADC ≌△ CEB （AAS）. 1 2 3 4 ② DE ＝ BE ＋ AD . 解： ②由①知△ ADC ≌△ CEB ， ∴ AD ＝ CE ， DC ＝ BE ， ∴ DE ＝ DC ＋ CE ＝ BE ＋ AD . 1 2 3 4 （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图②所示的位置时，试问 DE ， AD ， BE 具有怎 样的等量关系，并加以证明. 解：（2） DE ＝ AD － BE . 证明：在△ ADC 和△ CEB 中， ​ ∴△ ADC ≌△ CEB （AAS）， ∴ AD ＝ CE ， DC ＝ BE ，∴ DE ＝ CE － CD ＝ AD － BE . 1 2 3 4 （3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图③所示的位置时，试问 DE ， AD ， BE 具有怎 样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明） 解：（3） DE ＝ BE － AD . 1 2 3 4 倍角半角模型 4. 阅读理解　阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两 对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几 何结论，例如： 如图①所示，在正方形 ABCD 中，以 A 为顶点的∠ EAF ＝45°， AE ， AF 与 BC ， CD 边分别交于 E ， F 两点，易证得 EF ＝ BE ＋ FD . 1 2 3 4 大致证明思路：如图②所示，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°，得到△ ABH ，由 ∠ HBE ＝180°可得 H ， B ， E 三点共线，∠ HAE ＝∠ EAF ＝45°，进而可证明 △ AEH ≌△ AEF ，故 EF ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 任务： 如图③所示，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D ＝90°，∠ BAD ＝120°，以 A 为顶点的∠ EAF ＝60°， AE ， AF 与 BC ， CD 边分别交于 E ， F 两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 EF ＝ BE ＋ DF 是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 解：成立. 1 2 3 4 证明：如图所示，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转120°得到△ ABM ， ∴△ ABM ≌△ ADF ，∠ ABM ＝∠ D ＝90°，∠ MAB ＝∠ FAD ， AM ＝ AF ， MB ＝ DF ， ∴∠ MBE ＝∠ ABM ＋∠ ABE ＝180°， ∴ M ， B ， E 三点共线， ∴∠ MAE ＝∠ MAB ＋∠ BAE ＝∠ FAD ＋∠ BAE ＝∠ BAD －∠ EAF ＝60°， ∴∠ MAE ＝∠ FAE . 又∵ AE ＝ AE ， AM ＝ AF ， ∴△ MAE ≌△ FAE （SAS），∴ ME ＝ EF ， ∴ EF ＝ ME ＝ MB ＋ BE ＝ DF ＋ BE . 1 2 3 4 $$