第11章 三角形 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第十一章　三角形 本章综合提升 1. 转化思想 在研究数学问题时，我们通常是把未知的知识转化为已知的知识，把复杂的 问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把数学问题转化为实 际问题来解决.在本章中，辅助线与转化思想是在一起出现的，及时地总结辅助 线的作法将给以后的解题带来极大的方便和帮助，“转化”起到了由未知到已 知、由难到易、由繁到简的作用. 三角形内角与外角的转化；在推导多边形的内角和公式时，通过引多边形的 对角线，把多边形的内角和问题转化为若干个三角形的内角和问题. 【例1】一题多解　如图所示，已知∠ A ＝30°，∠ B ＝45°，∠ C ＝ 25°，试求∠ ADC 的度数. 解：解法1：延长 AD 交 BC 于点 E ，如图①所示，则根据三角形外角的性质有∠ ADC ＝∠ C ＋∠ DEC ，∠ DEC ＝∠ A ＋∠ B ，∴∠ ADC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝30°＋45°＋25°＝100°. ① 解法2：过点 D 作 BC 的平行线 EF ，交 AB 于点 E ，如图②所示，则由平行线的 性质知∠ FDC ＝∠ C ，∠ AED ＝∠ B . 又根据三角形外角的性质有∠ ADF ＝ ∠ A ＋∠ AED ，∴∠ ADF ＝∠ A ＋∠ B . 又∠ ADC ＝∠ ADF ＋∠ FDC ， ∴∠ ADC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝30°＋45°＋25°＝100°. ② 【变式训练1】一题多解　（2023·河南商丘夏邑期末）如图所示， P 是 △ ABC 内一点，延长 BP 交 AC 于点 D ，连接 PC . （1）∠1，∠2，∠ A 的大小关系是 ＞ ＞ ⁠. ∠1　 ∠2　 ∠ A 　 （2）若∠3＝25°，∠ A ＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从 下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解. 思路一 先利用三角形内角和求出∠ PBC ＋ ∠ PCB 的度数，再利用三角形内角 和求出∠1的度数. 思路二 先利用三角形外角的性质求出∠2的度数， 再利用三角形外角的性质求出∠1的度数. 解：思路一：在△ ABC 中，∠ A ＋∠3＋∠ PBC ＋∠ PCB ＋∠4＝180°， ∴∠ PBC ＋∠ PCB ＝180°－∠ A －∠3－∠4＝180°－67°－25°－40°＝48°. 在△ PBC 中，∠1＋∠ PBC ＋∠ PCB ＝180°， ∴∠1＝180°－（∠ PBC ＋∠ PCB ）＝180°－48°＝132°. 思路二：∵∠2是△ ABD 的外角， ∴∠2＝∠3＋∠ A ＝25°＋67°＝92°. ∵∠1是△ CDP 的外角， ∴∠1＝∠2＋∠4＝92°＋40°＝132°. 2. 方程思想 方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，通 过解方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数 学思想. 涉及三角形的内角和为180°，多边形的内角和为（ n －2）×180°以及多 边形的外角和为360°等的计算，一般可通过设未知数列方程的方法进行解决， 将几何问题转化为代数问题，方便快捷. 【例2】　 在△ ABC 中，∠ A －∠ B ＝30°，∠ C ＝4∠ B ，求∠ A ，∠ B ， ∠ C 的度数. 解：设∠ B 的度数为 x ，则有∠ A ＝ x ＋30°，∠ C ＝4 x . 根据三角形内角和定理，得 x ＋30°＋ x ＋4 x ＝180°， 解得 x ＝25°，故 x ＋30°＝55°，4 x ＝100°， ∴∠ A ＝55°，∠ B ＝25°，∠ C ＝100°. 【变式训练2】 （2023·湖北恩施期中） （1）根据图中的相关数据，求出 x 的值. 解：（1）（ x ＋9）°＋115°＋90°＋ x °＝（4－2）×180°， 解得 x ＝73. （2）一个多边形的内角和是1 260°，求这个多边形的边数. 解：（2）设这个多边形的边数为 n ， 则（ n －2）·180°＝1 260°， 解得 n ＝9， 即这个多边形的边数为9. 3. 分类讨论思想 分类讨论思想是将一个较复杂的问题分解为几个简单的基础问题，再通过这 几个基础性问题的解决来实现解决原来数学问题的思想方法.在分类讨论问题 时，应按以下原则进行： （1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类必须按一个标准； （3）分类讨论应逐级进行. 在本章中分类讨论思想是我们学习的重点，如已知等腰三角形的两条边长， 求周长或第三条边长，这时等腰三角形的腰和底不明确，需要进行分类讨论. 【例3】　 已知非直角△ ABC 中，∠ A ＝45°，高 BD 和 CE 所在直线交于点 H ，求∠ BHC 的度数. 解：当△ ABC 为锐角三角形时（如图①所示）， ① ∵ BD ， CE 是△ ABC 的高， ∠ A ＝45°， ∴∠ ADB ＝∠ BEH ＝90°， 在△ ABD 中，∠ ABD ＝180°－90°－45°＝45°. ∵∠ BHC 是△ BHE 的外角，∴∠ BHC ＝90°＋45°＝135°. 当△ ABC 为钝角三角形时（如图②所示）， ∵ H 是△ ABC 两条高所在直线的交点，∠ A ＝45°， ∴∠ ACE ＝180°－90°－45°＝45°，∴∠ HCD ＝45°， ∴∠ BHC ＝180°－90°－45°＝45°. 综上所述，∠ BHC 的度数为135°或45°. ② 【变式训练3】等腰三角形的两边长是4和9，则周长为 ⁠. 22　 1. （2023·山东济宁梁山二模）如图所示， CD ， CE ， CF 分别是△ ABC 的高、 角平分线、中线，则下列各式错误的是（　C　） A. AB ＝2 BF B. ∠ ACE ＝ ∠ ACB C. AE ＝ BE D. CD ⊥ BE 2. （2023·浙江宁波期末）若一个正 n 边形的每个外角为30°，则这个正 n 边形的 边数是（　C　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. （2023·安徽合肥模拟）将两块直角三角尺按如图所示摆放，其中∠ ABC ＝ ∠ D ＝90°，∠ A ＝60°，∠ DCB ＝45°，若 AC ， BD 相交于点 E ，则∠ AED 的度数为（　B　） A. 110° B. 105° C. 95° D. 75° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. （2023·山东潍坊期末）将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为 O . 若点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上，则∠ BOC 的度数为（　B　） A. 15° B. 18° C. 28° D. 30° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. （2023·山东潍坊高密月考）如图所示，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度 数为 ⁠. 第5题图 6. （2023·广东中山模拟）正八边形的每个内角为 ⁠. 180°　 135°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 第7题图 7. （2023·湖南娄底模拟）如图所示，把△ ABC 沿平行于 BC 的直线 DE 折叠，使 点 A 落在边 BC 上的点 F 处，若∠ B ＝50°，则∠ BDF 的度数为 ⁠. 80°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. （2023·山东菏泽巨野期末）如图所示，在△ ABC 中，∠ CAE ＝25°，∠ C ＝ 40°，∠ CBD ＝30°，求∠ AFB 的度数. 解：∵∠ CAE ＝25°，∠ C ＝40°， ∴∠ AEB ＝∠ CAE ＋∠ C ＝25°＋40°＝65°. ∵∠ CBD ＝30°， ∴∠ AFB ＝∠ CBD ＋∠ AEB ＝30°＋65°＝95°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. （2023·福建中考）若某三角形的三边长分别为3，4， m ，则 m 的值可以是 （　B　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 10. （2023·北京中考）正十二边形的外角和为（　C　） A. 30° B. 150° C. 360° D. 1 800° B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. （2023·甘肃兰州中考）如图①所示是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其 轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②所示是八角形 空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　A　） ① ② A. 45° B. 60° C. 110° D. 135° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12. （2023·山东聊城中考）如图所示，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为（　B　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. （2023·吉林中考）如图所示，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学 道理是 ⁠. 14. （2023·江苏徐州中考）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和 5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）. 15. （2023·四川遂宁中考）若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形 是 三角形. 三角形具有稳定性　 3或4或5或6或7　 直角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. （陕西中考）如图所示， AD 是△ ABC 的中线， AB ＝4， AC ＝3.若△ ACD 的周长为8，则△ ABD 的周长为 ⁠. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，已知△ ABC ，求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 方法一 证明：如图所示，过点 A 作 DE ∥ BC . 方法二 证明：如图所示，过点 C 作 CD ∥ AB . 17. （北京中考）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择 其中一种，完成证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 证明：方法一：∵ DE ∥ BC ， ∴∠ B ＝∠ BAD ，∠ C ＝∠ CAE . ∵∠ BAD ＋∠ BAC ＋∠ CAE ＝180°， ∴∠ B ＋∠ BAC ＋∠ C ＝180°. 方法二：∵ CD ∥ AB ， ∴∠ A ＝∠ ACD ，∠ B ＋∠ BCD ＝180°， ∴∠ B ＋∠ ACB ＋∠ A ＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. （四川攀枝花中考）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形 的内角和”.请你在不直接运用结论“ n 边形的内角和为（ n －2）•180°”计算 的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，如图所示，结合图形说 明：五边形 ABCDE 的内角和为540°. 解：如图所示，连接 AD ， AC ， 则五边形 ABCDE 的内角和等于△ AED ，△ ADC ， △ ABC 的内角和， ∴五边形 ABCDE 的内角和＝180°×3＝540°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$