精品解析：湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

湖北省2024年春季高二期末考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟， ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 等比数列的前项积为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（ ） A. 52个 B. 64个 C. 66个 D. 70个 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立 10. 定义在上的非常数函数的导函数为，若为偶函数且.则下列说法中一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 6是函数的一个周期 C. D. 的图象关于直线对称 11. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则班获胜的概率是__________. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 14. 过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，所有项的二项式系数之和为512. （1）求的值，并求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中系数绝对值最大的项. 16. 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中. （1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元； （2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？ 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 外地游客 100 合计 300 1000 参考数据：若随机变量，则； 参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知. （1）判断的单调性； （2）若的极大值为，求实数的值. 18. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为. （1）求学生小杰获得奖品的概率； （2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率； （3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望. 19. 已知是定义在上的函数，，将区间划分为任意个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作，其中.若存在一个常数，使得恒成立，称函数为上的有界变差函数. （1）证明：若是定义在的单调递增函数，则为上的有界变差函数； （2）判断在上是否为有界变差函数？请说明理由； （3）判断在上是否为有界变差函数？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2024年春季高二期末考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟， ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两个集合，再按照交集定义计算即可． 【详解】易知集合，，所以． 故选：D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象，即可结合极值点的定义求解. 【详解】如图：与轴的交点分别为， 由极大值点的定义结合导函数图象可知点的横坐标为极大值点，故极大值点的个数为2个， 故选：C. 3. 如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案. 【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点 而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但 所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题. 4. 等比数列的前项积为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】由等比数列的性质可知，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：C. 5. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 7. 从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（ ） A. 52个 B. 64个 C. 66个 D. 70个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分为三类，首位大于2、首位为2且第二位非0和首位为2，第二位为0，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类： 当首位大于2时有种； 当首位为2，第二位非0时有种； 当首位为2，第二位为0时有种； 综上，总共有种. 故选D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于，扩大适当的倍数变为整数幂的形式比较即可；对于，构造函数比较大小即可 【详解】对于，同时12次方可得与，易知，所以； 对于，同时次方可得与，由题干可知，所以，即； 对于，同时取对数可得与，，，解得， 易得在单调递增，单调递减，易知，所以． 综上可得， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解A，根据正态分布曲线的性质即可求解B，根据的性质即可求解C，根据独立性检验的原理即可求解D. 【详解】对于A，由可得,方差的运算性质可知，故A正确； 对于B，由正态密度函数可知，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高；B错误， 由决定系数和卡方独立性检验的定义和规则易知选项CD正确. 故选：ACD. 10. 定义在上的非常数函数的导函数为，若为偶函数且.则下列说法中一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 6是函数的一个周期 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的性质即可求解A，根据4是函数的一个周期，利用反证法即可求解B，由赋值法求解C，求导，即可判断D. 【详解】对于A：因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称，所以A正确； 对于B：由得，所以，即4是函数的一个周期，若6也为函数的一个周期，则2为函数的一个周期，那么，即为常数函数，不合题意，所以B错误； 对于C：由A可知，对于可令得，所以，所以C正确； 对于D：由A可得，求导可得即，对于求导可得，所以，即函数的图像关于直线对称，所以D正确； 故选：ACD. 11. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将替换为即可判断A，根据二项式定理得，即可由已知不等式求解C，利用题中所给不等式，即可求解CD. 【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确； 对于B，，因为，所以，所以B正确； 对于选项C， 因为，所以，所以正确； 对于选项D，由令得，即，所以D错误； 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则班获胜的概率是__________. 【答案】##0.352 【解析】 【分析】分情况，运用相互独立事件概率的乘法公式即可解题． 【详解】三局两胜制班获胜的情况有：“前面两局胜利”和”第三局胜利前面两局中胜一局”．根据独立事件的概率公式得：. 故答案为：． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况，作出函数的图象，结合图象，利用二次函数的对称性，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，， 作出函数的图象，如图（1）所示，可得函数在上单调递增，满足题意； 当时，，由二次函数的性质，可得函数在上单调递增，满足题意； 当时，， 作出函数的图象，如图（2）所示， 要使得在上单调递增，则满足或，解得或， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 14. 过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，所有项的二项式系数之和为512. （1）求的值，并求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1）9，； （2）第七项. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出的值，再利用赋值法求出所有项的系数和. （2）利用二项式定理求出，再由已知列出不等式组，利用组合数公式求解不等式即得. 【小问1详解】 依题意，展开式所有项的二项式系数和为，所以， 令，则所有项系数和为. 【小问2详解】 依题意，，不妨令，则， 即，化简得， 即，解得，而，则， 所以展开式中系数绝对值最大的项是第七项：. 16. 随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布，其中. （1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元； （2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？ 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 外地游客 100 合计 300 1000 参考数据：若随机变量，则； 参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）79.325万 （2） 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 200 400 600 外地游客 100 300 400 合计 300 700 1000 ，能认为 【解析】 【分析】（1）计算出旅游费用支出不低于1500元的概率可得答案； （2）计算出，根据小概率值的独立性检验课做出判断. 【小问1详解】 因为， 所以旅游费用支出不低于1500元的概率为， 所以， 估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元； 【小问2详解】 假设：“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联， 游客来源 客户星级 合计 三星客户 一星客户 当地游客 200 400 600 外地游客 100 300 400 合计 300 700 1000 ， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 17. 已知. （1）判断的单调性； （2）若的极大值为，求实数的值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分、、和，四种情况讨论，即可求得函数的单调性； （2）由（1）中的单调性，求得和时，求得的极大值分别为和，令，利用导数求得函数的单调性，进而求得答案. 【小问1详解】 解：由函数，其定义域为 可得， 令，可得 ①当时，即时， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，即时，可得，则在单调递增； ③当时，即时， 当时，；当时，；当时，， 所以在和单调递增，在单调递减； ④当时，即时， 当时，；当时，；当时，， 所以在和单调递增，在单调递减； 综上所述： 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 解：由（1）可知，只有当和时，才有极大值， ①当时，函数的极大值为，解得； ②当时，函数的极大值为， 令，则， 设，可得， 所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，即，所以在无解， 故不存在符合题意的， 综上所述：实数的取值为. 18. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为. （1）求学生小杰获得奖品的概率； （2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率； （3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和，即可求解； （2）根据题意，结合，即可求解； （3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开， 事件：学生通过第轮且继续答题，）， 由题意得，. 记事件：学生获得奖品.则， ， ， ， . 【小问2详解】 学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：. 【小问3详解】 由题意，随机变量可取， 可得， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 19. 已知是定义在上的函数，，将区间划分为任意个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作，其中.若存在一个常数，使得恒成立，称函数为上的有界变差函数. （1）证明：若是定义在的单调递增函数，则为上的有界变差函数； （2）判断在上是否为有界变差函数？请说明理由； （3）判断在上是否为有界变差函数？请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）是定义在上的有界变差函数，理由见解析 （3）不是有界变差函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用在单调递增，去掉绝对值，将连和符号用函数值的差表示，求出连和的值，取，满足有界变差函数定义； （2）去掉绝对值，将连和符号用函数值的差表示，求出连和的值，取，满足有界变差函数定义； （3）根据特殊角的余弦值，结合有界变差函数的定义进行证明即可. 【小问1详解】 因为在单调递增，且，则，所以， 取，即可得，所以是上的有界变差函数 【小问2详解】 ，且， 则， 所以，取， 即可得，所以是定义在上的有界变差函数 【小问3详解】 取，， 则，， 所以当时，， 下证无界： 令在单调递减，在单调递增，所以， 即，取，即可得，所以， 那么，易知当时，，所以无界 所以不存在常数使得.因此在[0，1]不是有界变差函数. 【点睛】此题考查的是函数新定义，创新性的将函数与不等式综合，用到绝对值不等式性质和二次函数知识．第三问借助导数研究函数的单调性，最值来解题，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $