第14章 整式的乘法与因式分解 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(人教版 河北专用)

年级上册·RJ·河北专用 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第十四章　整式的乘法与因式分解 本章综合提升 1. 方程思想 本章在利用幂的运算求字母参数的值时，经常运用方程思想，即利用同 底数幂的指数（或底数）相等，列出关于字母参数的方程，解方程则求得字 母参数的值. 　　【例1】　（2024·沧州肃宁月考）已知4 m ＝ a ，8 n ＝ b . （1）用关于 a ， b 的代数式表示22 m＋3 n . （2）求24 m－6 n 的值. （3）已知2×8 x ×16＝226，求 x 的值. 解：（1）∵4 m ＝ a ，8 n ＝ b ，∴22 m ＝ a ，23 n ＝ b . ∴22 m＋3 n ＝22 m ·23 n ＝ ab . （2）由（1），得22 m ＝ a ，23 n ＝ b ， ∴24 m－6 n ＝24 m ÷26 n ＝（22 m ）2÷（23 n ）2＝ . （3）∵2×8 x ×16＝226，∴2×（23） x ×24＝226，即2×23 x ×24＝226，得21＋3 x＋4＝226， ∴1＋3 x ＋4＝26，解得 x ＝7. 　　【变式训练1】（2024·邯郸邯山区期中）计算： （1）已知2·8 n ·32 n ＝225，求 n 的值. （2）已知 n 是正整数，且 x3 n ＝2，求（3 x3 n ）2＋（－2 x2 n ）3的值. 解：（1）∵2·8 n ·32 n ＝225， ∴2·8 n ·32 n ＝2·（23） n ·（25） n ＝2·23 n ·25 n ＝28 n＋1＝225，∴8 n ＋1＝25，解得 n ＝3. （2）（3 x3 n ）2＋（－2 x2 n ）3＝（3 x3 n ）2－8（ x3 n ）2. 当 x3 n ＝2时，原式＝（3×2）2－8×22＝36－32＝4. 2. 转化思想 本章在整式的乘法中，利用多项式“不含某次项”或“与某个字母的值无 关”之类的特点求值时，常把问题转化为某项的系数为0，由此得到关于某个字 母参数的方程，解方程即可得到答案. 　　【例2】　（2024·廊坊广阳区月考）已知关于 x 的整式（2 x2＋ mx － n ）（ x －1）的展开的结果中不含 x2和 x 项. （1）求 m ， n 的值. 解：（1）原式＝2 x3－2 x2＋ mx2－ mx － nx ＋ n ＝ 2 x3＋（ m －2） x2－（ m ＋ n ） x ＋ n . ∵（2 x2＋ mx － n ）（ x －1）展开的结果中不含 x2和 x 项， ∴ 解得 m ＝2， n ＝－2. （2）在（1）的条件下，求（ m － n ）（ m2＋ mn ＋ n2）的值. 解：（2）（ m － n ）（ m2＋ mn ＋ n2） ＝ m3＋ m2 n ＋ mn2－ m2 n － mn2－ n3 ＝ m3－ n3. 由（1），得 m ＝2， n ＝－2. ∴原式＝23－（－2）3＝8－（－8）＝16. 【变式训练2】若关于 x 的多项式2 x ＋ a 与－ x2＋ bx －2的乘积展开式中没有 二次项，且常数项为20，求 a ， b 的值. 解：（2 x ＋ a ）（－ x2＋ bx －2） ＝－2 x3＋2 bx2－4 x － ax2＋ abx －2 a ＝－2 x3＋（2 b － a ） x2＋（ ab －4） x －2 a . ∵展开式中没有二次项，且常数项为20， ∴ 解得 a ＝－10， b ＝－5. 3. 整体思想 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改 造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成 一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理. 本章在利用整式的乘法中求代数式的值时，如果有关字母的值未知但关于该 字母的代数式的值已知，灵活运用整体思想即可解决问题. 【例3】　（2024·石家庄长安区月考）已知 a － b ＝7， ab ＝－12. （1）求 a2 b － ab2的值. 解：（1）∵ a － b ＝7， ab ＝－12， ∴ a2 b － ab2＝ ab （ a － b ）＝－12×7＝－84. （2）求 a2＋ b2的值. 解：（2）∵ a － b ＝7， ab ＝－12， ∴（ a － b ）2＝49，即 a2＋ b2－2 ab ＝ a2＋ b2－2×（－12）＝49， 解得 a2＋ b2＝25. （3）求 a ＋ b 的值. 解：（3）由（2），得 a2＋ b2＝25， ∴（ a ＋ b ）2＝（ a2＋ b2）＋2 ab ＝25＋2×（－12）＝25－24＝1， ∴ a ＋ b ＝±1. 【变式训练3】已知实数 m 满足 m2－ m －1＝0，求2 m3－3 m2－ m ＋9的值. 解：∵ m2－ m －1＝0， ∴2 m3－3 m2－ m ＋9 ＝2 m3－2 m2－2 m － m2＋ m ＋9 ＝（2 m3－2 m2－2 m ）－（ m2－ m －1）＋8 ＝2 m （ m2－ m －1）－（ m2－ m －1）＋8 ＝2 m ×0－0＋8＝0－0＋8＝8. 4. 数形结合思想 数与形是数学中最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，这种 研究问题的思想叫做数形结合思想. 本章在利用图形面积之间的关系解释整式的乘法法则、因式分解时，或利用 整式的乘法求图形面积时，常运用数形结合思想. 　　【例4】　（2024·衡水桃城区月考）我们用两种不同的方法来表示同一个图 形的面积，从而得到一个等式. （1）如图①所示，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的 长方形拼成的.请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积. 方法1： S大正方形＝ ⁠. 方法2： S大正方形＝ ⁠. （ a ＋ b ）2　 a2＋2 ab ＋ b2　 根据以上信息，可以得到的等式是 ⁠. （ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2　 （2）如图②所示，大正方形是由四个边长分别为 a ， b ， c 的直角三角形 （ c 为斜边）和一个小正方形拼成.请用两种不同的方法分别表示小正方形的面 积，并推导得到 a ， b ， c 之间的数量关系. 解：（2）∵从整体看，大正方形的边长为 a ＋ b ，∴ S大正方形＝（ a ＋ b ）2. ∵从组成看，大正方形面积由5块组成： c2， ab ， ab ， ab ， ab . ∴ S大正方形＝ c2＋4× ab . ∴（ a ＋ b ）2＝ c2＋2 ab . ∴ a2＋2 ab ＋ b2＝ c2＋2 ab .∴ a2＋ b2＝ c2. （3）在（2）的条件下，若 a ＝3， b ＝4，求斜边 c 的值. 解：（3）∵ a2＋ b2＝ c2， a ＝3， b ＝4，∴ c2＝25. ∵ c ＞0，∴ c ＝5. 【变式训练4】几何直观　如图所示，在边长为 a 的正方形中截去边长为 b 的 正方形. （1）图①中阴影部分的面积是 ⁠. （2）图②是将图①中的阴影部分裁开，重新拼成的梯形，其面积是 ⁠ ⁠. （3）由图可以得到乘法公式 ⁠. a2－ b2　 （ a ＋ b ）（ a － b ）　 （ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a2－ b2　 （4）运用得到的公式，计算： … . 解：（4）（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ） ＝［（1＋ ）（1－ ）］［（1＋ ）（1－ ）］［（1＋ ）×（1－ ）］… ［（1＋ ）（1－ ）］ ＝ × × × × × ×…× × ＝ × ＝ . 1. （2024·保定期末）下列运算正确的是（　C　） A. a ＋3 a ＝4 a2 B. a3· a2＝ a6 C. （2 a ）4＝16 a4 D. a10÷ a2＝ a5 2. （2024·保定安国区期末）若 n 为任意整数，则（2 n ＋1）2－（2 n －1）2的值 不一定能（　C　） A. 被2整除 B. 被4整除 C. 被6整除 D. 被8整除 3. （2024·廊坊安次区月考）已知6 x5 y ÷★＝3 x3 y ，则“★”所表示的式子是 ⁠ ⁠. C C 2 x2　 1 2 3 4 5 6 7 4. （2024·唐山滦南期中）我们规定一种运算，如果 ac ＝ b ，则（ a ， b ）＝ c ， 例如若23＝8，则（2，8）＝3. 1 2 3 4 5 6 7 （1）根据上述规定填空： （3，27）＝ ，（－2， ）＝5. （2）小明在研究这种运算时发现一种现象：（3 n ，4 n ）＝（3，4），小明给出 了如下证明过程： 解：设（3 n ，4 n ）＝ x ，则（3 n ） x ＝4 n ，即（3 x ） n ＝4 n ， ∴3 x ＝4， ∴（3，4）＝ x ， ∴（3 n ，4 n ）＝（3，4）， 请你用这种方法证明（3，4）＋（3，5）＝（3，20）. 证明：（2）设（3，4）＝ a ，（3，5）＝ b ，则3 a ＝4，3 b ＝5， ∴3 a ×3 b ＝20，∴3 a＋ b ＝20， ∴（3，20）＝ a ＋ b ，∴（3，4）＋（3，5）＝（3，20）. 3　 －32 1 2 3 4 5 6 7 5. （2023·山东济宁中考）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是 （　C　） A. （ a ＋3）2＝ a2＋6 a ＋9 B. a2－4 a ＋4＝ a （ a －4）＋4 C. 5 ax2－5 ay2＝5 a （ x ＋ y ）（ x － y ） D. a2－2 a －8＝（ a －2）（ a ＋4） C 1 2 3 4 5 6 7 6. （2023·江苏无锡中考）现有一长方形地块，长比宽多20米.若将长增加10米， 宽缩短5米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的 长为 米. 50　 1 2 3 4 5 6 7 （1）请用含 a 的式子分别表示 S1， S2，当 a ＝2时，求 S1＋ S2的值. 解：（1）由图，知 S1＝（ a ＋2）（ a ＋1）＝ a2＋3 a ＋2， S2＝（5 a ＋1）×1＝5 a ＋1， 当 a ＝2时， S1＋ S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23. 7. （2023·河北中考）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图 ①所示（ a ＞1）.某同学分别用6张卡片拼出了如图②和图③所示的两个矩形 （不重叠无缝隙），其面积分别为 S1， S2. 1 2 3 4 5 6 7 （2）比较 S1与 S2的大小，并说明理由. 解：（2） S1＞ S2. 理由：∵ S1－ S2＝ a2＋3 a ＋2－5 a －1＝ a2－2 a ＋1＝（ a －1）2. 又∵ a ＞1，∴（ a －1）2＞0，∴ S1＞ S2. 1 2 3 4 5 6 7 $$