2024届全国一卷新高考题型细分-导数单选填空4

2024年全国一卷新高考题型细分S2-5 ——导数1 单选填空4 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《导数——单选填空》题目主要分类有：原始定义，求导，切线意义，求切线，切线相关分析，单调性，极值，比较大小，解不等式，零点分析，最值，恒成立——反求系数，恒成立——分析式子最值，拓展，综合，中档，中上等，大概138道题。 恒成立——反求系数： 1. （2024年冀J03冀州一调）8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ [endnoteRef:2] ） A. B. C. D. （中档，未） [2: 【答案】A 【解析】 【分析】，则，，即，等价于，等价于，构造函数，再根据函数的单调性进而可得出答案. 【详解】 ， 则，即， 即，即， 则， 等价于， 令， 因为都是增函数， 所以函数是增函数， 则，即为， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． ] 2. （2024年浙J06金丽衢一联，末）16. 已知曲线，直线，若对任意，直线始终在曲线下方，则实数的取值范围为[endnoteRef:3]__________．（中档，未） [3: 【答案】 【解析】 【分析】首先将原问题转换为恒成立，（先固定），得对任意，恒成立，由此即可利用导数求解. 【详解】由题意，有恒成立， 不妨设（先固定）， 即恒成立， 则，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 即，由于这里且任意， 即对任意，恒成立， 所以设，， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双变量恒成立问题，首先固定，通过导数将原问题转换为对任意，恒成立，由此即可顺利得解. ] 3. （2024年湘J05长沙调研，末）14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是_____[endnoteRef:4]_____.（中档，未） [4: 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得对任意的当恒成立，令，即可得到在上单调递减，求出函数的导函数，即可得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为对任意，且当时恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立①， 令， 由①式可得，所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，又，当且仅当，即时取等号， . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是将式子变形得到对任意的当恒成立，从而将问题转化为函数在区间上单调递减求参数问题. ] 4. （2024年浙J24金华一中）13. 若对任意实数，则的最大值为[endnoteRef:5]___________．（中档，未） [5: 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，对参数的取值进行分类讨论，在不同情况下，研究函数的单调性，结合题意，即可求得参数的最大值. 【详解】令，，由题可知，恒成立； ，；令， ，； 当，，故单调递增，则， 故单调递增，，满足题意； 当，显然单调递增； 若，即时，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷； 故存在，当，，单调递减； ，，单调递增； 又，当趋近于正无穷时，趋近于正无穷； 故存在，当，，单调递减； 当，，单调递增； 又，故当，，不满足题意； 若，即，又单调递增，故， 则单调递增，又，故， 则单调递增，，满足题意； 综上所述，当时，满足题意，故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是以端点值1处的二阶导函数值的正负为讨论的标准，进而在不同情况下考虑函数单调性和最值解决问题. ] 5. （2024年浙J05名校二联考，末）16. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是[endnoteRef:6]__________. （能成立，中档，未） [6: 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. ] 6. （2024年浙J32北斗星盟联考）14．已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为[endnoteRef:7] . （恒成立，能成立，中档，未） [7: 14． 【分析】依题意存在使得，参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，则，即可求出的最大整数. 【详解】依题意对任意，且有， 因为存在使得不等式成立， 所以存在使得，即， 令，， 则， 令，，则在上单调递增， 且，， 所以使得，即，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 所以， 依题意，又为整数，所以，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为存在使得，即. ] 7. （2024年粤J139深圳外国语九模）8．已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（[endnoteRef:8]    ） A． B． C． D． [8: 8．C 【分析】分离参数，整理为，构造函数，单调递增，得到，再构造，进而得到，从而. 【详解】，，且， 两边加上得， 设，则，所以单调递增， ，即， 令则， 的定义域是， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，取得极大值即为最大值，， ，. 故选：C． 【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解. ] 8. （2024年冀J27名校联盟三模）14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是[endnoteRef:9] ． [9: 14． 【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为，， 所以，即， 设，， 令，，即在上单调递增， 令，，即在上单调递减， 则， 所以， 解得. 故答案为：. ] 9. （2024年闽J21三明检测）13．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 [endnoteRef:10]. [10: 13． 【分析】分当且对任意均成立时，和当且对任意均成立时，两种情况讨论，分离参数，进而可得出答案. 【详解】当对任意均成立时， 则对任意均成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 当对任意均成立时， 则对任意均成立时， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以，所以， 所以，当且对任意均成立时， 且，即； 当且对任意均成立时， 即且对任意均成立时， 因为在上无最大值， 所以此时没有满足， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. ] 10. （2024年浙J09温州中学一模）16. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为[endnoteRef:11]___________． [11: 【答案】 【解析】 【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 即， 令，则恒成立， 因为， 令得，，单调递增， 令得，，单调递减， 且当时，恒成立，当时，恒成立， 因为，所以恒成立，故， 当时，，此时满足恒成立， 当，即时，由于在上单调递增， 由得， 令，， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 故，即，所以，a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解. ] 11. （2024年粤J33珠海一中预测）15. 若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是[endnoteRef:12]________． [12: 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值，分离参数结合导数求最值 【详解】因为， 所以“对，不等式恒成立”转化为： “对，不等式恒成立”， 进而转化为“”， 于是构造函数， 则， 令可得x=2，易知f（x）在（2，+）单调递增，（0,2）单调递减，故最小值为， 所以，即. 据此可得正实数的最大值是. 故答案为： ] 12. （2024年湘J43长沙一中三模）8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（  [endnoteRef:13]  ） A． B． C． D． [13: 8．D 【分析】由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围. 【详解】由，可得， 即，令，则在上恒成立， 所以，由可得，由可得， 所以在上递增，在上递减，且， 在上，上，而， 所以，必须且只需在上恒成立，即恒成立， 令，则，即在上递增， 故， 故a的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. ] 13. （2024年浙J02嘉兴一中一模，末）16. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为[endnoteRef:14]_______． [14: 【答案】 【解析】 【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 即， 令，则恒成立， 因为， 令得，，单调递增， 令得，，单调递减， 且当时，恒成立，当时，恒成立， 因为，所以恒成立，故， 当时，，此时满足恒成立， 当，即时，由于在上单调递增， 由得， 令，， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 故，即，所以，a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解. ] 14. （2024年鄂J03武汉二联）7. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ [endnoteRef:15] ） A. B. C. D. [15: 【答案】A 【解析】 【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可. 【详解】令，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 可得，解得， 若，令， 则， 则在上递增，可得， 即对任意恒成立， 则在上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为. 故选：A. ] 15. （2024年鲁J21济南三月考，末）8. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ [endnoteRef:16] ） A. B. C. D. [16: 【答案】A 【解析】 【分析】因为，所以，即求直线的纵截距的最小值，设，利用导数证明在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解. 【详解】因为，所以， 所以即求直线的纵截距的最小值， 设，所以， 所以在单调递增，所以在的图象上凹， 所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小， 令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为 所以的直线方程为， 当时，， 即直线与相切时， 直线与无交点， 设，所以， 所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率， 所以可令直线在处与相交，在处与相交， 所以直线方程为， 所以截距为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，，即求直线的纵截距的最小值的分析. ] 16. （2024年浙J40台州二评）14．已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是[endnoteRef:17] . [17: 14． 【分析】原不等式变形转化为，构造函数，转化为恒成立，利用导数研究，可得，再分离参数即可得解. 【详解】原不等式， 构造函数，则， 则，令，解得， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 若，则当时，，此时恒不成立， 故，所以， 所以成立，只需成立即可， 即恒成立，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数，转化为研究函数大致变化情况，再由对的分类讨论确定，且能得出，即可脱去“”，转化为恒成立，分参即可得解. ] 17. （2024年浙J36名校联盟三联考）14．已知关于的不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是[endnoteRef:18] . [18: 14． 【分析】将原不等式转化为恒成立，画出函数与的图像，求出过原点且与函数，分别相切时直线的斜率，根据数形结合可得结果. 【详解】不等式可化为， 令，因为， 令，所以函数在上为增函数， 令，所以函数在上为减函数， 所以当时，即当时，所以， 所以 设为过原点且与相切的直线的斜率，设切点， 则，所以，又，所以，所以， 设为过原点且与相切的直线的斜率，设切点， 则，且，解得或（舍去），所以， 画出函数与的图像，如图： 数形结合可得，，所以， 故答案为：. . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是将原不等式转化为恒成立，根据数形结合，将问题转化为过原点且与函数，分别相切时直线的斜率，从而得结果. ] 18. （2024年鄂J12三校二模，末）8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ [endnoteRef:19] ） A. B. C. D. [19: 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式转化成，根据结构相同设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导确定最值即可得实数的取值范围. 【详解】依题意得，，故， 令，则，令可得， 所以时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增； 且当时，，当时，； 则由，得，则 令，则， 故当时，，单调递减，当时，单调递增， 故，则，则实数的取值范围为. 故选：D． ] 19. （2024年鄂J15十一校二联考，末）8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    [endnoteRef:20]） A. B. C. D. [20: 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可. 【详解】由不等式恒成立，且， 分离参数得，所以，即， 设，得，，设，，则. ，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以. 所以. 故选：C. ] 20. （2024年湘J03长沙一中，末）14. 在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为[endnoteRef:21]______． [21: 【答案】 【解析】 【分析】利用同构思想构造，得到其单调性，得到，再构造，，求导得到其单调性及其最小值，设设，利用基本不等式得到，求出答案. 【详解】，令，， 则 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值，故， 故，当且仅当时，等号成立， 令，， 则， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 故时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也时最小值，最小值为， 设， 由基本不等式得， ， 当且仅当，，时，等号成立， 故，则． 故答案为： 【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解. ] 21. （2024年冀J03冀州一调，末）16. 若对任意，，恒有，则正整数的最大值为[endnoteRef:22]______. [22: 【答案】4 【解析】 【分析】由题，任意，，，后构造函数（）与函数（），利用导数研究单调性，可得，则可将问题求使得的最大的正整数. 【详解】由题，任意，，. 令（），则. 令得，则在上单调递增，在上单调递减， 则有最大值. 令（），则.令，. 当时，在，，此时，必有成立； 故考虑，则在上单调递减，在上单调递增，故有最小值. 则，即.两边取自然对数可得，即求最大的使得.因，则上述不等式可转化为. 令，本题即求使得的最大的正整数. 恒成立，则在上单调递减. 因为，，则使成立的最大正整数为4. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题，常利用最值解决问题.本题将不等式两边作为整体所构造函数较为复杂，故适当变形后，不等式两边分别构造函数. ] 22. （2024年鲁J44日照三模）14．在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为 [endnoteRef:23] . [23: 14． 【分析】由得，令，利用导数求得最大值，并得到，进而利用数形结合法可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径，再求出等号成立的条件，从而得到实数的最大值. 【详解】由，整理得， 即在圆心，半径为1的半圆上. ， 令，则，又， 所以，当时，，则为单调递增， 当时，，则为单调递减， 综上可知，在处取得极大值，也是最大值，即， 于是，即， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线的一条切线为， 数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值， 即的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 即的最小值为. 过圆心与垂直的直线方程， 所以，当且仅当即时取到最小值. 综上所述，，而恒成立， 所以，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】1.利用导数求取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变型得到，从而构造进行求解. 2.在求圆上的动点到另一个曲线上的动点距离最值问题时，通常转化为圆心到曲线上的动点距离最值问题，进而进行求解. ] 23. （2024年鲁J46烟台二模）14．当时，，则实数的取值范围为[endnoteRef:24] ． [24: 14． 【分析】由令，由，故有，可得，即得其必要条件，再在的条件下，借助，，可得，借助导数可得，即可得是其充分条件，即可得解. 【详解】令，则， 由，故，即， 即“”是“当时，”的必要条件， 当时， 令，则， 故在上单调递增，即，即， 则有， 令，则， 故在上单调递增，即，即， 则有， 即有， 令， 则， 由，，故， 即在上单调递增，则有， 即， 故“”是“当时，”的充分条件， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助必要性探路法（端点效应），得到其必要条件，二是借助常见不等式，在时，，在，的情况下，得到，从而可通过导数得到. ] 24. （2024年浙J28宁波，末）8.已知集合且，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为（ [endnoteRef:25] ） A. B. C. D. [25: A；] 恒成立——分析式子最值： 25. （2024年冀J37沧州三模）14．若不等式，对于恒成立，则的最大值为[endnoteRef:26] . [26: 14． 【分析】令，利用导数求得的单调性和最小值，根据题意转化为，再令，利用导数求得的单调性和最大值，即可求解. 【详解】令函数，则， 由，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 也是最小值为， 由不等式，可得， 所以， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即，即，所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． ] 26. （2024年鲁J02荷泽一模，末）14. 关于的不等式恒成立，则的最小值为[endnoteRef:27]__________． [27: 【答案】 【解析】 【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 由，得， 而， 令， 则，所以， 若， 如图作出函数的图象， 由函数图象可知，方程有唯一实数根， 即， 由，得， 即， 当时，，即， 又，，所以， 所以不成立， 即当时，不恒成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． ] 27. （2024年湘J35湖师附一模，末）8. 若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ [endnoteRef:28] ） A. B. C. D. [28: 【答案】A 【解析】 【分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解. 【详解】令，即， 当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为， 则当时，，即，不满足题意； 当时，令，则， 令，则，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，有最小值， 又对恒成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以，即，当且仅当，时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号. ] 28. （2024年闽J02厦门二检，末）14. 已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为[endnoteRef:29]______. [29: 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，两种情况，通过导数求导得到，再构造函数及导数方法求出其最小值，从而求解. 【详解】函数的定义域为， 当时，可得在上单调递增，，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值，也最小值， 又因为且，所以， 则，得，所以， 设，，令，得， 当，， 当，， 所以在区间单调递减，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过分类讨论，两种情况得到符合的情况，通过导数求导得到，再构造函数并利用导数求出其最小值即可. ] 29. （2024年J02全国二卷）8. 设函数，若，则的最小值为（ [endnoteRef:30] ） A. B. C. D. 1 [30: 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. ] 拓展，综合，中档，中上： 30. （2024年鄂J18四月调）14．若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对x的偏导数，记为，即若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数在点处对y的偏导数，记为，即已知二元函数，则的最小值为[endnoteRef:31] .（拓展，中下） [31: 14． 【分析】根据偏导数的定义，分别求出对x偏导数和对y偏导数，再求出两个偏导数和的最小值. 【详解】依题意， 所以，， 则， 所以的最小值是. 故答案为： ] 31. （2024年冀J35部分中学评估）8．已知正实数a满足，则（ [endnoteRef:32]   ） A． B． C． D．（其他，中档，未） [32: 8．A 【分析】由已知可得，令，求导可得，存在唯一的使得，可得，计算可得. 【详解】由，可得， 构造函数，则，， 所以在递增，而，， 由零点存在性定理知：存在唯一的使得， 即．即． 而函数在递增且，所以． 即，，故，即． 故选：A． ] 32. （2024年粤J03佛山一中二调）8. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（[endnoteRef:33] ） A. 是奇函数 B. 函数的图象关于点对称 C. 点（其中）是函数的对称中心 D. （结合函数性质，奇偶性，对称轴，对称中心，求和，综合中档，未） [33: 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由为奇函数，可得的图象关于中心对称，由，可得，再求得，即可判断；对于B，对两边求导，即可判断；对于C，结合的对称性及，可得的一个对称中心为及的图象关于对称，即可判断；对于D，由已知可得的周期为，再由求解即可判断. 【详解】解：对于A，因为为奇函数，所以， 所以的图象关于中心对称； 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 令，得， 所以， 所以， 所以， 所以关于对称， 所以， 所以一定不是奇函数，故A错误； 对于B，因为， 两边求导得， 即， 所以的图象关于对称，故错误； 对于C，由A可知，关于对称， 又因为为奇函数，， 所以的一个对称中心为， 又因为， 所以， 所以的图象关于对称， 则点（其中）是函数的对称中心，故正确； 对于D，因为，关于对称， 所以， 又因为的图象关于中心对称， 所以的周期为， 所以， 故， 所以 而的值不确定，故错误. 故选：C． 【点睛】结论点睛：如果函数满足，则函数的周期. ] 33. （2024年冀J10承德二模）7. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ [endnoteRef:34] ） A. B. C. D. （结合函数性质，综合中档，未） [34: 【答案】C 【解析】 【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断. 【详解】对A：∵为偶函数，则 两边求导可得 ∴为奇函数，则 令，则可得，则，A成立； 对B：令，则可得，则，B成立； ∵，则可得 ，则可得 两式相加可得：， ∴关于点成中心对称 则，D成立 又∵，则可得 ，则可得 ∴以4为周期的周期函数 根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立 故选：C. 【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$