北京市西城区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

北京市西城区 2023-2024 学年度第二学期期末试卷 高二数学 2024.7 本试卷共 5 页, 共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案写在答题卡上, 在试卷上作答无效。 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。 （1）在等差数列 中, ,则 (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 ( ) 设函数 的导函数为 ,则 为 (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 非奇非偶函数 （3）袋中有 5 个形状相同的乒乓球, 其中 3 个黄色 2 个白色, 现从袋中随机取出 3 个球, 则恰好有 2 个黄色乒乓球的概率是 (A) (B) (C) (D) （4）在等比数列 中,若 ,则 (A) 4 (B) 6 (C) 2 (D) (5) 投掷 2 枚均匀的骰子,记其中所得点数为 1 的骰子的个数为 ,则方差 (A) (B) (C) (D) (6) 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 (A) (B) (C) (D) （7）设函数 的导函数为 ,则 (A) (B) (C) (D) （8）设等比数列 的前 项和为 ,则 “ 是递增数列” 是 “ 是递增数列” 的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （9）如果 在区间 上是单调函数,那么实数 的取值范围为 (A) (B) (C) (D) （10）在数列 中, ,若存在常数 ,使得对于任意的正整数 等式 成立,则 (A) 符合条件的数列 有无数个 (B) 存在符合条件的递减数列 (C) 存在符合条件的等比数列 (D) 存在正整数 ,当 时, 第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。 （11）函数 的定义域为___________ （12）在奥运知识有奖问答竞赛中, 甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题, 已知甲答对这道题的概率是 ,甲、乙两人都回答错误的概率是 . 假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立. 那么乙答对这道题的概率为___________ （13）设随机变量 的分布列如下,其中 成等差数列,且 . 0 1 2 则 ; 符合条件的 的一个值为___________ (14) 设数列 的前 项和为 ,若 ,且 . 则 ; 使得 成立的 的最小值为___________ (15) 已知函数 其中 . 给出下列四个结论: ① 当 时,函数 有极大值,无极小值: ② 若方程 存在三个根,则 ; ③ 当 时,函数 的图象上存在关于原点对称的两个点: ④ 当 时,存在 使得函数 的图象在点 和 点 处的切线是同一条直线. 其中所有正确结论的序号是___________ 三、解答题共 6 小题, 共 85 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 (16) (本小题 13 分) 函数 ,其中 . (I) 当 时,求函数 的单调区间: (II) 若函数 在区间 上有两个零点,求 的取值范围. (17) (本小题 13 分) 设数列 的前 项和为 ,且对于任意 都有 成立. (I) 写出 的值,并求数列 的通项公式: (II) 若等差数列 的首项 ,公差 ,求数列 的前 项和 的最小值. (18) (本小题 15 分) 为了解不同人群夏天户外运动的情况, 分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工, 统计了他们的夏天户外运动时长, 得到以下数据 (单位: 小时): 甲单位: : 乙单位: . 假设用频率估计概率, 用样本估计总体, 且每名职工的户外运动情况相互独立. (I) 现要对乙单位中夏天户外运动时长不足 20 小时的职工进行体检, 已知乙单位共有 1800 名职工, 试估计乙单位此次参加体检的职工人数. (II) 从甲单位职工中随机抽取 2 人、乙单位职工中随机抽取 1 人,记 为这 3 人中夏天户外运动时长不少于 35 小时的人数,求 的分布列和数学期望: (III) 设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为 、乙单位职工户外运动时长的方差为 ,写出 与 的大小关系. (结论不要求证明) (19) (本小题 14 分) 为冷却生产出来的工件, 某工厂需要建造一个无盖的长方体水池, 要求该水池的底面是正方形,且水池最大储水量为 . 已知水池底面的造价为 元 ,倒面的造价为 元 . (注: 衔接处材料损耗忽略不计) (I) 把水池的造价 (单位: 元) 表示为水池底面边长 (单位: ) 的函数; (II) 为使水池的总造价最低, 应如何确定水池底面的边长? (20) (木小题 15 分) 已知函数 ,其中 . (I) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程: (II) 若函数 的极小值为 0,求 的值: (III) 在 (II) 的条件下,若对任意的 成立,求实数 的最小值 (21) (本小题 15 分) 设 和 均为各项互不相等的 项数列,其中 . 记数列 ,其中 . (I) 写出所有满足条件的数列 和 ,使得数列 : (II) 若 是公差不为 0 的等差数列,求证: 为定值: (III) 若 为各项互不相等的数列,记 中最大的数为 ,最小的数为 ,求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$