精品解析：江西省九江市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

九江市2023—2024学年度下学期期末考试高 二数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的概念求解即可. 【详解】由已知，， 所以. 故选：. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断. 【详解】若，可能为负数，不能推出， 若，则，可得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列函数是定义在上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数性质直接判断即可． 【详解】对于A为上的增函数； 对于为上的减函数； 对于C，在为减函数； 对于D，的定义域为. 故选：A 4. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 6. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导后运用导数几何意义解题即可． 【详解】， 将代入，得. 故选：D. 7. 牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（ ） A. 33分钟 B. 28分钟 C. 23分钟 D. 18分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可． 【详解】解：依题意，得， 化简得，解得. 设这块面包总共经过分钟，温度降为30°， 则，化简得， 解得， 故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°， 故选：C. 8. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A,C可取特殊值判断；对于B,D,直接运用指数对数函数单调性判断即可． 【详解】解：取，则，A，C错误； 由，得，B正确； 由，得，D正确. 故选：BD. 10. 设函数，则（ ） A. 定义域为 B. 图象关于原点对称 C. 在上单调递减 D. 不存在零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A；判断是否是奇函数可判断B；由复合函数的单调性可判断C；直接解方程可判断D. 【详解】解：由，得或，故的定义域是，A正确； 为奇函数，B正确； 令，则在上单调递增，而函数在定义域内单调递增，在上单调递增，C错误； 令，得无实数解，不存在零点，D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. 为等比数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可判断A选项，可得，再结合数列的递推公式可得，进而可判断B、C、D选项. 【详解】依题意可得，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A选项正确； 则， 当时，， 当时，也满足， 所以，即，B选项错误； ，C选项正确； 又，，D选项正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第1问2分，第2问3分. 12. 设是等比数列，且，则__________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案. 【详解】设的公比为，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为：32 13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令得到，变形得到，令，，画出两图象如图所示，数形结合得到，求出答案. 【详解】由，得，因为，所以， 令，，画出两图象如图所示， 由图象结合题意得，即， 即的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数且.若为偶函数，则__________；若在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据得到方程，求出，检验后得到结论；分，，或四种情况，结合指数函数单调性，导数，进行求解，得到答案. 【详解】为偶函数， ，即, ∴，经检验，此时为偶函数， 当时，在上单调递增，符合题意，此时. 当时，在上单调递减，不符合题意. 当或时，， 则需在上恒成立， 不妨设，则在上恒成立， 在上单调递增， ∴，即. 综上，的取值范围是. 故答案为：1， 【点睛】关键点点睛：恒成立问题，转化为恒成立，结合指数函数单调性，得到不等式，求出答案. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为幂函数. （1）求的解析式； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义可得，求解即可； （2）由复合函数的单调性，得，求解即可. 【小问1详解】 由为幂函数，得，解得， 故. 【小问2详解】 ，由复合函数的单调性，得， 解得. 故实数的取值范围为. 16. 已知函数的定义域为，且对任意，都有. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）若，求的值. 【答案】（1）是奇函数，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令得，令，得，从而可判断； （2）令，得，利用等差数列的定义可得，再利用错位相减法即可求和. 【小问1详解】 是奇函数，理由如下： 令，得， 令，得， 又函数的定义域为，所以是奇函数； 【小问2详解】 令，得， 令，则， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， ， 即为数列的前项和，设为， 则 ， 两式相减，得， ，即. 17. 已知数列满足，且为等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知关系式，利用等比数列定义求通项公式即可； （2）利用裂项法求解前项和. 【小问1详解】 由题意，得，由，得. 为等比数列，且公比， 【小问2详解】 由（1）得， 18. 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论导函数的正负即可； （2）解法一：结合（1）分，，三种情况根据单调性求解的取值范围； 解法二：先取，先找到的一个必要条件，再证充分性. 【小问1详解】 ， 当时，因为， 所以在上单调递减， 当时，， 令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 解法一：①当时，由（1）知在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去， ②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意，舍去， ③当时，由（1）知在上单调递增， 所以，符合题意， 综上所述，的取值范围是. 解法二：注意到， ①先找到的一个必要条件， 因为，所以要使时，， 则，即， ②再证充分性， 若，则，所以在上单调递增， 所以，满足题意， 当时，由（1）知在上单调递减，，不满足题意， 当时，由（1）知上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意，舍去， 综上所述，的取值范围是. 19. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称具有性质. （1）试写出一个具有性质的一次函数； （2）判断函数是否具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数具有性质P （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据多项式相等可得答案； （2）由得，令，利用导数判断出在上的单调性，结合特殊点的函数值和已知定义可得答案； （3）解法一：由化简得，令，利用导数判断出在上的单调性，结合值域可得答案； 解法二：由化简得，转化为与的图象有交点，判断出在上的单调性，结合值域可得答案. 【小问1详解】 设， 由，得，即， ； 【小问2详解】 由，得， 即， 令，则在上单调递增， 又，故存在， 使得，即， 故函数具有性质； 小问3详解】 解法一：由， 得， 化简得， 令，则， 令，则在上单调递增， 且， ，即在上单调递减. 又当时，；当时，， ，即，故实数的取值范围是； 解法二：由，得， 化简得， 即与的图象有交点， 在上单调递减，且当时，； 当时，， ，即，故实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九江市2023—2024学年度下学期期末考试高 二数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数是定义在上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 6. 已知曲线在处切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 7. 牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（ ） A 33分钟 B. 28分钟 C. 23分钟 D. 18分钟 8. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 定义域为 B. 图象关于原点对称 C. 在上单调递减 D. 不存在零点 11. 已知数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. 等比数列 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第1问2分，第2问3分. 12. 设是等比数列，且，则__________. 13. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 14. 设函数且.若为偶函数，则__________；若在上单调递增，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为幂函数. （1）求的解析式； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 16. 已知函数的定义域为，且对任意，都有. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）若，求的值. 17. 已知数列满足，且为等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）试讨论单调性； （2）若，，求的取值范围. 19. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称具有性质. （1）试写出一个具有性质的一次函数； （2）判断函数是否具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$