专题01 绝对值中的六类最值模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果，求x的值；(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 变式1．（2023·广东七年级期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 变式2．（2023·湖南邵阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时： （1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则 （2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则 （3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则 回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________． (2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________． (3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离__________．如果，则x的值为___________． (4)若代数式有最小值，则最小值为_______________． 变式3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（2023·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______． 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________． (3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________． (4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值． 变式1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值；②求代数式的最小值． 变式2．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____． ②的最小值是 _____．③的最小值是 _____． 变式3．（2023·山东·七年级专题练习）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　； 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　． ③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（2023·江苏·七年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 变式2．（2023·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)化简代数式．(2)求的最大值． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 变式1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题：①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 1．（2023·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（       ） A．10 B．11 C．17 D．21 2．（2023·广东·七年级专题练习）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是__，最小值是__． 3．（2023•雁塔区校级期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是　　，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是　　． 4．（2023·成都市七年级期末）的最小值为__________． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与_________之间的距离； (3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可） (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________． 6．（2023·浙江·七年级专题练习）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==． （1）可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程； （3）式子的最小值为 ； （4）式子的最大值为 ． 7．（2023·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b (1)对照数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 4 A、B两点的距离 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2)若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为　　． (3)若点C表示的数为x，|取得的最小值是　　　． (4)应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车 辆，8辆，4辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 9．（2023秋·北京·七年级校考期中）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，； 当A、B两点都不在原点时： ①如图乙，点A、B都在原点的右边，； 如图丙，点A、B都在原点的左边，； 如图丁，点A、B在原点的两边，． 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； 数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______； 当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______． 当代数式取最小值时，相应的x的值是______． 当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______． 10．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 11．（2023·四川·成都七中万达学校七年级阶段练习）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　； 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　． ③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值． 12．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 13．（2023·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题． 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． (1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？ (2)有n台机床时，P应设在何处？ (3)根据（2）的结论，求 的最小值． 14．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 15．（2023浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】(4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果，求x的值；(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)3，3(2)①；②或(3)5， 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：．（2）①根据点、在数轴上分别表示实数和，可得表示、两点之间的距离是．②如果，则，据此求出的值是多少即可．（3）根据题意，可得代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，所以当时，代数式的最小值是表示4的点与表示的点之间的距离，即代数式的最小值是5． 【详解】（1）解：根据分析，可得 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是：． （2）①．②如果，则，或，解得或． （3）代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 变式1．（2023·广东七年级期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案. 【解析】方法1：几何法（根据绝对值的几何意义） 可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和， 通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。故选：D. 方法2：代数法（借助零点分类讨论） 当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x； 当时，=（x+2）+（5-x）=7； 当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3； ∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D. 【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题. 变式2．（2023·湖南邵阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时： （1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则 （2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则 （3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则 回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________． (2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________． (3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离__________．如果，则x的值为___________． (4)若代数式有最小值，则最小值为_______________． 【答案】(1)(2)8(3)，(4)7 【分析】（1）根据数轴上A，B两点的位置即可得出答案；（2）按照数轴上的位置进行计算即可； （3）根据数轴进行计算，列方程解绝对值方程即可；（4）根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：综上所述，数轴上两点A和B之间的距离；故答案为：； （2）解：数轴上表示3和的两点A和B之间的距离；故答案为：8； （3）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离 如果，∴，∴或， 解得或，则的值为-2或-8；故答案为；-2或-8； （4）解若代数式有最小值，的值即为-5与2两点间的距离，此时最小，最小值为|2−（−5）|＝7，则最小值为7．故答案为7． 【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，绝对值方程，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 变式3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 【答案】2或 【分析】根据数轴上两点之间的距离的计算方法，分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】解：∵代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”， ∴的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”与“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”之和为，如图所示， ∴当所对应的点在点左边时，，解得，； 当所对应的点在点右边时，，解得，；∴的值为2或，故答案为：2或． 【点睛】本题考查数轴上两点之间距离的计算方法，掌握以上计算方法，图形结合分析是解题的关键． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（2023·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 【答案】-25 【分析】法1：可看作是数轴上表示x的点到-3、2两点的距离之差，据此即可解答．法2：分三种情况：当x≥2时；当-3＜x＜2时；当x≤-3时；进行讨论可求代数式|x-2|-|x+3|的值，即可求出a与b的值． 【详解】法1：解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到-3、2两点的距离之差， ∴当时，有最大值；当时，有最小值； ∵代数式的最大值为a，最小值为b， ∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25． 法2：解：当x≥2时，|x-2|-|x+3|=x-2-x-3=-5； 当-3＜x＜2时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）-（x+3）=-2x-1； 当x≤-3时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）+（x+3）=5． ∵代数式的最大值为a，最小值为b， ∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25． 【点睛】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用． 变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______． 【答案】2 【详解】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7， 则代数式的最大值为7-5=2． 点睛：|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6）. 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【分析】（1）根据题意即可列式解答； （2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案； （3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可． 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________． (3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________． (4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值． 【答案】(1)3(2)(3)3或(4) 【分析】本题考查了绝对值的性质，关键掌握数轴上两点间距离的表示方法、理解绝对值的几何意义和绝对值非负的性质．（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得出结论； （2）根据数轴上两点的距离等于这两个数的差的绝对值列式即可得出结论； （3）根据绝对值的性质化简即可得出结论； （4）结合数轴，根据绝对值几何意义可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：3； （2）解：数轴上表示x与的两点之间的距离是，故答案为：； （3）解：， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，；故答案为：3或； （4）解：表示x到点的点距离之和， 当时，的值最小是： ． 变式1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值；②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可；（3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离，故答案为：5，x，4； （2），，或，解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ，∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 变式2．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____． ②的最小值是 _____．③的最小值是 _____． 【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 2 4 【分析】①根据数轴上两点的距离公式求解即可； ②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值； ③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值． 【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离； 故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离； ②分类讨论： 1）当时，，∴当时，有最小值3； 2）当时，，∴当x=2时，有最小值2； 3）当时，，此时最小值大于2； 4）当时，，此时最小值大于3； 综上可知，当时，且最小值为2；故答案为：2； ③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．于是可分以下五个情况讨论： 1）当时，； 2）当时； 3）当时，； 4）当时，； 5）当时，； 综上所述，当时，有最小值4，故答案为：4． 【点睛】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简．掌握数轴上两点之间的距离的求法和绝对值的几何意义是解题的关键． 变式3．（2023·山东·七年级专题练习）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　； 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　． ③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值． 【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90 【分析】①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和-5的两点之间的距离，同理也求数轴上表示x和-1的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x； ②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值时，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上，x取0，因此T最大为1，当|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x<-1，-1≤x≤ 2，x> 2三类情况列式进行讨论；③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入计算即可得出结果． 【详解】解：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝7， 数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是|x+1|， 如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2，T＝|x2﹣3|﹣2， 当T要取最大值时，|x2﹣3|取最大值， ，，|x2﹣3|最大值为3，因此T的最大值是1． 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论， 当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3． 当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 当x＞2时，原式＝x+1﹣x+2＝3． ∴当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为x2． 当|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论， 当x＜﹣1时，方程可化为﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2． 当﹣1≤x≤2时，方程可化为x+1+2﹣x＝3． 当x＞2时，方程可化为x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．综上x的值为﹣2或3． ③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，可知x＝10时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，最小值为9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9， ＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90． 故答案为：①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值等，比较综合，涉及的核心知识点为：数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（2023·江苏·七年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时 【分析】（1）对于直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧的取值即可得到答案；（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；（3）分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴或； 设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， ∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和， 如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，； 当P在A点左侧时； 同理当P在B点右侧时； ∴的最小值为5，故答案为：5或-1；5； （2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， 由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时 ∵，∴当P在A点左侧时即，∴； 同理当P在B点右侧时即，∴； ∴当时，或4； 当时，∵，∴，解得符合题意； 当时，∵，∴，解得符合题意； 当时∵，∴，解得不符合题意； 当时∵，∴，解得不符合题意； ∴综上所述，当，或；故答案为：或4；或； （3）当时，∴， 当时，∴， 当时∴， 当时∴， ∴此时 ∴综上所述，的最小值为17，此时． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的几何意义． 变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为 【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6； （2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点， ∴折痕点对应的数是2，∴点A与数字9重合，故答案为：9； （3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和， ∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3； ②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7， ∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4； ③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和， ∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， ∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4； ④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|， 表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和， ∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， ∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键． 变式2．（2023·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)化简代数式．(2)求的最大值． 【答案】(1)(2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可；（2）法1：先将原式转化为|x﹣1|﹣|x+1|﹣3|x+1|，当|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时3|x+1|取最小值时，取最大值。法2：分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）法1：∵|x﹣1|﹣4|x+1|=|x﹣1|﹣|x+1|﹣3|x+1|， ∴若要取最大值，即|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时3|x+1|取最小值。 根据绝对值的几何意义得到|x﹣1|﹣|x+1|最大值为2，且此时x≤﹣1。 而当x≤﹣1时，3|x+1|取最小值为0。则的最大值为2．故答案为：2． 法2：当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 【答案】 2022 2021 【分析】要求的最大值，则需要求出的最小值，根据绝对值的非负性即可进行解答． 【详解】解：要求的最大值，则需要求出的最小值， ∵，∴=0，解得x=2021， ∴最大值为2022．故答案为：2022，2021． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握“正实数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3(2)；最小(3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或，解得：或1；故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3．故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题：①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5(2)2．C，12(3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵，∴，∴， ∴或，∴或5．故答案为：；或5． （2）①当时，则有：，∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为，当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，，∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2)(3)(4)(5)(6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．（1）由两点间距离直接求解即可；（2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得；（4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可；（6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：，； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值，原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小，故答案为：； （6）解：， 当时，，， 数a，b满足，求的最小值为． 1．（2023·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（       ） A．10 B．11 C．17 D．21 【答案】C 【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意义，得出当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可． 【详解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和， 由数轴表示数的意义可知， 当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小， 最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键． 2．（2023·广东·七年级专题练习）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是__，最小值是__． 【答案】     ﹣1≤x≤2##2≥x≥﹣1     3 【分析】|x＋1|＋|x−2|的最小值，意思是x到−1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在−1和2之间的线段上，据此求解． 【详解】解：|x＋1|＋|x−2|的最小值，意思是x到−1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在−1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2，最小值是3．故答案为：﹣1≤x≤2，3． 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离等于两个数之差的绝对值是解题关键． 3．（2023•雁塔区校级期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是　　，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是　　． 解：（1）当a＞3时，|a﹣3|+|a+4|＝a﹣3+a+4＝2a+1＞7， 当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|＝3﹣a+a+4＝7， 当a＜﹣4时，|a﹣3|+|a+4|＝﹣a+3﹣a﹣4＝﹣2a﹣1＞7， 由上可得，当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|有最小值，最小值是7． （2）当a＞1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2﹣a+1＝3， 当﹣2≤a≤1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2+a﹣1＝2a+1≤3， 当a＜﹣2时，|a+2|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣2+a﹣1＝﹣3， 由上可得，当a≥1时，|a+2|﹣|a﹣1|有最大值，最大值是3． 4．（2023·成都市七年级期末）的最小值为__________． 【答案】4 【分析】由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，然后利用数轴进行讨论求解即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小， 如图当x在1的左边时，此时四个距离的和大于1+2+3=6， 同理当x在4的右边时，会得到相同的结论； 如图当x在1和2之间时，此时四个距离的和大于1+1+2=4， 同理当x在3和4之间时，会得到相同的结论； 如图当x在2和3之间时，此时四个距离的和等于1+3=4， ∴综上所述，的值最小为4，故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与_________之间的距离； (3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可） (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________． 【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；（4）根据数轴及绝对值，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5． （2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，． （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5， ∴当x在与2之间的线段上（即）， ∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）． （4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和， ∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值等知识点，掌握整式加减、去绝对值符号以及数轴的特点是解答本题的关键． 6．（2023·浙江·七年级专题练习）我们知道的几何意义是表示在数轴上数对应的点与原点的距离；即， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、对应点之间的距离．如图，数轴上数对应的点为点A，数对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB==． （1）可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；（2）请根据上述材料内容解方程； （3）式子的最小值为 ； （4）式子的最大值为 ． 【答案】（1），；（2）或0；（3）2；（4）3 【分析】（1）把|x+1|变形为|x-(-1)|可以得到解答． （2）画出到-1对应的点距离为1的点，再找出其所对应的数即可； （3）根据|x+1|+|x−1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和进行求解； (4)|x+1|−|x−2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差求解 ． 【详解】解：（1)∵|x+1| =|x-(-1)|， ∴|x+1| 可以表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离；故答案为x，-1； （2）由(1)知，|x+1| 表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离， ∴|x+1|=1 的解即为到-1对应的点距离为1的点所表示的数，所以由下图可得x=-2或x=0； （3）∵|x+1|+|x−1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和， 又当x表示的点在-1和1表示的点之间(包括-1和1）时，|x+1|+|x−1|取得最小值，最小值即为-1和1表示的点之间的距离，为2； （4）∵|x+1|−|x−2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差， ∴当x-1时，|x+1|−|x−2|= -3， 当x2时，|x+1|−|x−2|=3， 当时，-3<|x+1|−|x−2|<3，∴式子 |x+1|−|x−2| 的最大值为3． 【点睛】本题考查绝对值算式的几何意义，利用绝对值算式的几何意义把绝对值算式的计算转化为数轴上两点距离的求法是解题关键． 7．（2023·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3 【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题； （2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可； （3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7； （2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在； 当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； 当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在． 故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； （3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下： 当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3； 当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3； 当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3． 故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b (1)对照数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 4 A、B两点的距离 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2)若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为　　． (3)若点C表示的数为x，|取得的最小值是　　　． (4)应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车 辆，8辆，4辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1) ，，，，，(2)|a﹣b|(3)3(4)辆 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式两数之差的绝对值即可得到答案； （2）根据数轴上两点间距离公式两数之差的绝对值即可得到答案； （3）根据两点间距离公式可知 代表点C到 ，2距离之和，当点C在 ，2之间时最小，即可得到答案；（4）先算出总车数，在算出4个点相等的量10，分别画出调配方案选取最少的数量即可． 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式可得， ，，，，，， 故答案为： ，，，，，； （2）解：由数轴上两点间距离公式得，A和B之间的距离 ，故答案为：； （3）解：∵ ，2距离是 ， ∴C在 ，2之间时，取得的值最小，最小值是3；故答案为：3； （4））解：应用：根据题意，共有5种调配方案，如下图所示： 由上可知，调出的最小车辆数为： 辆． 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间距离及规律． 9．（2023秋·北京·七年级校考期中）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，； 当A、B两点都不在原点时： ①如图乙，点A、B都在原点的右边，； 如图丙，点A、B都在原点的左边，； 如图丁，点A、B在原点的两边，． 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； 数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______； 当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______． 当代数式取最小值时，相应的x的值是______． 当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______． 【答案】①3，3，4；②，1或3；③；④；⑤ 【分析】①根据中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解； ②根据，即可直接写出结果；③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点是或5，以及它们之间时和最小，最小距离是与5之间的距离；④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离；⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离． 【详解】解：①，，； 故答案为：3；3；4； ②数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是， 当AB=2时，则 则或故答案为：；1或3； ③表示数轴上一点到与5两点的距离的和，当这点在和5之间时和最小，最小距离是：故答案为：； ④代数式表示数轴上一点到1、与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当时和最小，最小值是5到的距离，是故答案为：； ⑤代数式表示数轴上一点到5与两点的距离的差，当点所表示的数小于等于时差最大，最大值是5与之间的距离，是7．故答案是：． 【点睛】此题考查的是数轴与绝对值的关系，掌握两点之间的距离公式是解决此题的关键． 10．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7． 【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得； （2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得； （3）由（2）的方法去绝对值，即可得． 【详解】（1）解：，故答案为：7； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、、、0、1、2； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）解：有最小值，最小值是7， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 11．（2023·四川·成都七中万达学校七年级阶段练习）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　； 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　． ③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值． 【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90 【分析】①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和-5的两点之间的距离，同理也求数轴上表示x和-1的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x； ②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值时，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上，x取0，因此T最大为1，当|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x<-1，-1≤x≤ 2，x> 2三类情况列式进行讨论； ③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入计算即可得出结果． 【详解】解：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝7， 数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是|x+1|， 如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2， T＝|x2﹣3|﹣2，当T要取最大值时，|x2﹣3|取最大值， ，，|x2﹣3|最大值为3，因此T的最大值是1． 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论， 当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3． 当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 当x＞2时，原式＝x+1﹣x+2＝3． ∴当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为x2． 当|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论， 当x＜﹣1时，方程可化为﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2． 当﹣1≤x≤2时，方程可化为x+1+2﹣x＝3． 当x＞2时，方程可化为x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．综上x的值为﹣2或3． ③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，可知x＝10时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值， 最小值为9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90． 故答案为：①7，|x+1|，﹣3或1；②﹣1，x2，﹣2或3；③90． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值等，比较综合，涉及的核心知识点为：数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值． 12．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 【答案】(1)(2)a的最大值为7 【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案； （2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：当时，； 当时， 当时，； 当时，； ∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． 13．（2023·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题． 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． (1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？ (2)有n台机床时，P应设在何处？ (3)根据（2）的结论，求 的最小值． 【答案】(1)有台机床时，P应设在第台处，有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方(2)当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，当n为奇数时，P应设在第台的位置 (3)． 【分析】（1）根据阅读材料即可求解；（2）根据（1）中所得结论，可以分两种情况寻找到规律即可求解； （3）根据连续整数的和的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，直线上有3台机床，供应站P应设在最中间一台机床处， 直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方， 有5台机床，P应设在第3台位置…，所以有 台机床时，P应设在第台处， 有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方； （2）解：当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置， 当n为奇数时，P应设在第台的位置； （3）解：∵， ∴当 时，代数式取到最小值， ∵，∴最小值是． 【点睛】本题考查了图形的变化规律、数轴、绝对值，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 14．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54 【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度， ∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5； （2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和， ∵，∴，故答案为：7； （3）∵，， ∴，故答案为：4 （4）∵， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小， 只能取，当时，有最小值， 此时原式＝＝54，故答案为：54． 【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 15．（2023浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】(4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或；(2)，，，0,1；(3)，7；(4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【分析】（1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可；（2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可；（3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，当是，x到、x到与x到1的距离之和最小，（4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）解：由题意可知， 式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为：或， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或， （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0,1故答案为：，，，0,1 （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离为7；故答案为：，7； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x， 使总运输和包装成本最低 即最小， x在1时，最小； x在1与3之间的线段上最小 所以x在1时最小，最小值为 所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15． 【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得； （二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可； （4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可． 【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11． （二）（1）解：，，或，故答案为8或． （2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，是整数，共6个；故答案为：6． （3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和， 当时，有最小值， 最小值为：=2025；故答案为：2025． （4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和， 当时，取最小值， 即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031． （5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和， 当时有最小值， 即最小值==15，故答案为：15． 【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$