2024年全国一卷新高考数学题型细分S2-5——导数 单选填空3

2024年全国一卷新高考题型细分S2-5 ——导数1 单选填空3 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《导数——单选填空》题目主要分类有：原始定义，求导，切线意义，求切线，切线相关分析，单调性，极值，比较大小，解不等式，零点分析，最值，恒成立——反求系数，恒成立——分析式子最值，拓展，综合，中档，中上等，大概138道题。 零点分析： 1. （2024年粤J137梅州二模）3．三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ [endnoteRef:2]   ） A． B． C． D． [2: 3．B 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． ] 2. （2024年苏J34航附二模）8．已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ [endnoteRef:3]   ） A． B． C． D． [3: 8．A 【分析】先利用导数研究当时，函数的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】当时，，， 令，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，当趋近于时，趋近于0， 结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．    令，则，数形结合可知要使有6个零点， 则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况： 若，但，故排除此种情况， 若，对于二次函数开口向上，又，则，得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点： （1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进行解答； （2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画出相关函数的大致图象； （3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）． ] 3. （2024年粤J18执信二调，末）8. 已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ [endnoteRef:4] ） A. B. C. D. （中下，未） [4: 【答案】A 【解析】 【分析】由对称性可得，从而分离参数得，令，利用导数求得函数最小值为，从而得解. 【详解】设，则点在的图象上， ，即. 令，则， 令，则，此时递增， 令，则，此时递减， 最小值为. 故选：A. ] 4. （2024年粤J100佛山禅城二调）6. 若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ [endnoteRef:5] ） A. B. C. D. （中下，未） [5: 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为，， 又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点， 由，所以方程有两个不同的正实数， 所以，即. 故选：B ] 5. （2024年苏J22南通二调）6. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　[endnoteRef:6]　） A. B. C. D. （中下，未） [6: 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围． 【详解】函数， 可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． ] 6. （2024年粤J104名校一联考）13. 在的极值点个数为[endnoteRef:7]______个． （中下，未） [7: 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定. 【详解】由 ， 令，则或， 显然当时，，则或， 满足的根为或，端点值不能做为极值点，舍去； 满足的根有两个， 根据正弦函数的性质可知时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在的极值点个数为2个. 故答案为：2 ] 7. （2024年苏J03南通联考，末）14. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为[endnoteRef:8]______．（中下，未） [8: 【答案】 【解析】 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图. 由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案：. ] 8. （2024年粤J35中山一中二调，末）16. 已知函数，若函数f（x）在区间，各恰有一极值点，求实数a的取值范围为[endnoteRef:9]___________.（中下，未） [9: 【答案】 【解析】 【分析】通过研究导函数的正负，来判断出函数的单调性，进而分析出其极值，最后求出实数a的取值范围. 【详解】， 令，， 令，则， （1）当时，， 所以在上单调递减， 又 当时，， 在上单调递增， 即，在上单调递减， f（x）在区间上，无极值， 当时，当时，是减函数， ，， 所以，存在使， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 由，得， 又 所以，存在，使， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以在上有一个极值点， （2）当时， 令， 则在上单调递增， ，， 所以，存在，使得， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， ，即， 则存在，使得， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又， 当时，，即， ， 所以，存在，使得， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以在上有一个极值点， 综上，f（x）在区间，各恰有一极值点，则. 故答案为：. 【点睛】在研究函数极值点问题时，通常都是通过分析函数的单调性来确定函数的走势，构造新函数是必不可少的方法，通过反复求导来讨论出每一个函数的单调性，最后分析出原函数的单调性，进而求出极值点. ] 9. （2024年湘J01长郡一模）7. 函数有3个零点的充分不必要条件是（ [endnoteRef:10] ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且（中下，未） [10: 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数有3个零点的充要条件为且，逐个选项分析其是否为且的充分不必要条件即可得. 【详解】，有， 若有三个零点，则有且， 故函数有3个零点的充要条件为： 且， 对A：，且，则当时，有，不符，故A错误； 对B：可能，不符，故B错误； 对C：且，则，不符，故C错误； 对D：，且，则， 即由，且能得到且， 但且并不意味着，且， 故，且是且的充分不必要条件， 即是函数有3个零点的充分不必要条件，故D正确. 故选：D. ] 10. （2024年苏J38航附五月测）14．函数在区间上存在零点，则的最小值为[endnoteRef:11] .（中下，未） [11: 14．/ 【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案． 【详解】设为在上的零点，可得， 所以，即点在直线， 又表示点到原点距离的平方， 则有解，即有解， 令，可得， 因为，， 所以恒成立， 可得在上为单调递增函数， 所以当时，， 所以，即的最小值为． 故答案为：. ] 11. （2024年浙J36名校联盟三联考）7．已知 表示不超过 的最大整数，若 为函数的极值点，则 （[endnoteRef:12]   ） A． B． C． D．.（中下，未） [12: 7．B 【分析】求导后，构造，分别求出，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可. 【详解】由题意可得， 令， 则，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以为函数的极值点， 所以， 所以， 故选：B. ] 12. （2024年苏J25，J28泰州扬州二调）6. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（[endnoteRef:13]　　） A. B. C. D. （中下，未） [13: 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围． 【详解】函数， 可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． ] 13. （2024年粤J02佛山一中一模，末）16. 若曲线上的点P与曲线上的点Q关于坐标原点对称，则称P，Q是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是[endnoteRef:14]___________.（中档，未） [14: 【答案】 【解析】 【分析】由已知“奇点”的定义，可得方程只有一个实数根，函数与图象只有一个公共点，结合函数的图象性质，利用导数求解即可. 【详解】令，， 由题知有且仅有一个使得， 即方程有且仅有一个实数根， 即曲线与仅有一个公共点， 当，即时，由指数函数的图象性质可知， 曲线与直线只有一个交点，符合题意， 当，即时，显然符合题意， 当且，即且时，显然时无公共点， 当时，令，得，令， 则，当时，， 所以在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以， 又当，时，， 当时，，且时，， 所以由题知，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查函数与导数的综合应用，根据新定义得到方程，将方程的根转化为两函数图象有交点求解范围. ] 14. （2024年鄂J05七市调研，末）14. 已知函数有零点，当取最小值时，的值为[endnoteRef:15]__________．（中档，未） [15: 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最大值，再结合几何意义，即可求解. 【详解】设的零点为，则，即， 设为直线上任意一点， 坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离， 下求的最小值，令，则 在为减函数，在为增函数，即， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为，此时， （此时）． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点看成直线上的任一点，从而根据几何意义解决问题. ] 15. （2024年冀J04石家庄二中一模，末）16. 已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是_______[endnoteRef:16]_____．（中档，未） [16: 【答案】 【解析】 【分析】将恒有两个不同的极值点转化为直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得的取值范围. 【详解】函数恒有两个不同的极值点就等价于恒有两个不同的变号零点，即方程有两个不同的正实数根． 方程可变形为即． 令，则，， 即直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点． 记，则， 记，则， 所以在上单调递增． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增． 所以， ∴． 故答案为： 【点睛】利用导数研究函数的单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数间的关系，不能混淆. ] 16. （2024年湘J26衡阳八中，末）8. 已知函数没有极值点，则的最大值为（[endnoteRef:17] ） A. B. C. D. （中档，未） [17: 【答案】B 【解析】 【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案. 【详解】函数没有极值点， ，或恒成立， 由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0， 恒成立． 令，则， 当时，恒成立，为上的增函数， 因为是增函数，也是增函数， 所以，此时，不合题意； ②当时，为增函数，由得， 令 在上单调递减，在上单调递增， 当时，依题意有， 即， ，， 令，， 则， 令，令，解得， 所以当时，取最大值 故当，，即，时，取得最大值 综上，若函数没有极值点，则的最大值为 故选：B. 【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解. ] 17. （2024年苏J02前黄一模，末）8. 已知函数与的图象有两个交点，则实数的取值范围为（ [endnoteRef:18] ） A. B. C. D. （中档，未） [18: 【答案】A 【解析】 【分析】图象有两个交点可转化为与的图象有两个交点，作出函数图象并找出临界状态即可. 【详解】由题意，“函数与的图象有两个交点”等价于“方程有两个实数根”，等价于“方程有两个实数根，即等价于“与的图象有两个交点”，如图所示， 显然，否则时，与只有一个交点. 另一个临界状态为与相切时，不妨设两个曲线切于点， 又，，所以，可得，即， 又，所以，即， 令，则且， 故在上单调递增，因此是唯一的零点， 所以，代入，可得，所以.则实数的取值范围为. 故选：A. ] 18. （2024年粤J100佛山禅城二调，末）14. 若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是[endnoteRef:19]______．（中档，未） [19: 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围． 【详解】由函数， 设，可得，单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 令，即， 设，可得，则在上单增， 又由且时，， 所以当时，存在唯一的，使，即， 若时，可得，则，可得，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. ] 19. （2024年鄂J21黄冈二模）14．已知函数与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为 [endnoteRef:20] .（中上，未） [20: 14． 【分析】构造函数，利用导数，分类讨论，求出的取值范围. 【详解】令， 令，则， 令，则. 令，则，所以在上单调递增； 令，则，所以在上单调递减； 又， 则有且只有两根，分别为0，1； 因为与的图象有且仅有两个不同的交点， 则函数图象与轴有且仅有两个不同的交点， 设两个不同的交点的横坐标为，， 则方程组有且只有一组实数根， 令，则， 当时，，则此时在上递增， 又当趋向于，趋向于，当趋向于，趋向于，即， 则有且只有一组实数根； 当时，方程组有且只有一组实数根， 等价于函数图象与直线图象共有两个交点， 临界情况为两条直线与图象相切， 当与相切， 设对应切点为，因， 则相应切线方程为，即， 所以，所以，解得； 当与相切，设对应切点为， 则相应切线，即， 所以，可得，解得； 如图 则， 综上的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用两个函数图象有两个公共点，转化为新函数的零点情况；二是把解的情况转化为直线和曲线的相切问题，结合导数的几何意义求解即可. ] 20. （2024年鲁J36济南名校联盟）14．已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为 [endnoteRef:21] .（中档，未） [21: 14． 【分析】对求导，利用导数判断其单调性和最值，令，整理得可得，构建，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，可得， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 作出的图象，如图所示， 对于关于x的方程， 令，可得，整理得， 且不为方程的根， 可知方程等价于， 若方程有三个不相等的实数解， 可知有两个不同的实数根， 且或或， 构建， 若，则，解得； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． ] 最值： 21. （2024年冀J37沧州三模）8．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（  [endnoteRef:22]  ） A． B． C． D．（值域，中下，未） [22: 8．D 【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】因为，，定义域为. 所以. 当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以当时，取得最大值为. 所以函数的值域为. 令，则， 要使函数的值域为， 则，解得或， 综上，. 故选：D. ] 22. （2024年鄂J27宜荆荆随恩二模）8．已知，，与y轴平行的直线l与和的图象分别交于A，B两点，则的最小值是（ [endnoteRef:23]   ） A．1 B． C． D．（最值，中下，未） [23: 8．A 【分析】将函数作差，得到函数，再求函数的最小值即得到的最小值. 【详解】由题意设，，则， 令， 下证：， 设，，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 记，则，所以在上为增函数， 又，，故存在，使得， 所以，即最小值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点有两个： 一是将距离问题翻译成绝对值问题，先研究绝对值内式子的范围，再加绝对值处理； 二是利用同构思想巧求函数的最值. ] 23. （2024年闽J10泉州三测，末）14. 已知，，，则的最大值为[endnoteRef:24]________． （最值，中档，未） [24: 【答案】 【解析】 【分析】设，再由得代入，求出，对求导，得到的单调性和最值即可得出答案. 【详解】设， 因为，则，因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以代入， 则， ， ， ， 令， 则，因为， 则，，， ，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，因为， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，再由得代入，求出，对求导，得到的单调性和最值，可知，即可求出的最大值. ] 24. （2024年粤J14华附二调）16. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为[endnoteRef:25]______．（最值，中档，未） [25: 【答案】## 【解析】 【分析】将解析式变形为，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可. 【详解】 ， 令，， 因为定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0， 则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即． 又，， 所以 ， 当且仅当，，即，，等号成立． 故答案为： 【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到，从而利用“1”的妙用得解. ] 25. （2024年浙J22九加一联盟三月考，末）14. 函数的最小值是[endnoteRef:26]________．（最值，中档，未） [26: 【答案】3 【解析】 【分析】解法一：求函数的导函数，再利用导数研究的零点及零点两侧函数值的正负，由此确定函数的单调性，再求其最值可得. 解法二：利用切线放缩可得 【详解】解法一：， 令， 则， 当时，， 所以在上单调递增,， 设， 因为在上单调递增， 因为， 存在，使， 且， 故当时，，即，所以在区间单调递减， 当时，，即，所以在区间单调增， 所以． 解法二（最优解）：设，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时等号成立， 设，可得单调递增，又， 所以有解，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解法一：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 解法二：常见的切线放缩有. ] 26. （2024年粤J128深圳二模）8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（  [endnoteRef:27]） A． B．1 C．2 D．（最值，中档，未） [27: 8．B 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. ] 27. （2024年闽J20莆田三模）7．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（ [endnoteRef:28]   ） A． B． C． D．（最值，中档，未） [28: 7．D 【分析】根据题意，由反函数的定义，将的最小值转化为为点Р到直线距离的最小值的两倍，再由点到直线的距离公式列出方程，构造函数，求导即可得到其最小值，从而得到结果. 【详解】因为函数与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍. 设P（，），则. 设，. 由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则的最小值是. 故选:D ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$