训练(20) 综合检测(2)-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(二十)　综合检测(二) (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线l过点A，且方向向量为m＝，则点P到l的距离为(　　) A．2 B. C. D. 2.5的展开式中的常数项是(　　) A．－270 B．270 C．－540 D．540 3．《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有(　　) A．43种 B．34种 C．A种 D．C种 4．若某公司一共有3个食堂，现调研发现员工小王周一去知味餐厅的概率为，周二去知味餐厅的概率为，且小王周一不去知味餐厅的条件下周二去知味餐厅的概率是周一去知味餐厅的条件下周二去知味餐厅的概率的2倍，则员工小王周一、周二都去知味餐厅的概率为(　　) A. B. C. D. 5．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果X，服从正态分布N，其中60分为及格线，90分为优秀线．若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为(　　) 附：随机变量ξ服从正态分布N，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4. A．456 B．558 C．584 D．651 6．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999－2021年的GDP(国内生产总值)数据绘制出下面的散点图，该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模型一：y＝kx＋b；模型二：y＝kex＋b，下列说法正确的是(　　) A．变量y与x负相关 B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况 C．变量y与x有较强的线性相关性 D．若选择模型二，y＝kex＋b的图象不一定经过点 7．函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)仍是x的函数，通常把导函数y＝f′(x)的导数叫作函数y＝f(x)的二阶导数，记作y＝f″(x)．类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数…….一般地，n－1阶导数的导数叫作n阶导数，函数y＝f(x)的n阶导数记作y＝f(x)，例如y＝ex的n阶导数＝ex.若f(x)＝xex＋sin x，则f＝(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 8．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同．若2a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲袋中装有3个白球、2个红球和3个黑球，乙袋中装有2个白球、2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球．用A1，A2，A3分别表示从甲袋中取出的球是白球、红球和黑球，用B表示从乙袋中取出的2个球同色，则(　　) A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．A2，B相互独立 10．给出以下命题，其中正确的是(　　) A．直线l的方向向量为a＝，直线m的方向向量为b＝，则l与m平行 B．直线l的方向向量为a＝，平面α的法向量为n＝，则l∥α C．平面α，β的法向量分别为n1＝，n2＝，则α⊥β D．已知直线l过点A，且方向向量为，则点P到l的距离为 11．已知函数f(x)＝x2－x－ln x，则下列选项正确的是(　　) A．f>f B．f(x)既有极大值又有极小值 C．若方程m＝f有4个根，则m∈ D．若f＝f，则x1x2－＋1<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在即将举办的某表演中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为________． 13．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则f(2)，f(3)的大小关系为________． 14．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是365＝0.99365，一年后“进步”的是“退步”的＝365≈1 481倍．甲、乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”．如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都是20%，那么甲“进步”是乙“退步”的100倍需要经过的时间大约是________个月(四舍五入，精确到整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分)在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数)，四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示． (1)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ (2)若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？ 16．(15分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1.把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2. (1)求证：CD⊥AB； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．(15分)某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据： 文化艺术类 体育锻炼类 合计 男 100 300 400 女 50 100 150 合计 150 400 550 (1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关？ (2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投壶”活动．已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为，乙每只投中的概率为，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附表及公式： P 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 18．(17分)已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝e2x＋e－2x. (1)证明：g2－f2(x)－4＝0； (2)求x∈时，函数F(x)＝的最小值． 19．(17分)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点处的曲率K＝. (1)求曲线f(x)＝在点(1,1)处的曲率K1的值； (2)求正弦曲线g(x)＝sin x曲率K2的最大值． 答案 训练(二十)　综合检测(二) 1．B　点A，点P，∴＝，∴＝＝2. 又∵直线l的方向向量为m＝， ∴点P到l的距离 d＝＝＝.故选B. 2．A　由二项式5展开式的通项为Tr＋1＝C()5－rr＝(－3)r·Cx， 令15－5r＝0，可得r＝3， 所以展开式的常数项为(－3)3·C＝－270.故选A. 3．B　依题意，每个人选择方案有3种，所以4个人不同的选择方案有34种．故选B. 4．A　设“小王周一去知味餐厅”为事件A，“小王周二去知味餐厅”为事件B， 则有P＝，P＝1－P＝，P＝， 由题意可得P＝2P， P＝P·P＋P·P＝， 即有P＋×2P＝， 解得P＝， 则P＝PP＝×＝. 故选A. 5．B　抽测结果在及格线与优秀线之间的学生所占的比例为＋ ＝＝0.818 5， 故人数为682×0.818 5≈558，故选B. 6．D　对于A，由散点图可知y随年份 x的增大而增大，所以变量y与x正相关，所以A错误； 对于B、C，由散点图可知变量y与x 的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，所以B错误，C错误；对于D，若选择模型二：y＝kex＋b，令t＝ex，则y＝kt＋b的图象一定过点，不一定过点，故D正确．故选D. 7．C　依题意，f′(x)＝(x＋1)ex＋cos x， f″(x)＝(x＋2)ex－sin x， f(3)(x)＝(x＋3)ex－cos x， f(4)(x)＝(x＋4)ex＋sin x， f(5)(x)＝(x＋5)ex＋cos x， f(6)(x)＝(x＋6)ex－sin x， f(7)(x)＝(x＋7)ex－cos x， f(8)(x)＝(x＋8)ex＋sin x，…， 由此得f(4n)(x)＝(x＋4n)ex＋sin x， f(4n＋1)(x)＝(x＋4n＋1)ex＋cos x， f(4n＋2)(x)＝(x＋4n＋2)ex－sin x， f(4n＋3)(x)＝(x＋4n＋3)ex－cos x，n∈N*， 因此f(2 024)(x)＝(x＋2 024)ex＋sin x， 所以f(2 024)(0)＝2 024.故选C. 8．D　不妨设m＝2a，n＝2b，则m>0，n>0， 所以m＋n≥2，当且仅当m＝n时等号成立， 即0<mn≤，当且仅当m＝n时等号成立， 所以＝＝2＋m2＋n2＋1＝2＋2－2mn＋1 ＝2－2mn＋2＝2＋1， 所以当mn＝时，2－2mn＋2取得最小值， 故选D. 9．AC　由题意可知：P＝，P＝＝，P＝， P＝＝，P＝＝，P＝＝，故A正确； P＝PP＝×＝，故B错误； P＝PP＋PP＋PP ＝×＋×＋×＝， 即P＝，故C正确； 因为PP＝×＝，即P≠ PP，可知A2，B不相互独立，故D错误；故选AC. 10．CD　对于A，由于直线l的方向向量为a＝，直线m的方向向量为b＝， 则a≠λb，故直线l和直线m不平行，故A错误； 对于B，直线l的方向向量为a＝，平面α的法向量为n＝， 则a·n≠0，故B错误； 对于C，平面α，β的法向量分别为n1＝， n2＝， 则n1·n2＝4＋0－4＝0，故C正确； 对于D，由于A，P，则＝，方向向量为n＝， 故d＝＝＝，故D正确．故选CD. 11．ACD　对于A，f＝ln 2－<1，f＝2－ln 2>1，故A正确； 对于B，f(x)的定义域为，f′(x)＝2x－1－＝＝， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增， 所以f(x)只有极小值没有极大值，故B错误； 对于C，由B选项的解析知，f(x)的最小值为f＝0， 当x→0时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 把f(x)图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到 f的图象，如图所示， 方程m＝f有4个根等价于函数y＝m与函数y＝f的图象有4个交点， 则m∈，故选项C正确； 对于D，x1x2－＋1＝， 若f＝f， 由图可知：0<x1<1<x2或0<x2<1<x1，所以<0，故D正确． 故选ACD. 12．解析　添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 则只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以，不同的排法种数为A＝12×11＝132. 故答案为132. 答案　132 13．解析　因为y＝f(x＋4)为偶函数，所以f(x＋4)＝f(－x＋4)．令x＝2，得f(6)＝f(2)；令x＝1，得f(5)＝f(3)．又f(x)在(4，＋∞)上单调递减，所以f(6)＜f(5)，即f(2)＜f(3)． 答案　f(2)<f(3) 14．解析　经过x个月后，“进步”的是“退步”的比＝x≥100， 所以x≥100，两边取以10为底的对数得x≈x＝0.176 1x≥2，解得x≥≈11. 要使“进步”的是“退步”的100倍，则大约需要经过11个月．故答案为11. 答案　11 15．解析　(1)根据箱型图可知：甲班的75%分位数，中位数、25%分位数均高于乙班的对应数据， 故可以估计，甲、乙两班平均分较高的班级是甲班． (2)设事件A，B分别表示从甲班、乙班抽取1人，设C表示抽取的人分数小于128分； 根据题意可知，P＝P＝，由箱型图可知： P＝，P＝； 则P＝PP＋PP＝×＋×＝； 则P＝＝＝， P＝＝＝； 故在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分， 来自甲班的概率为，来自乙班的概率为. 16．解析　(1)证明　因为AD∥BC，且BC＝2AD＝2AB＝2，AB⊥BC， 可得AD＝AB＝，BD＝＝2， 又因为∠DBC＝∠ADB＝45°，可得CD＝＝2， 所以BD2＋DC2＝BC2，则CD⊥BD， 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD， 又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB； (2)由(1)知CD⊥BD， 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得A，B， C，D， 所以＝， ＝. 设平面ACD的法向量为n＝， 则 令x＝1，可得y＝0，z＝－1，所以n＝， 假设存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°， 设＝λ，(其中0≤λ≤1)，则N，＝， 所以sin 60°＝ ＝＝， 整理得8λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝或λ＝－(舍去)， 所以在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°，此时＝. 17．解析　(1)根据列联表中的数据可以求得 χ2＝＝≈3.819>2.706， 故有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关． (2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4， P＝22＝＝， P＝C2＋2C·＝＝， P＝CC＋2·2＋22＝， P＝C·2＋2C··＝＝， P＝22＝， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 数学期望E＝0＋＋＋＋＝. 18．解析　(1)证明　g2－f2(x)＝2－(ex－e－x)2＝－＝4， 即g2－f2(x)－4＝0； (2)当x∈时，函数u＝ex－e－x明显单调递增，故ex－e－x∈， 则F(x)＝＝＝＝. 令u＝ex－e－x，则对勾函数y＝u＋在上单调递增， 故ymax＝＋2×＝， 则F(x)min＝＝. 19．解析　(1)由f(x)＝得f′(x)＝－，f″(x)＝， 故f′＝－1，f″＝2， 所以曲线f(x)＝在点(1,1)处的曲率K1＝＝＝2－＝； (2)由题意得g′(x)＝cos x，g″(x)＝－sin x， 故K＝＝， 令t＝2－sin 2x，t∈，则K＝， 令p＝，t∈， 则p′＝＝<0， 故p＝在上单调递减， 则pmax＝p(1)＝1，即K的最大值为1， 由题意知曲线y＝f(x)在点处的曲率K＝>0，即K2>0， 故K2的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$