精品解析：山东省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题

学科网命组卷网 2023一2024学年第二学期联合教学质量检测 高二数学 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答 题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效： 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效； 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共0分在每小题所给的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.“m=1是z=(m-3m+2+(m-2)1是纯虚数的(）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要D.充要 【答案】D 【解析】 m2-3m+2=0 【分析】依题意得， m-2≠0 即可求解。 第1页/共26页 学科网命组卷网 【详解】解：z=(m-3m+2)+(m-21是纯虚数， m2-3m+2=0 则m-2≠0，得m=1 则m=1小是2=(m-3m+2+(m-2)1是纯虚数的充要条件， 故选：D ,B=， 16'43了，则 () A0B= ππ πππ A.0 B.6 c.16'4 D.16’43 【答案】C 【解析】 【分析】把集合B中的元素代入集合A检验，再结合交集运算求解. 【详解1因为simg710,simπ=V2<10sin元-3、10 4-24,sin 324, ππ 可知6 A,所以AnB=64 3 故选：C 3.空间向量“=(，0,1在6=(0,1，山上的投影向量为《) 2 B 2 0. 2 D 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可 【详解】6=1，=1+1=2， 第2页/共26页 6学科网6组卷网 由投影向量的定义和公式可知，在，的投影向量为讯 6-)) a b 故选：C 4.已知数列{a.}满足a,+a2=(-1”m,则{a,}的前100项和为() A.2475 B.2500 C.2525 D.5050 【答案】A 【解析】 【分析】由愿可得2.+a1+ar:+aa=8n-5,令品.=a,+aa+a:+a3=8n-5 ，将问题 转化求么+6十…+b,由等差数列的求和公式计算可得 【详解】由0，+a2=（-八n,可得4.+an2=（-1(4n-2}2=(4n-2. a4n+a4m-3=(-1)n-3(4n-3}2=-(4n-3)}2(n∈N） 所以a4n+a4n-+a4m-2+a4n-3=(4n-2)}2-(4n-3)}2=8n-5(n∈N)） 令b,=an+a4+an2+an3=8n-5(neN）,所以数列.}是首项为3，公差为8的等差数列， 所以4+a+a+a++a,+as+4g+am=+b,++b5 南4+6++6s=6+19x25-2475 2 所以{a,}的前10项和为2475， 故选：A 5.已知在△ABC中，满足anB=(2a-c)anC,点D在AC边上，且BD平分∠ABC,b=2,则 BD的最大值为() A.3 B.1 D.4 第3页/共26页 6学科网命组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解可得角A; 根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可 【详解】因为ctan B-=(2a-c)tanC sin Csin B (2sin A-sin C)sin C 由正弦定理，得cosB cosC 由sinC>0,得sin Bcos C=2 sin Acos B-sin Ccos B, 所以sin BcosC+cosBsinC=2 sin AcosB,即sin(B+C)=2 sin AcosB 因为B+C+A=π，所以sinA=2 sin Acos B,又sinA>0, 1 OSB= 所以 B- 2,因为0<B<π，所以3 D ABD+SCBD=S4BC 的 1 ®)4 x BDxsin元+BCx BDxsin651 x BCxsi咖刀 62 3, 所以BD=ABx BC AB+BC,在△ABC中，由余弦定理得AB2+BC2-AB×BC=12, 所以ABx BC=1B+BC-12s(AB+BC 第4页/共26页 6学科网命组卷网 从而AB+BC≤4V5 当且仅当AB=BC=2N5取等号 x(AB+BC)-12 则BD= 3 3 45 (AB+BC)-BBC 3， AB+BC 当且仅当4B=BC=2W5取等号，则BD长的最大值为3 故选：A. 6.已知随机变量X服从正态分布N(2,1P),设Y=2X,则Y服从正态分布() A.N(2,12) B.N(4,12) cN(4,22) D.N(4,42) 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机变量的均值、方差的性质计算即可. 【详解】因为随机变量X服从正态分布N(2,1）】 所以均值方差为4=2，。2=1P 又因为Y=2X 所以随机变量'的均值为 ，方差为2.2=2 =4 所以随机变量Y服从正态分布N(4,2) 故选：C 7.函数f()=-r+(e-e)小six在区间-2.8,2.8】的图象大致为（) 第5页/共26页 6学科网命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=1可得(0)>0，可排除D, 【详解】f(-)=-r+(e*-e)sin(-x)=-x2+(e-e）sinx=f()】 又函数定义域为-2.82.8】， 故该函数为偶函数，可排除A、C, 622e42e 故可排除D 故选：B. 8如图，在直三楼柱1BC-ABG中，侧楼长为2，AC1BC,4C=BC=L,点D在上底面4BG (包含边界)上运动，则三棱锥D-ABC外接球半径的取值范围为() A B B 9 6 B 8’2 C. [ 【答案】B 【解析】 第6页/共26页 命学科网命组卷网 【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可 【详解】因为△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=1, 所以AABC的外接圆的圆心为4B的中点O,且1Q、V2 2 设48的中点为E,连按0 OE 则O,E1IA4,OE上平面ABC 设三棱锥D-ABC外接球的球心为O, 由球的性质可得点0在OE上，设O0=x,DE= 0 外接球的半径为R,因为OA=OD=R, 所以+2 =2-+f,即=4x子 又0s1s② 1≤x1 2,则8 因为R=x2+ 81 ,所以64 2,则8 2 故选：B E B 【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：(1)棱长为的正方体的 C B 0 第7页/共26页 6学科网6组卷网 R= 外接球半径为 -a 2“; 2)长方体的长，宽，高分别为，b,c,则其外接球的半径为R-Y@+b+C 2 (3)直棱柱的高为h,底面多边形的外接圆半径为，则其外接球半径为 R 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知复数，22的共轭复数分别为，？，下列结论正确的是() A.若1为纯虚数，则+名=0 B.若+2号=0 则3=32=0 c若日-2=0.则-石=0 D.若2-=2+川，则2在复平而内对应的点的轨迹为直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出对应的复数，依据复数模的性质和运算性质判断A,C,D,举反例否定B即可 【详解】对于A,设子=bi,名=-bi,故名+名=0 成立，故A正确， 对于B,设=，名=1，则满足+兮=0，自≠0，故B错误， 对于C,设=a+bi,=c+h,则马=a-bi,马=c-di, 故3-23=(a-c)+(b-d)i,3-2=V(a-c2+(b-d)2=0 第8页/共26页 学科网命组卷网 解得a=c,b=d,则-名=(a-c)+(d-bi=0,故c正确， 对于D,设2=x+i,因为l2-1=2+1,2-1=Vx-12+y2 z+=V(x+1)2+y2,所以Vx+1)2+y2=V(x-2+y2, 化简得X=0,故z在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确 故选：ACD. 10.已知1-2y0=a,+ax+a,r2++aom ,则() 2100 A.展开式各项的二项式系数的和为 B.展开式各项的系数的和为-1 C.do+az+a+..+aoo>a+a +as+...+apo D.a+2a+3a,+…+100a<0 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及性质逐项判断即可得解. 【样解】对于.0-2”的展开式各项的=项式系数的和%2 ,A正确： 对于B,令x=1,得0-2刃”=a+a+4++am-1,即-2” 的展开式各项的系数的和为1，B错 误； 1+310 对于C,令x=-1,得0+2)w=a,-a+a,-+am=3w，,则，+a+a,++am= 2, 1-3100 a1+a3+a5+…+ag= 2,即有a+a+a++ao0>a+a+a,+…+a9,C正确： 对于D,对-2)l四=a+ax+a,x2++amrm 两边求导， 第9页/共26页 命学科网命组卷网 001-2x)”.(-2)=a+2a.x+3a,x2+…+100aox9 得 令x=1,得101-2)”：(-2)=a+2a,+3a,+…+100am=200>0,D错误 故选：AC AD=IDC 11.在△ABC中，D为边AC上一点且满足 ,若P为边BD上一点，且满足 AP=入AB+山AC,无，“为正实数，则下列结论正确的是(） 1 A.元u的最小值为1 B.4的最大值为12 1,1 11 C.元34的最大值为12 D.”3u的最小值为4 【答案】BD 【解析】 B,D,P 九+34=1 【分析】根据 三点公式求得 ,结合基本不等式判断即可 AD=DC 【详解】因为 ,所以AC=3AD 又4P=AB+uAC=AB+3uAD 因为P、B、D三点共线，所以 +34=1 又"公为实数所加-吉咖写2生 物s1 1 当且仅当元=3业，即=2，“=G 6时取等号，故A错误，B正确： 第10页/共26页 学科网命组卷网 3μ_元 当月623山，即元2,4、、7 6时取等号，故C错误，D正确， 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2设B是个t颜的验中的两个事件，且P(利-号P@)-号P()-,则PU回列 7 【答案】12 【解析】 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案 【详解】由概率的性质得P(4)=P(AB)+P(4B) mP氏4=P0-P48)= u=P小+P回P回- 1 故答案为：1 18,设函数f()在R上存在导数"()，对于任意的实数x,有f(x)f()+2x=0,当 x∈(-o,0]时，f'(x+1<2x若f(2+m)-f(-m)≤2m+2 则实数m的取值范围是 【答案】（∞，-刂 【解析】 【分折】构造函数3()=f()?+x,根据腿意和导数求得两数3()在(-心，0上单调递藏，再由 第11页/共26页 命学科网命组卷网 8(-x)=8(),得到8（日为偶函数，结合对称性得到8（四）在0，+四)上单调递增，把不等式 f(2+m)-f（m）≤2m+2,转化为8(2+x)≤8（←m）,即可求解 【详解】令函数8()=f()-x2+x 因为xe(-,0],时f'(+1<2x,所8)=f()-2x+1<0 所以函数8)在x∈(0,0]上单调递减。 又因为8(x)-8(-x)=f()-x2+x-[f(-x)-(←x2-刘=f(x)-f(←x)+2x=0 所以函数8(-)=8(：)，所以8()为偶函数。 根据偶函数的对称性，可得8（冈）在0，+0)上单调递增。 若f(2+m)-f(-m)s2m+2 则8(2+m)+(2+m°-(2+m)-g(-m)-(-m)2+(-m)≤2m+2 整理得8(2+m)≤8(m）,所以2+m≤m 两边平方可得r+4m+4≤m,解得m≤ -∞，-1] ,即实数m的取值范围为 （-0,-1] 故答案为： 14.2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会，某市积极响应全民锻炼的号 召，组织村级足球联赛，其中A组有甲、乙、丙、丁4支足球队，每支球队都要跟组内其他球队进行一场 比赛，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 1 3分，平一场得1分，负一场得0分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为3，比赛结束时，在甲队输 给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为一· 第12页/供26页 学科网 组卷网 8 【答案】243 【解析】 【分析】根据甲是最高分可得甲余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分 类讨论后可得正确的选项， 【详解】若甲与丙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时乙丙、乙丁两场比赛中乙只能输，否则乙的分数不小于4分，不合题意， 在乙输的情况下，丙、丁己有3分， 那么它们之间的比赛无论什么情况，丙、丁中有一队得分不小于4分，不合题意： 若甲与丙、丁的两场比赛全赢（概率为 3 )时，甲得6分，其他3队分数最高为5分， 这时乙丙，乙丁两场比赛中乙不能赢，否则乙的分数不小于6分，只有乙平或乙输： 2 若乙一平一输，概率为 如乙平丙，乙输丁，则丙丁比赛时，丁不能赢，概率为3： 若乙两场均平，概率为 丙丁这场比赛无论结果如何均符合题意： 1 1 若乙两场都输，概率为 丙丁这场比赛只能平，概率为3 综上所述，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 周c 243 8 故答案为：243 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩 第13页/共26页 命学科网 命组卷网 (满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50.60)，，[90,10] 整理得到 如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.030 m 0.020 0.010 0.005 A 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中m的值，并估计这次竞赛的平均成绩： (2)按照成绩从高到低选出样本中前15%的学生组成安全宣传队，请估计进入宜传队的学生成绩至少需 要多少分？ (3)在(2)的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干， 80,90) 再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在 的概率 【答案】(1)0.025：74 (2)88 (3)0.6 【解析】 【分析】(1)根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得m=0.025,再由平均数 的计算公式，即可求解； (2)根据题意，成绩从高到低选出样本中前15%的学生，即为85%分位数，结合百分位数的计算方法， 即可求解： [80,90) (3)根据题意，得到成绩在 的学生有2人，在90,10 的学生有4人，利用列举法求得基本事件 的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解 第14页/共26页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， (0.005+0.010+0.020+0.030+m+0.010)×10=1 可得 解得m=0.025 (0.005×45+0.010×55+0.020×65+0.030×75+0.025×85+0.010×95)×10=74 竞赛的平均成绩： 【小问2详解】 解：由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在40,80 内的频率为：(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65 成绩在[40,90]内的频率为： (0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.90 所以成绩从高到低选出样本中前15%的学生，即为85%分位数，设为x, x=80+ 0.020 ×10=88 可得 0.025 分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要88分 【小问3详解】 由题意得，样本中宣传队学生的人生为100×015=15， 80,90) 100×(90-88)×0.025=5 其中成绩在 的学生人数为 [90,100] 00×(100-90)×0.010=10 成绩在 的学生人数为 80,90) a,b 从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在 的学生有2人，记为， 在[90,10 A,B,C,D 的学生有4人，记为 从中选2人担任正副队长的样本空间为： 2={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B),(A,C) (A,D),(B,C),(B,D),(CD)} 第15页/供26页 学科网命组卷网 记事件4=“正副队长中至少有1名学生成绩 80,90),则： A={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D)} 由古典概型的概率计算公式，可得 A0=9=0.6 15 16.已知{a,}为等差数列，且4，=3a,a+a,+a:=ao+24 (1)求{a,}的通项公式 (2)若2”·1≥a+a,++0恒成立，求实数1的取值范国. 【答案】(1)a,=2n+2 C2),o 【解析】 【分析】(1)根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解： (2)先求出等差数列的前项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解. 【小问1详解】 a +4d =3a 设数列{a,}的公差为d,则根据题意可得3a+17d=a,+9d+24, a1=4 解得d=2,则an=2n+2 【小问2详解】 由(1)可知运用等差数列求和公式，得到，=4+a,++a,=n+3n 又2”·2≥a1+42+…+an恒成立，则1≥”+3m 2”恒成立， 第16页/供26页 6学科网列组卷网 2”,则f0+)-f()=-m-n+4 设f(n)=+3n 2*1, 当=1时.-f0-号0faf0. 当n≥2时，-2-n+4≤-2，则fn+)-fm<0,则f+<f): 则f=e,我22f@)-. 5 故实数1的取值范围为5，+∞) 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2ac0sC+C=2b. (1)求角A的大小： (2)D在边AC上， ①若D是边AC的中点，c=L,BD=5,求4 (若AB=8,CD=2,os∠BDC= ,求a. 【解】山4骨 (2)(i)a=V13 (i)a=7 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理将边、角关系转化成角的关系，再根据三角形的内角和定理和两角和的正弦 1 COSA= 公式转化，从而化简得到 2,即可得解. 第17页/供26页 6学科网命组卷网 (2)()利用余弦定理求得b=4,然后再用余弦定理就可求解；(i)利用正弦定理求得BD=7,然 后利用余弦定理就可以求解。 【小问1详解】 由2 a cos C+c=2b及正弦定理，得2 sin AcosC+sinC=2sinB, sinBsin(+C)2si cosC+sinC-2sin(C)=2sin C+2c0s sinC ,则 sinC=2cos4snC,又s如c≠0，÷os1=2,又4e0,.a4-f. 1 【小问2详解】 ()在△ABD中，由余弦定理有，AB+AD-2AB.ADcos∠BAD=BD2 “c=1,BD=V3,D是边AC的中点，AD=b P+j-2xem号-5， 整理得： 6-2b-8=0,解得： b=-2(舍去)或 =4 :a=Vb2+c2-2 becos60°=√13 (西由Cos∠BDC 7,∠ADB+∠BDC=,片os∠BDA=- 1 , .sin∠BDA= h-1 4V5 49 7 AB BD 在a4BD中，由正弦定理得，sin∠BDAsin乙A,又AB=8,∠A=3 3,可得BD=7, 第18页/供26页 学科网命组卷网 在△BCD中，由余弦定理得， BC2=BD+CD:-2BD.CDcos/BDC=+22-2x7x2x1=49 7 所以a=7. 18.某技术部门需研发新型材料A,研发过程中发现每次实验会得到A型材料和B型材料之一.为测试新 型材料是否能够稳定投产，制定了以下测试规则：每一轮测试都会进行两次实验，若两次实验均得到A型 材料，则测试成功并停止测试；否则将加大催化剂的剂量并进行新一轮的测试.己知第轮测试中每次实 1 验得到B型材料的概率为R=+eN门. (1)如果最多进行3轮测试（第三轮测试不成功也停止测试），记测试轮数为随机变量X,求X的分布 列和数学期望： R (2)如果最多可进行mn∈N)轮测试（第”轮测试不成功也停止测试），记R为在第0=1,2，… n) f(n)=R+R2+.…+R 轮测试成功的概率，则测试成功的概率为 )求f（4)的值： (i求证fm)<) E(X)= 29 【答案】(1)分布列见解析， 12； 2)①4)；G证明见解标 【解析】 【分析】(1)由题意得，X的可能取值为1,2,3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进 第19页/共26页 命学科网命组卷网 而得到X的分布列，再结合期望公式求解； (2)()利用独立事件的概率乘法公式求出R,R,尼B,进而求出f(4) ()易证当=1时，风-=，先证得当公2时.风-北). 进而证得当n≥2时， f(n)=R+R2+…+Rn= 111 22(n+1）2 【小问1详解】 由题意得，X的可能取值为1,2,3， 在第一轮测试中，每次实验得到A型材料的概率为2， 所以PX=-2 1 第二轮测试中，每次实验得到A型材料的概率为3， x---G, 1 第三轮测试中，每次实验得到A型材料的概率为4， Px=--副 所以X的分布列为： X 2 3 P 1 4 12 2-3 第20页/共26页 6学科网列组卷网 E(x)=1×+2x1+ ,229 3×9 所以X的数学期 412312 【小问2详解】 风年这风)空而 似闭=风+名+尾风甘方名茹 当j=1时，R=对 当2删.8-0-)- 2×3×42xx0-x+Dx =1x3x2×4x3×5×. =Ixj+lx_1 2x方j+10 11 =2×jxG+) 品. 所以当”≥2时，f例）=R+R++R 传+女 "nn+l =+xg1》 42^(2n+1 1_11 22(n+1)2, 当n=1时，f⑩=R={ 42 第21页/供26页 6学科网列组卷网 综上所述，fm<2: 19已知函数f(x)=xlnr (1)求曲线=f(~)在点（(0》处的切线方程， （2)若f()≥a(-V)对任意x∈(0，+o)成立，求实数a的值： (3)若x,2∈(0，)，求证：f(:)-f(x≤x-x25 【答案】(1)少=-1 (2)2(3) 东证费-个结论：对0<a<6.有+1<f6fO）hbl b-a 66 证明：前面己经证明不等式 bb-alndanb-ain ,故b-a a+Inb<1+Inb. b-a -1 t-1≥lnt -In a binb-alna binb-bina+nd=b+Ina>- b Ina=1+Ina 且b-a b-a 14 b b 万e+1k加g-g<o1.p加+1<f0@cib+ b-a b-a 当0<x 1 由f'()=lnx+l,可知 e时f'(大0，当>e时f)>0 不妨设≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论， 第22页/供26页 6学科网6组卷网 ≤x1≤x2<1 情况一：当e 时，有 f()-f(x=f(3)-f(G)<(血+1(3-)-<-，结论成立： 情况二： 0<≤6 e时，有/(s)-f=f(G)-f()=xnx-xn 1 对在意的0，。 设p()=nr-clhc-e-x,则'()=x+1+, 2Jc-x. 由于()单调递增，且有 1 =In- 1+1+ +1+1 <n-1 +1+1 =0 1 2e" 14 1 2e"v 2c- 14 1 2e 1 xZC- 且当 2 2vc-x 1 (x)=Inx+1+ 2小0 2vc-x"2 所以p(x)在(0，c)上存在零点，再结合p()单调递增，即知0<x<时0()<0，<x<C时 p'(x)>0 故p()在(0，x]上递减，在xoc上递增 @当≤r≤c时，有p(x)sp(c)=0, @当0<<5时.由T6n。-20s-2r日21，袋我nm96n 第23页/共26页 6学科网列组卷网 0<x< 从而当 1-g时，由c-x>qc,可得 (ns-dne-e-ene-neve ve 再根据()在(0，七]上递减，即知对0<x<都有()<0 综合①②可知对任意0<x≤c,都有p(x)s0,即p(r)=xnr-cdnc-Vc-x≤0 根据ce0,。 e和0<x≤c的任意性，取c=x2,x=x,就得到xlhx-x,血x,-√x2-≤0. 所以f(G)-f(=f(G)-f()=xnx-xnx,≤5-x 情况三：当 <≤。≤x<1 时，根据情况一和情况二的讨论，可得 r)s。,F日-s 万报张因的.(s)-s)-f日安)-ss/日-0s 故一定有/()(：-x成立 综上，结论成立 【解析】 【分析】(1)直接使用导数的几何意义： (2)先由题设条件得到a=2,再证明a=2时条件满足； （3)先确定f()的单调性，再对，分类讨论 【小问1详解】 第24页/共26页 命学科网命组卷网 由于f(=,故∫()=lmx+1 所以f(0=0,(0)=1,所以所求的切线经过，0)，且斜率为1，故其方程为y=x-1 【小问2详解】 设=1-1，测0=1 i1,从而当0<t<1时)<0，当1>1时()>0 所以h0在(0，上递减，在L,+o)上递增，这就说明h)≥h(D,即t-1≥lt,且等号成立当且仅当 t=1 设80)=a-)-2nt,则 1--同=--=小2h) 当x∈(0，+∞)时，√的取值范围是(0，+∞)，所以命题等价于对任意t∈(0，+0)，都有g()≥0. 一方面，若对任意1∈(0，+w）,都有3020，则对∈(0，w)有 0sg0=a--2=a-+2hag-0+2}-=am+号-a-2 取t=2,得0≤a-1,故a≥1>0， -层0a层28a-2=2-2=--,a-2 另一方面，若a=2,则对任意1∈(0，+)都有80=2-1)-211=2h0≥0，满足条件 综合以上两个方面，知4的值是2. 【小问3详解】 略 第25页/供26页 命学科网组卷网 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合（田的单调性进行分类讨论. 第26页/共26页 2023—2024学年第二学期联合教学质量检测 高二数学 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“是纯虚数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则的前100项和为（ ） A. 2475 B. 2500 C. 2525 D. 5050 5. 已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 6. 已知随机变量服从正态分布，设，则服从正态分布（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，侧棱长为 ，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线 10. 已知，则（ ） A. 展开式各项的二项式系数的和为 B. 展开式各项的系数的和为 C. D. 11. 在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为12 D. 的最小值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则________． 13. 设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数 的取值范围是__________. 14. 2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会，某市积极响应全民锻炼的号召，组织村级足球联赛，其中组有甲、乙、丙、丁4支足球队，每支球队都要跟组内其他球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，比赛结束时，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 16. 已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若恒成立，求实数λ的取值范围． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）D在边上， （ⅰ）若D是边的中点，，，求a； （ⅱ）若，，，求a． 18. 某技术部门需研发新型材料，研发过程中发现每次实验会得到型材料和 型材料之一．为测试新型材料是否能够稳定投产，制定了以下测试规则：每一轮测试都会进行两次实验，若两次实验均得到型材料，则测试成功并停止测试；否则将加大催化剂的剂量并进行新一轮的测试．已知第轮测试中每次实验得到 型材料的概率为． （1）如果最多进行3轮测试（第三轮测试不成功也停止测试），记测试轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）如果最多可进行轮测试（第轮测试不成功也停止测试），记为在第，2，，轮测试成功的概率，则测试成功的概率为． （i）求的值； （ii）求证：． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $