精品解析：天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

南开中学2023-2024学年度第二学期 高二数学第二次学情调查 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题解出一元二次不等式，求得集合， 再求其与集合的交集即可得出结果. 【详解】因为，集合， 因此，. 故选：B 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合给定的散点图，结合相关性的概念，即可求解. 【详解】由给出的四组数据的散点图，可得： 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选：． 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4. 根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】B 【解析】 【分析】根据找出对应的的值，并比较与卡方值得大小,进而由卡法的定义推出相应结论即可. 【详解】因为时，所以， 所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过. 故选:B. 5. “拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从所在班级随机抽取了名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，.已知小明的右手一拃长为厘米，据此估计小明的身高为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，，进而可得回归直线方程，再将代入，即可求解. 【详解】由题意，，， 又，即，解得， 故经验回归直线方程为， 当时，，估计小明的身高为厘米, 故选：B 6. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD. 【详解】对于A，若，则，， 所以 ，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，所以，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 8. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（ ） A. 2730 B. 10080 C. 20160 D. 40320 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可. 【详解】若没有人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 若有一人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为. 故选：. Ⅱ卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为正态分布曲线的对称轴为，， 所以，所以. 故答案：. 10. 若展开式中常数项为，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，代入可得，解得. 故答案为：. 11. 已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】首先求出导函数，得，然后利用 “1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】由，得， 又，即，，， 故 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为18 故答案为：18 12. 在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算答对某道题的概率，由题意，由二项分布的期望公式求解即可. 【详解】高二1班答对某道题的概率， 由题意知，的可能取值为， 则，所以. 故答案： 13. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案. 根再根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为， 两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,， ， 所以. 故答案为：,. 14. 若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，求出函数的公切线的斜率，再结合图形求出的范围. 【详解】令，依题意，直线的斜率在函数图象公切线斜率之间， 设公切线与函数图象相切的切点分别为， 求导得，显然切线过点， 即，又，且， 于是，整理得，解得或， 因此两条公切线的斜率分别为，如图， 观察图象，得当时，存在实数，使得关于的不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式的解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，得到且，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化时，恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，可得且， 因为，所以，等价于， 解得，即不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，不等式，即为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意，当时，恒成立，即恒成立， 即时，恒成立， 由基本不等式得，当且仅当即时，等号成立， 所以，所以实数取值范围是. 16. 同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”．在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上演统计学史上著名的“女士品茶”试验． （1）上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里味道是不同的.”为了验证这一说法，欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验.他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别.”下面，他准备了8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”（即将茶倒进奶里所得的饮品），4杯为“奶茶”（即将奶倒进茶里所得的饮品），然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶茶”的饮品.设随机变量表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过计算的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力． （ⅰ）请求出随机变量的分布列（概率请用数值表示）； （ⅱ）当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？ （2）下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶茶”味道的能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为．现在，为了不浪费道具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”），那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”．请问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？ 【答案】（1）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）杯； （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）求出的所有可能取值后计算对应概率即可得其分布列；（ⅱ）将的概率与比较大小即可得解； （2）二人所获得的总积分符合二项分布，计算两人对某一杯饮品判断均正确的概率后可得其分布列，即可计算其概率的单调性，即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）的可能取值为， ，， ，，， 则其分布列为： （ⅱ）由，， 故上官琐艾至少要选择正确杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设， 该推断犯错误的概率为； 【小问2详解】 设为二人所获得的总积分，则可能为， 两人对某一杯饮品判断均正确的概率，则， 则，其中， 则当， 有， 令，解得，故当时，有最大值， 即欧阳、上官二人应该选择为“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于通过解出得到其概率的单调性，即可得解. 17. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）答案见详解 （2）①；②证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论最高项系数的符号和两根大小，利用导数分析原函数的单调性； （2）①分析可知，构建，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解；②分析可知原不等式等价于，换元令，构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 若，则， 当，则；当，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当，即时，则， 可知在内单调递增； 当，即时，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增； 若，在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 ①有两个不同的零点， 即有两个不同实根，得， 令，， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： 可得，所以实数a的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得， 不妨设，要证：，只需证：， 即证， 设，令， 则， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开中学2023-2024学年度第二学期 高二数学第二次学情调查 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立，这个结论犯错误概率不超过 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 5. “拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从所在班级随机抽取了名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，.已知小明的右手一拃长为厘米，据此估计小明的身高为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 6. 下列不等式中成立是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（ ） A. 2730 B. 10080 C. 20160 D. 40320 Ⅱ卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 10. 若展开式中的常数项为，则实数______. 11. 已知函数，其中，，若，则的最小值为______． 12. 在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为______． 13. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 14. 若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式的解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 16. 同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”．在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上演统计学史上著名的“女士品茶”试验． （1）上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里味道是不同的.”为了验证这一说法，欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验.他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别.”下面，他准备了8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”（即将茶倒进奶里所得的饮品），4杯为“奶茶”（即将奶倒进茶里所得的饮品），然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶茶”的饮品.设随机变量表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过计算的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力． （ⅰ）请求出随机变量分布列（概率请用数值表示）； （ⅱ）当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？ （2）下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶茶”味道的能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为．现在，为了不浪费道具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”），那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”．请问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？ 17. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$