专题01 绝对值中的六类最值模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·重庆·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ． (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为 ；如果，那么x为 ． (3)若点A表示的整数为x，则当x为 时，与的值相等． (4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 【答案】(1)画图见解析，，，(2)，2或(3)(4)，7 【分析】（1）先在数轴上画出B、C，然后根据数轴上两点距离公式求出即可； （2）根据数轴上两点距离公式可得，再由得到绝对值方程，解方程即可； （3）根据题意得到，解绝对值方程即可得到答案； （4）分，和三种情况去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， B点表示的数，C点表示的数1，的距离是；故答案为：，，； （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为：， ∵，∴，∴或，∴或，故答案为：，2或； （3）解：由题意得，∴或，∴， 故答案为：； （4）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，有最小值7，故答案为：，7． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，用数轴表示有理数，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴与绝对值的相关知识是解题的关键． 变式1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，，； 当时，，，； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B． 【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 变式2．（2023·山东·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________； (3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值． 【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2．  ②4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值；（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是； ②法1：利用绝对值的几何意义，可得的最小值；法2：对x进行讨论，可得的最小值． 【详解】（1）表示和2的两点之间的距离是， 表示和3的两点之间的距离是；故答案为：5，5； （2）由题意可得，，∴或，∴或；故答案为：3，． （3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）， 就有，因此这样的整数是； ②法1:∵代数式表示数轴上一点到1、﹣3两点的距离的和， ∴根据两点之间线段最短可以得到当-3≤x≤1时，代数式的值最小，最小值为4． 法2：对x进行讨论： 当时，，恒成立； 当时，； 当时，； 综上，的最小值为4． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键． 变式3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 【答案】或/8或 【分析】根据数轴上两点之间的距离的计算方法，分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】解：∵代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”， ∴的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”与“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”之和为，如图所示， ∴当所对应的点在点左边时，，解得，； 当所对应的点在点右边时，，解得，； ∴的值为或，故答案为：或． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，掌握以上计算方法，图形结合分析是解题的关键． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5(4)4，15(5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答；（2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．故答案为： （2）解：；或；或；故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在1与之间时，的最小值为5．故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为．故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值；故答案为：5，． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 变式1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析；(2)；(3)当，的值总是一个固定值，为；(4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则，这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，，故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【分析】（1）根据题意即可列式解答； （2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案； （3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可． 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 【答案】(1)3，3，4(2)，1或(3)1(4)625 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接得出即可；（2）根据两点间的距离公式直接得出即可； （3）根据两点间线段最短，即可得到答案；（4）x在25～26之间和最小． 【详解】（1）解：根据两点间的距离公式得：； 故答案为：； （2）根据两点间的距离公式得：=， 当时，，解得； 当时，，解得，故答案为：，或1； （3）根据两点之间线段最短可知，x在1～2之间，即；故答案为：1； （4）由（3）可知x在25～26之间， ，故答案为：625． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是数轴上两点间的距离，两点之间线段最短这两个知识点的运用． 变式1．（2023·成都·七年级专题练习）阅读下面材料： 点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ． （3）当取最小值时，符合条件的整数有 ． （4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【答案】（1）；（2）；或；（3），，，；（4）； 【分析】（1）根据两点间的距离，可得答案； （2）根据两点间的距离及绝对值的性质，可得答案； （3）根据数轴上的几何意义，可得当−1≤x≤2时，它的最小值为3，从而得出符合条件的整数； （4）根据数轴上的几何意义，可得当x=2时，y有最小值． 【详解】解：（1）|1−（−3）|＝4；|（−2）-（-5）|＝3；故答案为：4；3； （2）|x−（−1）|＝|x＋1|或|（−1）−x|＝|x＋1|； 若，得x＋1＝2或x＋1＝−2，解得x＝1或x＝−3；故答案为：|x＋1|；或； （3）当x＜−1时，＝−x-1+2-x＝−2x+1， 当−1≤x≤2时，＝x＋1+2-x＝3， 当x＞2时，＝x+1＋x-2＝2x-1， 在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2的距离之和，所以当−1≤x≤2时，它的最小值为3．故当取最小值时，符合条件的整数有，，，； 故答案为：，，，； （4）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到−1及到2和到3的距离之和，所以当x=2时，y有最小值为4．故答案为： ； 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． 变式2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 表示点x到 ，，，四点间距离的和， ∴当x在和之间是距离和最小，最小值为 ，∴ ,故答案为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义： 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题关键． 变式3．（2023·广西·七年级阶段练习）同学们都知道，表示2与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1)　　；如果，则　　．(2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索已知，则求的最大值与最小值； (4)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或(2)(3)最大值是，最小值是(4)1018081 【分析】（1）根据绝对值的意义直接计算即可；（2）把理解为：在数轴上表示到和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；（3）先确定、的取值范围，再分类讨论．（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值． 【详解】（1）解：， ，或 或 故答案为：3，3或； （2）解：理解为：在数轴上表示到4与2的距离之和， 当在2与4之间的线段上（即时，的值有最小值， 最小值为，此时的取值范围为：． （3）解：因为，时，或，，时，或6． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，时，取最小值， 此时 当，时，取最大值， 此时 所以的最大值是，最小值是． （4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到2018的距离时，式子取得最小值．当时，式子取得最小值， 此时， ． 【点睛】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 【答案】(1)；或(2)(3)或(4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在；根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；根据题意对去绝对值即可求解；根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ，或，或．故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间，，故答案为：． （3），数的点位于的左边或的右边，或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近；综上可得，式子的最小值为．故答案为：． 变式1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查绝对值的化简计算，解题关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 变式2．（2023·江苏·七年级专题练习）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 【答案】8.5． 【分析】法1：先根据-1≤x≤3，确定|x﹣3|+|x+2|为定值5，再求得|x|的最小值与最大值即可。 法2：先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可． 【详解】法1：∵-1≤x≤3，根据绝对值的几何意义得到|x﹣3|+|x+2|为定值5， ∵-1≤x≤3，根据绝对值的几何意义得到|x|的最小值为0，最大值为。 即|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最小值为3.5，最大值为5。 法2：∵﹣1≤x≤3， 当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5； 当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5， ∴最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5． 【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 【答案】 2022 2021 【分析】要求的最大值，则需要求出的最小值，根据绝对值的非负性即可进行解答． 【详解】解：要求的最大值，则需要求出的最小值， ∵，∴=0，解得x=2021， ∴最大值为2022．故答案为：2022，2021． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握“正实数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3(2)；最小(3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或，解得：或1；故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3．故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·河南周口·期中）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）：①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案；（2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小；（3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离；故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小．故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7．故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 变式2．（2023·山西朔州·七年级校考阶段练习）问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究：如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决：同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)3；(2)3，2，7； (3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【分析】（1）根据数轴的意义即可得解；（2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可；（3）根据两点间的距离即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和，∴的最小值为，故答案为：； （2）解：根据题意，设点表示的数为，当时，点到，，三点的距离和是：； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； ∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内， 当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2， 当时，点出发时间是：（秒）； 故答案为：3，2，7； （3）解：， 当点在或之间时，最小，为800米， 当点在或之间时，最小，为600米， 当点在或之间时，最小，为400米， 当点在或之间时，最小，为200米， 当点在位置时，最小，为0米，∴最小距离和为：（米）， ∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 1．（2023·湖北武汉·七年级阶段练习）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___． 【答案】7 【分析】|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数﹣4的距离之和，因此当x在3与﹣4之间时，这个距离之和最小，最小值为3与﹣4之间的距离7． 【详解】解：|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3的点与表示数﹣4的点的距离之和， 因此当﹣4≤x≤3时，这两个距离之和就是表示数3的点与表示数﹣4的点之间的距离，为7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7，当x＜﹣4或x＞3时，这两个距离之和都会大于表示数3的点与表示数﹣4的点的距离，即：|x﹣3|+|x+4|＞7，∴当﹣4≤x≤3时，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7．故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提． 2．（2023•武侯区校级七年级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为　 　，此时x的取值为　 　． 解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小， 故当1007≤x≤1008时，距离和最小，可取x＝1007，则此时距离和为： 1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007 ＝1014049，即原式的最小值为1014049； 当x＝1008时，最小值也为1014049，故1007≤x≤1008． 3．（2023·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6 【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可． 【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和， 当点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是5； （2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围， 当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意； 当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4， 则范围为或； （3）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 4．（2023•江苏七年级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． 问题（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为　 　（用含绝对值的式子表示）． 问题（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是　 　． ②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是　 　；当x的值取在　 　的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是　 　． 问题（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值． 问题（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，求a的最大值． 问题（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的最小值． 问题（6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值． 解：（1）∵A，B之间的距离表示为|a﹣b|， ∴点A到点B的距离与点A到点C的距离之和为|x+2|+|x﹣1|，故答案为：|x+2|+|x﹣1|； （2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x在表示﹣1的点左边1个单位或在表示3的点右边1个单位， ∴x＝﹣2或x＝4， ②到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， ∴|x﹣3|+|x+1|＝p，则p＝3﹣（﹣1）＝4， |x|+|x﹣2|取最小值时0≤x≤2，最小值时2﹣0＝2； 故答案为：①﹣2或4，②4，0≤x≤2，2； （3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， ∴|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|在x＝2时取最小值，最小值为3﹣（﹣1）＝4； （4）当0≤x≤2时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|有最小值6， ∴|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，a≤6，∴a最大值是6； （5）数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点， ∴x＝1010时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|取最小值，最小值为1009+1008+1007+…+2+1+0+1+2+…+1008+1009＝1019090， （6）①x≥4时，3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（x﹣1）+x﹣4＝4x﹣7， ∴x＝4时，3|x﹣1|+|x﹣4|最小值是9， ②1≤x＜4时，3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（x﹣1）+（4﹣x）＝2x+1， ∴x＝1时，3|x﹣1|+|x﹣4|最小值是3， ③x＜1时，3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（1﹣x）+（4﹣x）＝7﹣4x， ∴3|x﹣1|+|x﹣4|＞3， 综上所述，x＝1时，3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值是3． 5．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 【答案】(1)(2)a的最大值为7 【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案； （2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：当时，； 当时， 当时，； 当时，； ∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）小张、小潘、小王和小昊住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小昊后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 【答案】(1)，；(2)，数轴见解析； (3)车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500；(4)8． 【分析】（1）看数轴即可得点C和点D表示的数；（2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意可得他们三人走的路程之和为：，分，，，四种情况化简式子即可得结果； （4）由（3）可得，当时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 点C表示的数是：，点D表示的数是：， 故答案为：，； （2）（2）由题意可得， 小张家的位置在数轴上表示的数是：， 在数轴上表示如下图所示， ； （3）（3）设车停的位置在数轴上对应的数为x， 则他们三人走的路程之和为：， 当时，， 当时，，则， 当时，，则 ， 当时，， 由上可得，当车停的位置在数轴上对应的数为0时，他们三人走的路程之和最小， 答：车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； （4）（4）由（3）可得，当时，取得最小值， 此时，故答案为：8． 【点睛】本题考查数轴与绝对值的综合题，懂得用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． 7．（2023·浙江·七年级专题练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程) （1）若，则x =________；若，则x =___________ （2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________ （3）当取最小值时，则x的值为____________ （4）当取最大值时，则x的取值范围是____________ 【答案】（1）0，；（2），2；（3）；（3）． 【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据最小值为3，可以得到答案；（4）根据，当取最大值时，表示的点在点的左边或在点上，据此求解即可． 【详解】解：如图示： （1）表示数轴上表示的点到表示1和的距离相等，因此到1和距离相等的点表示的数为，表示数轴上表示的点到表示2和的距离相等，因此到2和距离相等的点表示的数为，故答案为：0，； （2）表示的意义是数轴上表示的点到表示2和两点的距离之和为3，可得， 因此 的最大值为2，最小值为；故答案为：，2； （3）表示的意义是数轴上表示的点到表示2，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，并，故答案为：； （4）式子表示的意义是数轴上表示的点到表示2和两点的距离之差，由数轴直观可得，，当取最大值时，表示的点在点的左边或在点上， 因此，故答案为：． 【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 8．（2023·江苏无锡·七年级期中）已知数轴上点A、B分别表示的数是、,记A、B两点间的距离为AB （1） 若a=6,b=4,则AB= ；若a=-6,b=4,则AB= ； （2） 若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？ （3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和. （4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为 ，|x-1|-|x+2|取得最大值为 . 【答案】(1)2;10;(2)d=|a-b|;(3)±1, ±2,±3, ±4, ±5，0;和为0; (4)3,3. 【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解； （2）根据计算结果列出算式即可； （3）求出-5到5的距离正好等于10,可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可； （4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，则|x-1|+|x+2|表示两个距离的和，|x-1|-|x+2|表示两个距离的差，根据此意义即可求得． 【详解】解：（1）若a=6,b=4,则AB=6-4=2； 若a=-6,b=4,则AB=4-（-6）=10； （2）d和a、b之间的数量关系：d=|a-b|； （3）∵5-（-5）=5+5=10，∴点P在5和-5之间 ∴符合条件的整数点P表示的数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5， ∴这些整数的和=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=0； （4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离， ∵1到-2的距离是1-（-2）=3， ∴当点C在-1到2（含-1和2）之间时，|x-1|+|x+2|取得的值最小，最小值是3； 当点C在2的左边（含2）时，|x-1|-|x+2|取得的值最大，最大值是3. 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 9．（2023·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______． 【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840 【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解：，故答案为：8； （2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴，∴，解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1，故答案为：1； ②由题意可知：，的最小值； ，的最小值； ，的最小值； ，的最小值； ，的最小值； ∴的最小值：．故答案为：840． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 10．（23-24七年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)①3； ②或3 (2)①7；②不存在，理由见解析 (3)当的值等于时，取得最小值，最小值是 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解；②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解； （2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②根据两点之间距离的计算方法即可判定； （3）根据材料提示，运用两点之间距离的计算方法，绝对值的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ①和两点之间的距离为， ②∵，或，解得或，故答案为：①3；②或3． （2）解：①∵，∴，， ∴，故答案为：． ②不存在x的值，使得等式成立． 理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，最小值为5，∴不成立． ∴不存在x的值，使得等式成立． （3）解：根据题意可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当x的值等于时，取得最小值，最小值是11． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)， 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；（5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴得 数轴上表示和的两点之间的距离是：； 表示和两点之间的距离是：；故答案：；． （2）解：由得，，所以表示与距离为， 因为与距离为的是或，所以或．故答案：或． （3）解：由，得，，， 所以表示与的距离为，与的距离为，，所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 当，时，则A、B两点间的最小距离是，故答案：，． （4）解：所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数a的点位于与之间，所以，故答案：． （5）解：，所以表示与、、的距离之和， ①如图，当表示的点在的右侧时，即，    由数轴得：，所以，所以； ②如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为，所以，所以； ③如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为，所以，所以； ④当表示的点在或或的点上时，即或或， 如图，当时，    ； 如图，当时，    ； 如图，当时，    ； 因为，所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为； 综上所述：当，的最小值为．故答案： ，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 12．（2023·成都市七年级期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究(1)若，则　 　．(2)若，则　 　．(3)若，则　 　． 问题解决(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 【答案】(1)或 (2)(3)或 (4)5或4 【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可； （2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可； （3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可： （4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，∴或， 解得：或．故答案为：或． （2）解：分三种情况讨论： ①时，化简为：，此方程无解； ②时，化简为：，解得； ③时，化简为：，此方程无解．故答案为：． （3）解：分三种情况讨论： ①时，，化简得：，解得； ②时，，化简得：，此方程无解； ③时，，化简得：，解得． 故答案为：或． （4）分三种情况讨论： ①时，，化简，解得； ②时，，化简，此方程无解； ③时，，化简，解得．∴m为3或， ∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴或． 故答案为：5或4． 【点睛】本题考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论． 13．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7． 【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得； （2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得； （3）由（2）的方法去绝对值，即可得． 【详解】（1）解：，故答案为：7； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、、、0、1、2； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）解：有最小值，最小值是7， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 14．（2023·山东·七年级专题练习）阅读下面材料，回答问题： 已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． (1)若表示数和的两点之间的距离是5，那么______； (2)若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______； (3)若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围； (4)若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值． 【答案】(1)2或(2)9(3)或(4)最大值为6，最小值为 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可； （2）根据题意得出，再化简绝对值即可； （3）根据题意，分三种情况进行讨论求解即可； （4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解． 【详解】（1）由题意，，∴或 ，解得：，故答案为：2或； （2）∵数轴上表示数的点位于与8之间， ∴，∴，故答案为：9； （3）由题意，分三种情况：当 时， ， 当时， ， 当时，， ∴有理数x的取值范围是x＞2或x＜-6；综上，有理数的取值范围为或； （4）根据题意，对于代数式，数轴上，当x在和4之间时，表示x的点到与4的距离和最小，最小值为，同理，对于，数轴上，当y在和2之间时，x到和2的距离和最小，最小值为，又，∴， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键． 15．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54 【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度， ∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5； （2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和， ∵，∴，故答案为：7； （3）∵，， ∴，故答案为：4 （4）∵， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小， 只能取，当时，有最小值， 此时原式＝＝54，故答案为：54． 【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15． 【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得； （二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可； （4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可． 【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11． （二）（1）解：，，或，故答案为8或． （2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，是整数，共6个；故答案为：6． （3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和， 当时，有最小值， 最小值为：=2025；故答案为：2025． （4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和， 当时，取最小值， 即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031． （5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和， 当时有最小值， 即最小值==15，故答案为：15． 【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·重庆·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ． (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为 ；如果，那么x为 ． (3)若点A表示的整数为x，则当x为 时，与的值相等． (4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 变式1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 变式2．（2023·山东·七年级统考期中）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________； (3)①找出所有使得的整数x；②求的最小值． 变式3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　．(3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 变式1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 变式1．（2023·成都·七年级专题练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示数、．、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ． （3）当取最小值时，符合条件的整数有 ． （4）令，问，当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 变式2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是______． 变式3．（2023·广西·七年级阶段练习）同学们都知道，表示2与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1)　　；如果，则　　．(2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索已知，则求的最大值与最小值； (4)由以上探索及猜想，计算的最小值． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 变式1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·江苏·七年级专题练习）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 变式1．（23-24七年级上·河南周口·期中）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）：①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 变式2．（2023·山西朔州·七年级校考阶段练习）问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究：如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决：同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 1．（2023·湖北武汉·七年级阶段练习）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___． 2．（2023•武侯区校级七年级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为　 　，此时x的取值为　 　． 3．（2023·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 4．（2023•江苏七年级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． 问题（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为　 　（用含绝对值的式子表示）． 问题（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是　 　． ②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是　 　；当x的值取在　 　的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是　 　． 问题（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值． 问题（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，求a的最大值． 问题（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2019|的最小值． 问题（6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值． 5．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）小张、小潘、小王和小昊住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小昊后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 7．（2023·浙江·七年级专题练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程) （1）若，则x =________；若，则x =___________ （2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________ （3）当取最小值时，则x的值为____________ （4）当取最大值时，则x的取值范围是____________ 8．（2023·江苏无锡·七年级期中）已知数轴上点A、B分别表示的数是、,记A、B两点间的距离为AB （1） 若a=6,b=4,则AB= ；若a=-6,b=4,则AB= ； （2） 若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？ （3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和. （4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为 ，|x-1|-|x+2|取得最大值为 . 9．（2023·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______． 10．（23-24七年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 12．（2023·成都市七年级期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究(1)若，则　 　．(2)若，则　 　．(3)若，则　 　． 问题解决(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 13．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 14．（2023·山东·七年级专题练习）阅读下面材料，回答问题： 已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． (1)若表示数和的两点之间的距离是5，那么______； (2)若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______； (3)若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围； (4)若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值． 15．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$