天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

南开中学2023-2024学年度第二学期 高二数学第二次学情调查 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 根据分类变量与观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B. 变量与不独立，这个结论犯错误概率不超过 C. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 5. “拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从所在班级随机抽取了名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，.已知小明的右手一拃长为厘米，据此估计小明的身高为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 6. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（ ） A. 2730 B. 10080 C. 20160 D. 40320 Ⅱ卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 10. 若展开式中的常数项为，则实数______. 11. 已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 12. 在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为______． 13. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 14. 若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 16. 同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”．在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上演统计学史上著名的“女士品茶”试验． （1）上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是不同的.”为了验证这一说法，欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验.他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别.”下面，他准备了8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”（即将茶倒进奶里所得的饮品），4杯为“奶茶”（即将奶倒进茶里所得的饮品），然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶茶”的饮品.设随机变量表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过计算的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力． （ⅰ）请求出随机变量的分布列（概率请用数值表示）； （ⅱ）当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？ （2）下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶茶”味道能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为．现在，为了不浪费道具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”），那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”．请问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？ 17 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 南开中学2023-2024学年度第二学期 高二数学第二次学情调查 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B Ⅱ卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】18 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【16题答案】 【答案】（1）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）杯； （2） 【17题答案】 【答案】（1）答案见详解 （2）①；②证明见详解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$