第11章 三角形 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(人教版 河北专用)

年级上册·RJ·河北专用 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第十一章　三角形 本章综合提升 1. 方程思想 　　根据题目中表示或蕴含的数量关系，列出方程或方程组，从而把一个问题通 过方程解决的思想叫做方程思想.某些问题中，利用方程的思想可使解题过程变 得简捷、流畅. 本章在三角形中利用三角形内角和定理进行角的计算，在多边形中利用多边 形的内角和定理计算等，运用方程的思想可以简化计算过程. 【例1】　如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的三等分线交于点 E ， D ，若∠ BFC ＝132°，∠ BGC ＝118°，请你求△ ABC 各内角的度数. 解：∵∠ ABC ，∠ ACB 的三等分线交于点 E ， D ，∴设∠ CBG ＝∠ EBG ＝ x °，∠ BCF ＝∠ ECF ＝ y °，则 x ＝ ∠ ABC ， y ＝ ∠ ACB . 在△ BCG 中，∵∠ BGC ＝118°，∴∠ CBG ＋∠ BCE ＝180°－∠ BGC ＝180°－118° ＝62°，即 x ＋2 y ＝62°；　① 在△ BCF 中，∵∠ BFC ＝132°， ∴∠ BCF ＋∠ CBF ＝180°－∠ BFC ＝180°－132°＝48°，即2 x ＋ y ＝48°.　 ②解①②组成的方程组，得 ∴∠ ABC ＝3 x °＝34°，∠ ACB ＝3 y °＝76°，∠ A ＝180°－∠ ABC － ∠ ACB ＝180°－34°－76°＝70°. 【变式训练1】已知一个多边形的内角和比外角和多900°，并且这个多边形 各个内角的度数都相等.这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形的边数是 n ，根据题意，得（ n －2）×180°－360°＝ 900°，解得 n ＝9. ∴这个多边形的每个内角是180°－360°÷9＝140°. 2. 转化思想 　　在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段通过变化使之转化，进而达到 解决问题的思想叫做转化思想. 本章在利用组成三角形的条件求线段长度或利用三角形内角和定理求角的度 数时，运用转化的思想可以使问题简单化. 【例2】　如图所示，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个四边形木 框 ABCD ，木框的形状不限，不计螺丝大小，且相邻两木条的夹角均可调整，且 调整木条的夹角时不破坏此木框.已知木框的周长为48 cm， AB ＝ a cm， BC 比 AB 的2倍长3 cm， CD ＝ AB ＋ BC ， （1）求出用 a 表示第四条边长 AD 的式子. 解：（1）∵ AB ＝ a cm，∴ BC ＝（2 a ＋3） cm， CD ＝ AB ＋ BC ＝ a ＋（2 a ＋3）＝（3 a ＋3） cm. 又∵四边形木框 ABCD 的周长是48 cm， ∴ AD ＝48－ a －（2 a ＋3）－（3 a ＋3）＝48－ a －2 a － 3－3 a －3＝（42－6 a ） cm. （2）小玲说：当 a ＝3时，这四条线段一定不能组成四边形.你认为小玲的 说法正确吗？为什么？ 解：（2）小玲的说法正确.理由如下： 当 a ＝3时，四条边的边长分别为 AB ＝3 cm， BC ＝9 cm， CD ＝12 cm， AD ＝24 cm. ∵3＋9＋12＝24. ∴这四条线段不能组成四边形，即小玲的说法正确. （3）当 a ＝4时，这个四边形木框能调整为三角形吗？若能，请你指出该三 角形的类型，画出这个三角形并标注各边的长度. 解：（3）能.当 a ＝4时，四条边的边长分别为 AB ＝4 cm， BC ＝11 cm， CD ＝15 cm， AD ＝18 cm. ∵4＋11＝15，且15＋15＞18， ∴这个四边形木框 ABCD 能调整为三角形，且三角形为等腰三 角形，画出的图形如图所示. 　　【变式训练2】如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝40°， BE ⊥ AC 于点 E ， AD 与 BE 交于点 F . （1）求∠ ABE 的度数. 解：（1）∵∠ ABC ＋∠ BAC ＋∠ ACB ＝180°， ∴∠ BAC ＝180°－∠ ABC －∠ ACB ＝180°－60°－ 40°＝80°. ∵ AC ⊥ BE ，∴∠ AEB ＝90°， ∴∠ ABE ＝90°－∠ BAC ＝90°－80°＝10°. （2）若 AD 平分∠ BAC ， DG 平分∠ ADC ，试说明 DG ∥ BE . 解：（2）∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ BAC ＝ ×80°＝40°. ∴∠ ADC ＝∠ ABC ＋∠ BAD ＝60°＋40°＝100°. ∵ DG 平分∠ ADC ， ∴∠ CDG ＝ ∠ ADC ＝ ×100°＝50°. ∵∠ CBE ＝∠ ABC －∠ ABE ＝60°－10°＝50°， ∴∠ CBE ＝∠ CDG . ∴ DG ∥ BE . 3. 分类讨论思想 　　在某些数学问题中，问题的结论不是唯一确定的，或问题的结论不能以统一 的形式进行研究，这时需要根据题目的特点和要求，把所研究的问题分为若干 类，这种按不同情况分类然后再逐一解决的数学思想，叫做分类讨论思想. 本章在求三角形的周长或根据动点的运动情况进行角的计算或计算图形面积 时，由于动点在不同位置时所得的结论也不同，所以应根据题目特点进行分类讨 论，否则会出现丢解的错误. 【例3】　如图所示，已知∠ MON ＝40°， OE 平分∠ MON ，点 A ， B ， C 分别是射线 OM ， OE ， ON 上的动点（ A ， B ， C 不与点 O 重合），连接 AC 交 射线 OE 于点 D . 设∠ OAC ＝ x °.若 AB ⊥ OM ，请问是否存在这样的 x 的值，使 得△ ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值并画出相应的图形；若不存 在，说明理由. 解：存在.∵∠ MON ＝40°， OE 平分∠ MON ，∴∠ AOB ＝∠ BON ＝20°. ∵ AB ⊥ OM ，∴∠ ABO ＝180°－∠ AOB －∠ BAO ＝70°. 分两种情况： ①当点 D 在线段 OB 上且∠ BAD ＝∠ ABD 时，如图①所示.则 x ＝∠ OAB － ∠ BAD ＝∠ OAB －∠ ABO ＝90°－70°＝20°； 当点 D 在线段 OB 上且∠ BAD ＝∠ ADB 时，如图②所示.则 x ＝∠ OAB － ∠ BAD ＝90°－ （180°－70°）＝35°； 当点 D 在线段 OB 上且∠ ABD ＝∠ ADB 时，如图③所示.则 x ＝∠ OAB － ∠ BAD ＝90°－（180°－2∠ ABO ）＝90°－（180°－140°）＝50°. ②当点 D 在线段 OB 的延长线上时，∵∠ ABE ＝110°，且三角形的内角和为 180°，∴只有∠ BAD ＝∠ ADB ，如图④所示.则 x ＝∠ OAB ＋∠ BAD ＝90° ＋ ∠ ABO ＝125°. 综上可知，存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角， x ＝20或35， 50，125. 【变式训练3】从△ ABC 顶点 A 作高线 AD 和角平分线 AE ，若 AD 与 AE 的夹 角为15°，且∠ B ＝50°，则∠ C 的度数为 ⁠. 20°或80°　 1. （2024·廊坊安次区模拟）用三角板作△ ABC 的边 BC 上的高，下列三角板的 摆放位置正确的是（　A　） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. （唐山路北区模拟）如图所示， AB ∥ CD ， DB ⊥ BC ，∠2＝50°，则∠1的 度数是（　A　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 140° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （秦皇岛抚宁区期末）如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线 BE ， CD 相交于点 F . 若∠ BFC ＝116°，则∠ A ＝（　B　） A. 51° B. 52° C. 53° D. 58° 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （唐山乐亭期末）如图所示，在△ AEC 中，点 D 和点 F 分别是 AC 和 AE 上的 两点，连接 DF 并延长，交 CE 的延长线于点 B ，若∠ A ＝25°，∠ B ＝45°， ∠ C ＝36°，则∠ DFE ＝（　D　） A. 103° B. 104° C. 105° D. 106° 第4题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. （河北二模）如图所示，将直角三角形 ABC 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕 为 DE ，若∠ C ＝90°，∠ A ＝35°，则∠ DBC 的度数为（　C　） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 第5题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. （石家庄一模）如图所示，以正五边形 ABCDE 的对角线 BE 为边，作正方形 BEFG ，使点 A 落在正方形 BEFG 内，则∠ ABG 的度数为（　C　） A. 18° B. 36° C. 54° D. 72° 第6题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （保定期中）如图所示，在五边形 ABCDE 中，∠ A ＝∠ C ＝80°，∠ B ＝ 140°，∠ DEF 为五边形 ABCDE 的一个外角，且∠ DEF ＝60°，则∠ D ＝ ⁠. 第7题图 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. （2024·石家庄藁城区模拟）已知：如图所示，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分 别为 BC ， AD ， CE 的中点，且 ＝4 cm2，则阴影部分的面积为 ⁠ cm2. 第8题图 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2024·邢台沙河期末）如图所示，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 平分 ∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.求： （1）∠ BAE 的度数. 解：（1）∵∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC ＝180°， ∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝180°－70°－30°＝ 80°. ∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）∠ DAE 的度数. 解：（2）∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADE ＝90°，而∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ，∴∠ BAD ＝90°－∠ B ＝90°－70°＝20°， ∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（3）能.∵∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC ＝180°，∴∠ BAC ＝ 180°－∠ B －∠ C . ∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ （180°－∠ B －∠ C ）＝90°－ （∠ B ＋ ∠ C ）. ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADE ＝90°，而∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ， ∴∠ BAD ＝90°－∠ B ， ∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝90°－ （∠ B ＋∠ C ）－（90°－∠ B ）＝ （∠ B －∠ C ）. ∵∠ B －∠ C ＝40°，∴∠ DAE ＝ ×40°＝20°. （3）探究：小明认为如果条件∠ B ＝70°，∠ C ＝30°改成∠ B －∠ C ＝ 40°，也能得出∠ DAE 的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说 明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （石家庄赞皇期末）已知如图①所示，线段 AB ， CD 相交于 O 点，连接 AD ， CB ，我们把图①的图形称之为“8字形”.那么在这一个简单的图形中，到 底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1）在图①中，请写出∠ A ，∠ B ，∠ C ，∠ D 之间的数量关系，并说明理由. 解：（1）∠ A ＋∠ D ＝∠ B ＋∠ C . 理由如下： 在△ AOD 中，∠ AOD ＝180°－∠ A －∠ D . 在△ BOC 中，∠ BOC ＝180°－∠ B －∠ C . ∵∠ AOD ＝∠ BOC ， ∴180°－∠ A －∠ D ＝180°－∠ B －∠ C ， ∴∠ A ＋∠ D ＝∠ B ＋∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）如图②所示，计算∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（2）如图所示，连接 AD ，则∠ BAD ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ ADC ＝360°. 根据“8字形”数量关系，∠ E ＋∠ F ＝∠ EDA ＋∠ FAD ，∴∠ FAB ＋∠ B ＋ ∠ C ＋∠ CDE ＋∠ E ＋∠ F ＝360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2023·河北中考）平面内，将长分别为1，5，1，1， d 的线段顺次首尾相接 组成凸五边形（如图所示），则 d 可能是（　C　） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （2023·河北中考）如图所示，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ ABC 与四边形 BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（　A　） A. α－β＝0 B. α－β＜0 C. α－β＞0 D. 无法比较α与β的大小 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$