精品解析：北京大学2024年强基计划笔试数学试题

北京大学2024年强基计划笔试数学试题 1. 求 模 7 的余数. 2. 求 . 3. 求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的. 4. 已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 5. 求四元组 的个数，使得 ，且 . 6. 求上方程的解的个数. 7. 求上方程的解的个数. 8. 求 上方程 的解的个数. 9. 在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值. 10. 在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 11. 用 表示正整数 的数码和，求满足 与 均为 5 的倍数的 的最小值. 12. 称正整数为好数,当它各位数字均不相同，且对于所有正整数满足，都有，求最大好数的范围（ ） A. B. C. D.以上均不对 13. 在 中，求 的最小值或下确界. 14. 在中，若边上的高为，求的范围. 15. 在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 16. 在中，若为形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求. 17. 在 中，若 在 上， 平分 的内心与 的外心重合，求 . 18. 在中，若在上，平分，求的周长. 19. 在中，求的最大值的取等条件. 20. ，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京大学2024年强基计划笔试数学试题 1. 求 模 7 的余数. 【答案】1 【解析】 【分析】只要注意到19与20的相邻关系，容易将高斯取整写成普通的计算式，剩下就只需要对幂次进行常规的同余计算. 【详解】因为，所以 ， 上述中用到，，所以. 2. 求 . 【答案】 【解析】 【分析】由，化简得到，，化简得到，从而将原式化简为，利用，求出，即可求解. 【详解】因为， 从而得到：， 则 由于， ， 所以， 因为 因为 所以， 即， 解得：或(舍去) 所以 3. 求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的. 【答案】 【解析】 【分析】先考虑包含连续的排列对应的七个集合，计算它们通过取交得到的集合的元素个数，然后利用容斥原理得到不满足条件的排列数，再用总排列数与该数相减即得答案. 【详解】对有限集合，记其元素个数为. 在的所有排列中，设为所有包含连续的的排列构成的集合，这里. 则对而言，集合中的所有排列，都相当于在将需要相邻的数进行捆绑以后，个整体元素的全排列，从而. 故由容斥原理即得 . 这就表明出现了连续的中之一的排列有个，所以不出现连续的的排列有个. 故所求排列的个数为. 4. 已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 【答案】4 【解析】 【分析】设，可得，从而得到，即可求解 【详解】设数列满足：，，，，，，，，，，， 设， 所以，， 则，故 所以64模5余数为4 5. 求四元组 的个数，使得 ，且 . 【答案】25 【解析】 【分析】根据，可得可能的取值，再利用排列组合求得四元组的个数. 【详解】因为，且， 所以的取值有三种不同的组合：或或， 即， 当时，四元组有个， 当时，四元组有1个 当时，四元组有个， 故满足题意的四元组的个数为个. 6. 求上方程的解的个数. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得只能，分别比较和时，的大小关系，再根据函数和的凹凸性即可得解. 【详解】由，只能， 当时，， 当时，， 令，则， 所以在上单调递减， ， 所以函数是凹函数， 令，则函数在上单调递减， ，， 所以函数是凸函数， 所以函数与有两个交点， 即上方程的解的个数为个. 7. 求上方程的解的个数. 【答案】 【解析】 【分析】用反证法证明原方程的解都满足，即，然后逐一代入验证即可. 【详解】一方面，假设原方程有一个满足的根，则. 令，则. 对，有，故； 对，有，故. 所以对，都有，从而由知，矛盾. 所以无解， 故原方程的解，只有满足，即，直接验证即知都是原方程的解. 所以原方程一共有个解. 8. 求 上方程 的解的个数. 【答案】 【解析】 【分析】由得，由得，解得的范围，得可能取值为，代入计算检验即可. 【详解】由得，所以， 因为，所以， 得， 解得， 此时可能取值为， 分别代入计算可得， 经检验不符合题意，故方程的解只有4个. 【点睛】关键点点睛：根据得不等式组，进而得可能取值为，代入计算可得. 9. 在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值. 【答案】 【解析】 【分析】先通过不等式方法证明这个长方体中至少有个的体积不超过，再说明当，，时，这个长方体中恰有个的体积不超过，即可说明这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为. 【详解】设该正方体的长宽高分别被切成长度为和，和，和的两段，这里，且根据据对称性，可不妨设. 此时，个长方体的体积分别是 . 由，可知，. 由于，故. 而，故和中至少有一个数不超过， 所以这个长方体中至少有个的体积不超过. 当，，时，个长方体的体积分别是，此时这个长方体中恰有个的体积不超过. 综上，这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为. 10. 在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率确定，根据椭圆定义及求出，在中，由余弦定理求得，再计算面积即可. 【详解】由题意得，即， 由椭圆定义知，，又，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 11. 用 表示正整数 的数码和，求满足 与 均为 5 的倍数的 的最小值. 【答案】49999 【解析】 【分析】利用的必要条件为 得到最小为4,得到最后的结果. 【详解】设的末尾有个9,即, 所以, 此时必要条件为, 所以最小为4,当时不符合题意, 所以最小可能为五位数,经检验最小值为49999. 12. 称正整数为好数,当它各位数字均不相同，且对于所有正整数满足，都有，求最大好数的范围（ ） A. B. C. D.以上均不对 【答案】D. 【解析】 【分析】利用题目给的“好数”的定义，设，结合由，得到的最大可能值为4，从而求出最大的好数为3570. 【详解】设,由 可得，其中, 所以的最大可能值为4. 当,由,得,有, 解得, 经检验最大的好数为3570. 故选：D. 13. 在 中，求 的最小值或下确界. 【答案】 【解析】 【分析】要使最小，则为钝角三角形，不妨假设为钝角，可得，利用余弦值的范围可得，即可得到答案. 【详解】在中，要使最小，则为钝角三角形，不妨假设为钝角，则，， 所以，则， ，，所以 则 则， 当为等腰三角形，且无限接近于时，无限接近于， 即的下确界为 14. 在中，若边上的高为，求的范围. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理得到，从而表达出，求出，结合基本不等式求出，得到结论. 【详解】由三角形面积公式得， 即， 由余弦定理得，故， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故. 15. 在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求出三角形每个内角的余弦值，从而求出对应正弦，在和分别利用正弦定理得到：和，化简，即可求解. 【详解】在 中，若 在 上 由余弦定理可得：，同理：，， 在中，，， 所以，， 设，，则， 在，由正弦定理可得：， 同理在，， 所以， 所以 16. 在中，若为形外一点，满足，线段与线段交于，且，，求. 【答案】 【解析】 【分析】使用平面几何知识证明点是外接圆的圆心，然后利用圆的相交弦定理即得结果. 【详解】 由于线段与线段有交点，故点和点一定在线段的同侧（否则线段和整体各位于线段的两侧且端点不同，不可能有交点）. 而，，且和在的同侧，故由圆心角是圆周角的2倍，可知点一定是外接圆的圆心. 记的外接圆为，并设为在上的对径点，则根据相交弦定理有. 再由已知有，故. 17. 在 中，若 在 上， 平分 的内心与 的外心重合，求 . 【答案】 【解析】 【分析】利用与全等，得到求出 【详解】设题中的内心和外心为，即图中两点，一方面在的角平分线上， 又所以与为等腰三角形， 又所以所以 所以得到. 另一方面,所以,综上可得. 18. 在中，若在上，平分，求的周长. 【答案】 【解析】 【分析】设，先利用角平分线定理得出的关系，再利用双余弦定理求出，即可得解. 【详解】设， 由角平分线定理可得，则， 由余弦定理得， 即， 将代入化简得， 即解得或（舍去）， 经检验只能， 所以的周长为. 19. 在中，求的最大值的取等条件. 【答案】， 【解析】 【分析】先分析得最大，再利用和差化积公式得到，再利用换元法构造函数，，结合导数研究得最大值，从而得解. 【详解】显然要使取最大值，则最大， 所以，都为锐角，，， 由于， 所以， 则，当时，取等号； 令，，构造函数，， 所以， 令，解得：或(舍去)， 因为，所以，且， 当时，，在单调递增； 时，，在单调递减； 所以当时，即，， 所以当，时，取得最大值. 20. ，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求 . 【答案】 【解析】 【分析】求出，，用归纳法证明，从而求出. 【详解】因为，， 所以， 同理， 猜想：， ①当时，成立； ②假设时成立，即， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $