17.4 直角三角形全等的判定(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(冀教版)

年级上册·JJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第十七章　特殊三角形 17.4　直角三角形全等的判定 利用“HL”判定直角三角形全等 1. （2023·保定期中）如图所示，∠ B ＝∠ DEF ＝90°， AB ＝ DE ，要根据“HL”判定△ ABC ≌△ DEF ，则需添加的条件是（　B　） A. BC ＝ EF B. AC ＝ DF C. ∠ A ＝∠ D D. ∠ ACB ＝∠ F 第1题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图所示，已知 AB ＝ AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ABC ≌△ ADC 的是（　D　） A. CB ＝ CD B. ∠ BAC ＝∠ DAC C. ∠ B ＝∠ D ＝90° D. ∠ BCA ＝∠ DCA 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （2023·廊坊期中）如图所示，在△ ABC 中，点 D 在边 BC 上， DB ＝ DC ， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E ， F ， DE ＝ DF . 求证：Rt△ DEB ≌Rt△ DFC . 以下是排乱的证明过程： ①∵在Rt△ DEB 和Rt△ DFC 中， ②∴Rt△ DEB ≌Rt△ DFC （HL）. ③∴∠ BED ＝∠ CFD ＝90°. ④∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明过程正确的顺序是（　B　） A. ④→②→③→① B. ④→③→①→② C. ③→②→①→④ D. ③→①→④→② 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图所示，用三角尺可以画角平分线：在已知∠ AOB 的两边上分别取点 M ， N ，使 OM ＝ ON ，再过点 M 画 OA 的垂线，过点 N 画 OB 的垂线，两垂线交于点 P ，画射线 OP . 可以得到△ OMP ≌△ ONP ，所以∠ AOP ＝∠ BOP ，那么射线 OP 就是∠ AOB 的平分线.△ OMP ≌△ ONP 的依据是（　C　） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 第4题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 推理能力　如图所示，Rt△ ABC 与Rt△ DEF 的顶点 A ， F ， C ， D 在同一条直 线上， AB 与 EF 交于点 G ， BC 与 DE 交于点 H ，∠ B ＝∠ E ＝90°， AF ＝ CD ， AB ＝ DE . （1）求证：Rt△ ABC ≌Rt△ DEF . 解：（1）证明：∵ AF ＝ CD ，∴ AF ＋ FC ＝ CD ＋ CF ， 即 AC ＝ DF . 在Rt△ ABC 和Rt△ DEF 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ DEF （HL）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若 GF ＝2，求线段 CH 的长. 解：（2）∵Rt△ ABC ≌Rt△ DEF ， ∴∠ A ＝∠ D ，∠ BCA ＝∠ EFD ， ∴180°－∠ BCA ＝180°－∠ EFD ， 即∠ DCH ＝∠ AFG . 在△ AGF 和△ DHC 中， ∴△ AGF ≌△ DHC （ASA）， ∴ GF ＝ CH . ∵ GF ＝2，∴ CH ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 利用“HL”作直角三角形 6. 图①是Rt△ ABC ，图②是嘉琪在已有∠MB'N＝90°的情况下，所画的Rt△A'B'C’ ≌Rt△ ABC 的部分过程，则依据是（　D　） 　 A. SAS B. ASA C. SSS D. HL D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 几何直观　如图所示，点 M ， N 到直线 l 的距离为 MA ， ND ，垂足分别为 A ， D ， B 为 AD 的中点，作 MN 的垂直平分线交直线 l 于点 C ，连接 MB ， MC ， NC ， AM ＝ CD ，现给出下列结论：①∠ CNM ＝∠ CMN ；②△ ACM ≌△ DNC ；③∠ MCN ＝88°；④若 CN ＝13， CD ＝5，则 BC ＝4.其中正确的结论是 .（填序号） ①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图所示，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高. （1）尺规作图：作∠ ABC 的平分线 l （保留作图痕迹，不写作法，不写结论）. 解：（1）如图所示， l 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：（2）证明：∵ AD 为△ ABC 的高， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. 在Rt△ BDE 和Rt△ ADC 中， ∴Rt△ BDE ≌Rt△ ADC （HL）， ∴∠ BED ＝∠ C . 又∵∠ CAD ＋∠ C ＝90°，∠ BED ＝∠ AEO ， ∴∠ CAD ＋∠ AEO ＝90°，∴∠ AOE ＝90°， ∴ l ⊥ AC . （2）在已作图形中，若 l 与 AD 交于点 E ，且 BE ＝ AC ， BD ＝ AD ，求证： l ⊥ AC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 忽略“HL”只能在直角三角形中应用 9. 下列说法正确的有 个. （1）有两个锐角相等的直角三角形全等； （2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等； （3）有两条边对应相等的两个三角形全等； （4）两个直角三角形全等. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图所示， D 为△ BAC 的外角∠ FAC 平分线上一点并且 D 在 BC 的垂直平分 线上，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E ， DF ⊥ AB 交 BA 的延长线于点 F ，则下列结 论：①△ CDE ≌△ BDF ；② CE ＝ AB ＋ AE ；③∠ BDC ＝∠ BAC ；④∠ DAF ＝ ∠ ACD . 其中正确的结论有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图所示， BD ＝ CF ， FD ⊥ BC 于点 D ， DE ⊥ AB 于点 E ， BE ＝ CD ，若 ∠ AFD ＝145°，则∠ EDF ＝ ⁠. 55°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：如图所示，过点 C 作 CF ⊥ OB 于点 F ，则∠ F ＝∠ CEO ＝90°， ∵∠1＝∠2， OC ＝ OC ， ∴△ FOC ≌△ EOC ， ∴ CE ＝ CF ， OE ＝ OF . ∵ CA ＝ CB ，∠ CEA ＝∠ CFB ＝90°， ∴Rt△ CAE ≌Rt△ CBF （HL）， ∴∠4＝∠ CBF ， AE ＝ BF . ∵∠3＋∠ CBF ＝180°，∴∠3＋∠4＝180°， ∴ OA ＋ OB ＝（ OE ＋ AE ）＋（ OF － BF ）＝ OE ＋ OF ＝2 OE . 12. 如图所示，在四边形 OACB 中， CE ⊥ OA 于点 E ，∠1＝∠2， CA ＝ CB . 求 证：∠3＋∠4＝180°； OA ＋ OB ＝2 OE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 运算能力　如图所示，有一直角三角形 ABC ，∠ C ＝90°， AC ＝10 cm， BC ＝5 cm，一条线段 PQ ＝ AB ， P ， Q 两点分别在 AC 和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AM 上运动.问：当 P 点运动到 AC 的什么位置时，△ ABC 才能和以 A ， P ， Q 为 顶点的三角形全等？ 解：①当点 P 运动到 PA ＝ BC 时， 由题意知，∠ C ＝∠ QAP ＝90°. 在Rt△ ABC 和Rt△ QPA 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ QPA （HL）， ∴ PA ＝ BC ＝5 cm， 此时点 P 为 AC 的中点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ②当点 P 运动到与点 C 重合，即 AP ＝ AC 时， 在Rt△ BCA 和Rt△ QAP 中， ∴Rt△ BCA ≌Rt△ QAP （HL）， ∴ AP ＝ AC ＝10 cm. 此时点 P 与点 C 重合. 综上所述，当点 P 运动到 AC 的中点或点 P 与点 C 重合时，△ ABC 才能和以 A ， P ， Q 为顶点的三角形全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 探究拓展　【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后，聪聪同学继续对 “两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 聪聪将命题用符号语言表示为：在△ ABC 和△ DEF 中， AC ＝ DF ， BC ＝ EF ， ∠ B ＝∠ E . 【分类讨论】聪聪想：要想解决问题，应该对∠ B 进行分类研究.将∠ B 分为“直 角、钝角、锐角”三种情况进行探究. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1）如图①所示，当∠ B 是直角时，在△ ABC 和△ DEF 中， AC ＝ DF ， BC ＝ EF ，∠ B ＝∠ E ＝90°，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF （依据： ）. HL　 【解决问题】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）如图②所示，当∠ B 是锐角时， BC ＝ EF ，∠ B ＝∠ E ＜90°，在射线 EM 上有点 D ，使 DF ＝ AC ，画出符合条件的点 D ，则△ ABC 和△ DEF 的关系 是 ，并说明理由.（填“全等”“不全等”或“不一定全等”） 不一定全等　 解：（2）理由：如图①所示，以 F 为圆心， AC 长为半径画弧，交射线 EM 于点 D ，D'，则 DF ＝D'F＝ AC ，△ DEF ≌△ ABC ，△D'EF和△ ABC 不全等，所 以不一定全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3）如图③所示，当∠ ABC 是钝角时，在△ ABC 和△ DEF 中， AC ＝ DF ， BC ＝ EF ，∠ ABC ＝∠ DEF ＞90°.我们可以过点 C 作 CM ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 M ，过点 F 作 FN ⊥ DE 交 DE 的延长线于点 N ，可以证得△ ABC ≌△ DEF ，请你 证明△ ABC ≌△ DEF . 解：（3）证明：如图②所示,过点 C 作CM ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 M ,过点 F 作 FN ⊥ DE 交 DE 的延长线于点 N ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ CM ⊥ AB 于点 M ， FN ⊥ DE 于点 N ，∴∠ M ＝∠ N ＝90°.∵∠ CBA ＝∠ FED ， ∴180°－∠ CBA ＝180°－∠ FED ， 即∠ CBM ＝∠ FEN . 在△ CBM 和△ FEN 中， ∴△ CBM ≌△ FEN （AAS），∴ CM ＝ FN . 在Rt△ ACM 和Rt△ DFN 中， ∴Rt△ ACM ≌Rt△ DFN （HL），∴∠ A ＝∠ D . 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF （AAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$