第09讲 图形的旋转（二）（3个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第09讲 图形的旋转（二）（3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【例1】（2022秋•温岭市期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为　　 A． B． C． D．【变式1】（2023秋•上城区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•宁波自主招生）函数，关于中心对称，则的坐标为 　　． 【变式3】（2021秋•临海市校级期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求的长及点的坐标． 知识点2．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【例2】（嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，再作图形关于点的中心对称图形，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•拱墅区二模）如图，在边长为10的正方形内部（不含边界）有一点，连结．过点作，且．连结，将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在点上，则的长为 　　． 【变式2】（2023•婺城区校级模拟）如图，在中，，，点在线段上，，，过点作直线交于点，在直线上取点，连接，将绕点逆时针旋转，使边与重合，得到． （1）的长是 　　． （2）若的面积等于5，则的长是 　　． 【变式3】（2023秋•路桥区期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是，． （1）作出关于原点对称的△，其中点的对称点为点； （2）直接写出点，的坐标． 知识点3．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 【例3】（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•衢江区期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•仙居县期末）如图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图，其作图过程为：取正八边形中心点，延长，交于点，以为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则　　． 【变式3】（2021•慈溪市模拟）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，的三个顶点都在格点上，请在该的网格中，分别按下列要求画一个与有公共边的三角形： （1）使得所画出的三角形和组成一个轴对称图形． （2）使得所画出的三角形和组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 经典题型汇编 题型一.求旋转对称图形的旋转角度 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图是海上风力发电装置，相同的三个转子叶片呈均匀分布．若图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 2．（浙江温州·中考真题）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是 度． 3．（浙江杭州·二模）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）． （1）求边在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数； （3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论． 题型二.求绕原点旋转90度的点的坐标 4．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，那么的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系．    (1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形； (2)写出点，的坐标． 题型三.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 7．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·浙江金华·期中）在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形网格中每个小正方形的边长都为1，线段的端点均在格点（网格线的交点）上，若线段是由线段绕点P旋转得到的，点的对应点M的坐标是，则点P的坐标是 ． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中有点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）．    (1)求的长度． (2)直接写出旋转中心的坐标． (3)将点绕着（2）中的旋转中心作与线段一样的旋转变化，直接写出对应点的坐标． 题型四.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 10．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 11．（21-22九年级上·浙江宁波·期中）已知点，则点绕原点顺时针旋转180°后的对应点的坐标为 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 题型五.坐标与旋转规律问题 13．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，，将绕点顺时针旋转得到……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则m的值为 ． 15．（19-20九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 题型六.旋转综合题（几何变换） 16．（20-21九年级上·浙江台州·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（　　） A． B．-1 C．0．5 D． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是 ． 18．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（    ） A． B． C． D． 2．（19-20九年级上·浙江宁波·期末）如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是(　　) A．轴对称 B．平移 C．绕某点旋转 D．先平移再轴对称 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个等边三角形放置于中，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应旋转的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（2023九年级上·浙江·专题练习）在在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 6．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，点A的坐标为，点C的坐标为，B的坐标为，将沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将绕点O逆时针旋转，此时B的对应点为，点C的对应点为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·浙江台州·期中）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ） A．2 B．3 C．3-3 D．3 9．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 10．（2023·浙江台州·一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（九年级上·浙江台州·期中）平面直角坐标系内Rt△ABO的顶点A坐标为（5，4），将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，顶点A的坐标为 ． 12．（全国·课后作业）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转 度后能与原来图形重合． 13．（2023·浙江丽水·一模）将含有角的直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ．      14．（九年级上·浙江温州·期中）如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为 ． 15．（2023·浙江金华·一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时， ． 16．（2020九年级·浙江绍兴·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，那么点A2020的坐标是 ． 三、解答题 17．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上． （1）若∠DAC=50°，则∠ABE= 度； （2）求证：BE⊥BC： （3）若点D是BC的中点，AC=2，求BE的值． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中，将绕点A顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D，E分别是点B，C的对应点）． (2)在图2中，请用无刻度直尺找出过A，B，C三点的圆的圆心，标出圆心O的位置． 19．（2022九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，如图所示，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)绕点C逆时针旋转得到，那么B的对应点的坐标为 　　； (3)是绕A点顺时针旋转得到，那么C的对应点的坐标为 　　． 20．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是，的对应点）．    (1)在图中画出，点的坐标为____________； (2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______； (2)在（1）的旋转过程中，求扫过图形的面积． 22．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①请求出点的坐标； ②将线段绕点B旋转，在旋转过程中，求线段的最大值． 23．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 24．（浙江金华·中考真题）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F（，）． （1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系； （2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．请你求出符合条件的抛物线解析式； （3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 图形的旋转（二）（3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【例1】（2022秋•温岭市期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【解答】解：点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 【变式1】（2023秋•上城区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，分别点的坐标规律，每6次一个循环，进而求出第2042次旋转后，点的坐标即可． 【解答】解：如图， 在中， ，，， ， ，， 由勾股定理得， ，， ， ，， ，， 由题意，可得：，，，，，，，，，，，．．．．，6次一个循环， ， 第2024次旋转后，点的坐标为，， 故选：． 【点评】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键． 【变式2】（2023•宁波自主招生）函数，关于中心对称，则的坐标为 　　． 【分析】设，将函数变形为），根据函数的特点求出，找出与的关系即可 【解答】解：设，则， ， ， ， 即， 关于成中心对称， 点的坐标为． 【点评】本题主要考查成中心对称的函数的对称中心，要求某个函数的对称中心，只要看函数否满足．掌握证明函数图象关于某点中心对称的证明方法即可． 【变式3】（2021秋•临海市校级期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求的长及点的坐标． 【分析】（1）根据点，点，可得是等腰直角三角形，当点落在边上时，，可得点的横坐标为，纵坐标为，即可得答案； （2）根据勾股定理得，由旋转性质可得，，继而得出和点的坐标． 【解答】解：（1）如图①， 点，点， ，是等腰直角三角形， ， 当点落在边上时，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为，； （2）如图②，当时， ，， 为等边三角形， ， 连接， 在和中， ， ， ，， 直线的函数解析式为， ， ，即， ， ， 点的坐标为，． 【点评】本题主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 知识点2．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【例2】（嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，再作图形关于点的中心对称图形，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可以写出点的坐标，然后根据与轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点的坐标，本题得以解决． 【解答】解：点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式1】（2024•拱墅区二模）如图，在边长为10的正方形内部（不含边界）有一点，连结．过点作，且．连结，将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在点上，则的长为 　　． 【分析】设，将绕着点顺时针旋转 到，连接、，则，，，，，，，由旋转的性质可知，，，证明四边形是正方形，则，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】解：设，如图，将绕着点顺时针旋转 到，连接、， ，，，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又：，， 四边形是正方形， ，， ，， 由勾股定理得，， 解得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键． 【变式2】（2023•婺城区校级模拟）如图，在中，，，点在线段上，，，过点作直线交于点，在直线上取点，连接，将绕点逆时针旋转，使边与重合，得到． （1）的长是 　6　． （2）若的面积等于5，则的长是 　　． 【分析】（1）根据旋转得出三角形全等，再根据勾股定理列方程求解； （2）根据三角形相似列方程求解． 【解答】解：（1）绕点逆时针旋转得到， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即． 故答案为：6； （2）过作于，设，， ，，， ， ，， ， ，即：， ， ， ， ， ，即：， ①， 的面积等于5， ②， 把①代入②得：， 解得：，或（舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图旋转变换，掌握全等三角形的性质和相似三角形的性质是解题的关键． 【变式3】（2023秋•路桥区期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点，的坐标分别是，． （1）作出关于原点对称的△，其中点的对称点为点； （2）直接写出点，的坐标． 【分析】（1）根据网格结构找出点、的对应点、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据所作图形得出点，坐标． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）由图可得，． 【点评】本题考查基本作图中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质是解答的关键． 知识点3．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 【例3】（2022秋•慈溪市期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【解答】解：， 旋转角是的整数倍， 这个角的度数可以是， 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 【变式1】（2023秋•衢江区期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是　　 A． B． C． D． 【分析】确定旋转中心和旋转角度，即可解决问题． 【解答】解：选项不能旋转得到，故不符合题意； 选项能旋转得到，故符合题意； 选项不能旋转得到，故不符合题意； 选项不能旋转得到，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了图形的旋转变换，熟练掌握旋转变换的特征是解题的关键． 【变式2】（2023秋•仙居县期末）如图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图，其作图过程为：取正八边形中心点，延长，交于点，以为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则　　． 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．设，则，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点． 正八边形中，，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查利用旋转设计图案，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式3】（2021•慈溪市模拟）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，的三个顶点都在格点上，请在该的网格中，分别按下列要求画一个与有公共边的三角形： （1）使得所画出的三角形和组成一个轴对称图形． （2）使得所画出的三角形和组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：即为所求（答案不唯一）； （2）如图所示：即为所求（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称变换，正确掌握相关定义是解题关键． 经典题型汇编 题型一.求旋转对称图形的旋转角度 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图是海上风力发电装置，相同的三个转子叶片呈均匀分布．若图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是． 【详解】解：∵该图形被平分成三部分， ∴， 故选：B． 2．（浙江温州·中考真题）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是 度． 【答案】90 【详解】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°． 故答案为90． 3．（浙江杭州·二模）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）． （1）求边在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数； （3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论． 【答案】（1）；（2）22.5°；(3)周长不会变化，证明见解析 【分析】（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 【详解】解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM． ∴BM=BN． 又∵BA=BC， ∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN， ∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=(∠AOC-∠MON)=(90°-45°)=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°． （3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN． ∴△OAE≌△OCN． ∴OE=ON，AE=CN． 又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM， ∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE． ∴MN=AM+CN， ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4． ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 题型二.求绕原点旋转90度的点的坐标 4．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点绕原点逆时针方向旋转，得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴, ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题． 5．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，那么的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于C，轴于，证明，得出，，根据，得出，，即可求出结果． 【详解】解：∵线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴． 作轴于C，轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 6．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系．    (1)画出绕点逆时针旋转后所得的图形； (2)写出点，的坐标． 【答案】(1)详见解析； (2)， 【分析】本题考查了作图-旋转变换， （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1即可得到； （2）根据图形直接得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作；    （2）由（1）中图可知，，． 题型三.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 7．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴于点C，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点C，    由旋转可得，轴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题的关键是掌握求点的坐标的常用方法． 8．（21-22九年级上·浙江金华·期中）在的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形网格中每个小正方形的边长都为1，线段的端点均在格点（网格线的交点）上，若线段是由线段绕点P旋转得到的，点的对应点M的坐标是，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接，作的中垂线，它们的交点就是点P，进而即可求解， 【详解】解：如图：连接，作的中垂线，它们的交点就是点P 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，旋转的性质，关键是掌握对应点连线的中垂线的交点就是旋转中心． 9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中有点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）．    (1)求的长度． (2)直接写出旋转中心的坐标． (3)将点绕着（2）中的旋转中心作与线段一样的旋转变化，直接写出对应点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可． （2）设旋转中心，根据，列出方程组计算即可． （3）根据，点，，确定旋转变换是以P为中心，逆时针旋转，计算即可． 【详解】（1）∵点，， ∴点． （2）设旋转中心， ∵点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）． ∴， ∴， 解得， 故旋转中心． （3）∵，点，， ∴，， ∴， ∴旋转变换是以P为中心，逆时针旋转， 设点O变换的对应点是M， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的判定和性质，两点间的距离公式，熟练掌握旋转性质是解题的关键． 题型四.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 10．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像与性质、旋转的性质分析解答即可． 【详解】解：对于函数，其图像开口向下，顶点坐标为（2，3）， 绕原点O旋转180°后，可知顶点坐标为（-2，-3），开口向上，开口大小不变， 所以，旋转后的函数解析式为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、二次函数的图像与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 11．（21-22九年级上·浙江宁波·期中）已知点，则点绕原点顺时针旋转180°后的对应点的坐标为 ． 【答案】（-3，-2） 【分析】根据A点绕原点旋转180度得到A1，即A1与A关于原点对称，而关于原点对称的点的坐标特征为横纵坐标都互为相反数，由此进行求解即可． 【详解】解：∵A（3，2）点绕原点旋转180度得到A1， ∴A1的坐标为（-3，-2）， 故答案为：（-3，-2）． 【点睛】本题主要考查了点绕原点旋转后的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称点的坐标特征． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 【答案】(1)图见解析 (2) (3)等腰直角三角形 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）由旋转可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，将点分别绕点O顺时针旋转得点，依次连接点， 即为所求；    （2）解：如图：    由旋转得：，，， ， 点的坐标是； （3）解：如图：    由旋转可得，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 题型五.坐标与旋转规律问题 13．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为: ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为: ，，则抛物线:，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可． 【详解】∵如图抛物线：， ∴图象与轴交点坐标为: ，， ∵将绕点旋转得，交轴于点， ∴抛物线:， ∴将绕点旋转得，交轴于点， …， 如此进行下去， ∴抛物线：， ∵， ∴在抛物线上， ∴当时，， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与几何变换，正确记忆旋转的特点，找到图形变换的规律是解题关键． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，，将绕点顺时针旋转得到……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则m的值为 ． 【答案】6 【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为∶ ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为∶ ，，则抛物线∶，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可． 【详解】∵如图抛物线：， ∴图象与轴交点坐标为∶ ，， ∵将绕点旋转得，交轴于点， ∴抛物线∶， ∴将绕点旋转得，交轴于点， …， 如此进行下去， ∴抛物线：， ∵， ∴在抛物线上， ∴当时，， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了二次函数与几何变换，正确记忆旋转的特点，找到图形变换的规律是解题关键． 15．（19-20九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 【答案】（1）；（2）；（3）当点M在x轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在y轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在各象限的角平分线上时，点的“绝对坐标”为 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标． （2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长． （3）点Mn的“绝对坐标”可分三类情况来一一当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时． 【详解】（1）由题得：OM0=M0M1， ∴M1的坐标为（1，1）． 同理M2的坐标为（0，2）， M3的坐标为（-2，2）， M4的坐标为（-4，0）， M5（-4，-4）； （2）由规律可知，OM5＝， M5M6=，OM6=8， ∴△ M5OM6的周长为8+； （3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴， 在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上， 但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数， 因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况： ①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则Mn； ②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点Mn； ③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点Mn 【点睛】本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识． 题型六.旋转综合题（几何变换） 16．（20-21九年级上·浙江台州·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（　　） A． B．-1 C．0．5 D． 【答案】B 【分析】分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小． 【详解】解：如图所示，连接AC ∵正方形边长为1 ∴AC= 当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小 ∴AE=AC-CE=-1 故选：B 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】将函数图象绕其顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将二次函数绕顶点旋转后，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键． 18．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到，即可证明． （2）连接，通过证明得到，进而证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴ ∵O为的中点， ∴， ∴． （2）成立，理由如下： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴即 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握选装前后对应边相等，对应角相等． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：不能由一个图形通过旋转而成的为是： ， 故选C． 2．（19-20九年级上·浙江宁波·期末）如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是(　　) A．轴对称 B．平移 C．绕某点旋转 D．先平移再轴对称 【答案】A 【分析】根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可． 【详解】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变换：旋转、平移和对称，等边三角形的性质，掌握图形的变换是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则每旋转4次则回到原位置，根据……3，即可得到第次旋转结束时，点C的坐标 【详解】解：如图，    由题可知，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵……3， ∴第次旋转结束后，图形逆时针旋转了， ∵点，点， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，找到点的最终位置是解题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个等边三角形放置于中，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应旋转的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：， 该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 5．（2023九年级上·浙江·专题练习）在在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转变换的性质画出图象即可解决问题． 【详解】解：观察图象可知，    故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题． 6．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，进而，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，又， ∴， ∴， 故选：B． 7．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，点A的坐标为，点C的坐标为，B的坐标为，将沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将绕点O逆时针旋转，此时B的对应点为，点C的对应点为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平移的性质和旋转变换以及全等三角形的判定和性质，根据点A平移后至坐标原点O，得到平移变换是向下平移3个单位，从而得到坐标，再根据旋转变换得到，即可求得点． 【详解】解：根据点A的坐标为，平移后点A平移至坐标原点O，则向下平移3个单位，那么，得到， ∵将绕点O逆时针旋转得到，过点作交y轴于点M，过点作交x轴于点N，如图， 由旋转性质得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴所以点的坐标为， 故选：C． 8．（21-22九年级上·浙江台州·期中）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ） A．2 B．3 C．3-3 D．3 【答案】D 【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’，得到△PP’B是等腰直角三角形，再由当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短，故可得到△APP’是等腰直角三角形，找到PC与AP的关系即可求解． 【详解】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’ 则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB 故△PP’B是等腰直角三角形 ∴∠PP’B=45° ∵∠BAP=∠CBP ∴∠BAP=∠ABP’ ∴BP’AP ∴∠APB=90° 当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短 ∴∠AP’B=90°+45°=135° ∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45° ∴△APP’是等腰直角三角形 ∴AP=AP’=6 ∴PC=AP’=3 故选D． 【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是根据题意找到AP’最短的情况． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理可得，再根据旋转性质可得，，，易得，然后在中由勾股定理求解即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 又∵将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上， 由旋转性质可得，，，， ∴， ∴在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 10．（2023·浙江台州·一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当、时，对应的函数值，进行判定即可． 【详解】解：由已知， 则抛物线的顶点为， 由旋转可知，抛物线的顶点为， 则抛物线解析式为：， 由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次， 由可知， 的函数值等于时的函数值， ∴时，， 由可知， 的函数值等于时的函数值， ∴时，， 故可知，点在图像上． 故选：C 【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应的函数解析式以及图像的循环规律． 二、填空题 11．（九年级上·浙江台州·期中）平面直角坐标系内Rt△ABO的顶点A坐标为（5，4），将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，顶点A的坐标为 ． 【答案】（-4,5） 【详解】试题分析：旋转前后两直角个三角形全等，在直角坐标系中画出图形就可知道A坐标．A点绕O点逆时针旋转90°后落在第二象限．它到x轴，y轴的距离分别为5，4．因此顶点A的坐标为（-4，5）． 考点：旋转变换，平面直角坐标系 12．（全国·课后作业）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转 度后能与原来图形重合． 【答案】72 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵360°÷5=72°， ∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合． 故答案为72． 13．（2023·浙江丽水·一模）将含有角的直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ．      【答案】 【分析】根据含的直角三角形的性质以及勾股定理求出、、的长度，画出三角板绕原点顺时针旋转，过点作轴于点，然后证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、作轴、轴于点、，    ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵轴、轴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴，， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键． 14．（九年级上·浙江温州·期中）如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为 ． 【答案】（2，2）或（2，-1） 【详解】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=- ∴设点A坐标为（2，m） 如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2 ∴∠APO=∠AQO′=90° ∴∠QAO′+∠AO′Q=90° ∵∠QAO′+∠OAQ=90° ∴∠AO′Q=∠OAQ 又∠OAQ=∠AOP ∴∠AO′Q=∠AOP 在△AOP和△AO′Q中 ∴△AOP≌△AO′Q（AAS） ∴AP=AQ=2，PO=QO′=m 则点O′坐标为（2+m，m-2） 代入y=x2-4x得：m-2=（2+m）2-4（2+m） 解得：m=-1或m=2 ∴点A坐标为（2，-1）或（2，2） 故答案是：（2，-1）或（2，2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键． 15．（2023·浙江金华·一模）如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时， ． 【答案】或 【分析】①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出； ②当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论． 【详解】∵为等腰直角三角形，， ， ①当点在点上方时，如图③， 过点作交的延长线于， 当时，可证， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 在中，根据勾股定理得，， ． ②当点在点下方时，如图④ 同①的方法得，，， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论． 16．（2020九年级·浙江绍兴·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，那么点A2020的坐标是 ． 【答案】（0，-1） 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1， ∴A（0，1）， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， ∴A1（，），A2（1，0），A3（，−），A4（0，-1）…， 发现是8次一循环，所以2020÷8＝252……4， ∴点A2020的坐标为（0，-1）． 故答案为:（0，-1）． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 三、解答题 17．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上． （1）若∠DAC=50°，则∠ABE= 度； （2）求证：BE⊥BC： （3）若点D是BC的中点，AC=2，求BE的值． 【答案】（1）65；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）由旋转的性质可得：AE=AB，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，即可推出∠ABE=∠AEB， ∠EAB=∠CAD=50°，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）先证明∠EBA=∠ACD，由∠ACD+∠ABC=90°，得到∠EBA+∠ABC=90°，即可推出∠EBC=90°，即可证明EB⊥BC； （3）先求出BD=2，BC=4，由旋转的性质可得BC=ED，则． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：AE=AB，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC， ∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，∠ABE=∠AEB， ∴∠EAB=∠CAD=50°， ∴， 故答案为：65； （2）∵AC=AD， ∴∠ADC=∠ACD， ∵∠DAC=∠EAB，∠AEB=∠ABE，∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°，∠AEB+∠ABE+∠EAB=180°， ∴∠EBA=∠ACD， ∵∠ACD+∠ABC=90°， ∴∠EBA+∠ABC=90°， ∴∠EBC=90°， ∴EB⊥BC； （3）∵D是BC的中点，∠BAC=90°， ∴AD=AC=DC=BD=2， ∴BC=4， 由旋转的性质可得BC=ED， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中，将绕点A顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D，E分别是点B，C的对应点）． (2)在图2中，请用无刻度直尺找出过A，B，C三点的圆的圆心，标出圆心O的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图，三角形外接圆的圆心．熟练掌握旋转作图，三角形外接圆的圆心是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据三角形外接圆的圆心为三角形任意两边垂直平分线的交点进行作图即可． 【详解】（1）解：如图（1），就是所求作的三角形． （2）解：如图（2），作线段的垂直平分线，交点O即为所求． 19．（2022九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，如图所示，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)绕点C逆时针旋转得到，那么B的对应点的坐标为 　　； (3)是绕A点顺时针旋转得到，那么C的对应点的坐标为 　　． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C关于原点的对应点、、，然后顺次连接作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：作出点A、B、C关于原点的对应点、、，顺次连接，则即为所求，如图所示： （2）解：如图所示， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）解：如图所示， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． 20．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是，的对应点）．    (1)在图中画出，点的坐标为____________； (2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图，然后作答即可； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图1，然后作答即可． 【详解】（1）解：由旋转作图，如图1，即所求，    ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图1， ∴． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______； (2)在（1）的旋转过程中，求扫过图形的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)扫过图形的面积为 【分析】（1）根据旋转中心，旋转方向及角度找出点A、B的对应点的位置，然后顺次连接即可，进而可直接得出点的坐标； （2）利用勾股定理求出的长，再根据所扫过的面积等于扇形的面积，然后列式计算即可． 【详解】（1）如图，即为所求，由图可知． 故答案为：； （2）由题意可知． ∵所扫过的面积等于扇形的面积，如图， 又∵， ∴， ∴扫过图形的面积为． 【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，扇形的面积计算．掌握旋转的性质和扇形的面积公式是解题关键． 22．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①请求出点的坐标； ②将线段绕点B旋转，在旋转过程中，求线段的最大值． 【答案】(1)， (2)①F点坐标为；②线段OF的最大值为 【分析】本题考查了反比例函数的综合性质． （1）利用待定系数法，将代入解析式中即可求出解析式，再将代入即可求出n的值； （2）①求出DC的直线解析式，推出线段DO和DC的长，利用翻折性质即可知F点的横坐标再代入解析式中即可求出坐标； ②由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上，结合图象即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入中得， ， 解得：， ∴反比例函数解析式为： ， ∵在反比例函数上， ∴； （2）解：①设直线DC的解析式为：，图象经过点、，将其代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则，解得， 令，则， ∴， 又∵将沿直线翻折，点落在第一象限内的点E处， ∴， 即点的横坐标为，且在反比例函数的图象上， ∴当时， ， 故F点坐标为； ②由①可知，，， ∴，， 由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上， 当旋转到线段的延长线上时，如图所示，为线段的最大值， ∴， 综上，线段绕点在旋转过程中，线段的最大值为． 【点睛】本题涉及了反比例函数、一次函数、旋转、圆外一点到圆上距离的最值等知识点，解题关键是求出反比例函数与一次函数的交点，得出点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上运动． 23．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2) (3)时，有最小值，为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，最小值问题． （1）设，则，根据勾股定理得计算即可． （2）分和不垂直，两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，配方，利用非负性质计算即可． 【详解】（1）设，则． ， ， 故， 解得， 故． （2）时，点与点重合，由（1）知，此时． 当与不垂直，且点在点右侧时，如图，过点作于点，由（1）可得，， ． ，． 为绕点顺时针旋转得到， 且， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 点在点右侧， 此时， 即，， ． 当点在点的左侧时，同理可得． ． （3）由（2）得，， 当，即时，有最小值，为． 24．（浙江金华·中考真题）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F（，）． （1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系； （2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．请你求出符合条件的抛物线解析式； （3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标． 【答案】解：（1）． A1C和DF的位置关系是平行． （2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF， ∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：，解得． ∴． ②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：，解得． ∴． ③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：，解得． ∴． （3）在旋转过程中，可能有以下情形： ①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示， 易求得点P坐标为（0，）． ②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示， 设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2， 易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b． 联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即，∴． ∵B′C′=1，∴根据题意易得：，∴，即． ∴，解得． ∴，解得x或． ∵点C′的横坐标较小，∴． 当时，． ∴P（，）． ③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示， 设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2． 易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为． 联立y=x2与得：，即，∴． ∵C′A′=1，∴根据题意易得：，∴，即． ∴，解得． ∴，解得x或． ∵点C′的横坐标较大，∴． 当时，． ∴P（，）． ④逆时针旋转45°，点A、B落在抛物线上． 因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在． ⑤逆时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图4所示， 与③同理，可求得：P（，）． ⑥逆时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图5所示， 与②同理，可求得：P（，）． 综上所述，点P的坐标为：（0，），（，），P（，，（，）． 【详解】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解． （2）首先明确△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解． （3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解． 考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$