训练(19) 综合检测(1)-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十九)　综合检测(一) (满分150分　时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝， 集合 B＝， 则 A∩B＝(　　) A. B．{0,1,2} C. D．{1,2,3} 2．若函数f(x)＝x2＋x＋7是定义在(－2n,3n－3)上的偶函数，则f＋f＝(　　) A．34 B．25 C．16 D．9 3．已知函数f(x)＝若f(x)的值域是[－2,2]，则c的值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 4.6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为(　　) A．0 B．3 C．－1 D．－2 5．若曲线y＝(ax＋1)ex在x＝1处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 6．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为(　　) A. B. C. D. 7．如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 8．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形ABCD(AB>AD)的周长为4，沿AC折叠使点B到点B′位置，AB′交DC于点P.研究发现当△ADP的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB的长度为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是(　　) A．函数v(x)＝与u(x)＝表示同一函数 B．函数v(x)＝x2－2x＋2与u＝t2－2t＋2是同一函数 C．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 024的图象至多有一个交点 D．函数f(x)＝－x，则f＝0 10.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，P为空间一动点，若＝λ＋μ，则(　　) A．若λ＝μ，则点P的轨迹为线段BC1 B．若λ＋μ＝1，则点P的轨迹为线段B1C C．存在λ，μ∈，使得AP⊥BC D．存在λ，μ∈，使得AP∥平面A1B1C1 11．函数f(x)＝ex＋aln x定义域为D，下列命题正确的是(　　) A．对于任意正实数a，函数f(x)在D上单调递减 B．对于任意负实数a，函数f(x)存在最小值 C．存在正实数a，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0恒成立 D．存在负实数a，使得函数f(x)在D上有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量a＝，b＝，若a⊥b，则λ＝__________. 13．若事件A，B满足A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.8，则P(B|)＝________. 14．已知函数f(x)＝－x＋aln x有极值，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当x>0，y>0且满足＋＝1时，有2x＋y≥k2＋k＋2恒成立，求k的取值范围． 16．(15分)如图，直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BC∥AD，AB⊥BC，BC＝AB＝AD＝2，AA1＝3，M为AA1中点，N为CC1的三等分点(靠近点C)． (1)设二面角N­MD­A大小为α，求； (2)若点G在BB1上，且CG∥平面MND，求BG的长度． 17.(15分)2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚．某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格： 　　　　　　　　 　 　单位：人 市民 春节旅游意愿 愿意 不愿意 青年人 80 20 老年人 40 60 (1)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联； (2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为X，试求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)空调的出现是人们生活水平提高的一个标志，是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本f(x)万元，当年产量不足30千台时，f(x)＝5x2＋50x，当年产量不小于30千台时，f(x)＝301x＋－3 150.已知每台空调售价3 000元，且生产的空调能全部销售完． (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千台)的函数解析式； (2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润． 19．(17分)已知函数f(x)＝aln x－2x－. (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间和极值； (2)求f(x)在区间上的最大值． 答案 训练(十九)　综合检测(一) 1．A　根据题意可得，A∩B＝. 2．A　因为f(x)＝x2＋x＋7是定义在(－2n,3n－3)上的偶函数， 所以－2n＋3n－3＝0，得到n＝3， 显然m≠－1，由y＝f(x)图象关于y轴对称，得到m－1＝0，解得m＝1， 所以f(x)＝2x2＋7，满足要求， 得到f＋f＝f(3)＋f(1)＝25＋9＝34. 3．C　当－2≤x≤时，f(x)＝x2＋x＝2－∈， 因为f(x)的值域是，又f(x)＝logx在上单调递减，所以logc＝－2，所以c＝4. 4．D　对6，有Tr＋1＝Cr＝rCxr， 故6的展开式中x2的系数为 C＋a··C＋·2·C＝1－6a－15＝－2，即a＝－2. 5．D　由题意可得，直线x＋y＋1＝0的斜率为－， 因为切线与直线x＋y＋1＝0垂直，所以切线的斜率为＝e. 对函数y＝(ax＋1)ex求导，得到y′＝(ax＋a＋1)ex， 所以在x＝1处的切线斜率为(2a＋1)e， 所以(2a＋1)e＝e，解得a＝0. 6．D　依题意，记选“初心”队为事件A，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件M， 则P(A)＝P(B)＝0.5，P(M|A)＝0.8，P(M|B)＝0.7， 因此P(M)＝P(A)P(M|A)＋P(B)P(M|B)＝0.5×0.8＋0.5×0.7＝0.75， 所以选“使命”队参加比赛的概率P(B|M)＝＝＝＝. 7．C　取AB中点O，连接OC，OD，如图，以OD，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设AB＝2，则B(0,1,0)，D(1,0,0)，C(0,0，)，A(0，－1,0)， 又E，F分别为母线BC，AC的中点， 所以E，F， 则＝，＝， 设异面直线BF和DE所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝＝0，又θ∈，所以θ＝. 8．B　设AB＝x，由矩形ABCD(AB>AD)的周长为4，可知AD＝2－x. 设PC＝a，则DP＝x－a.因为∠APD＝∠CPB′， ∠ADP＝∠CB′P＝90°，AD＝CB′， 所以Rt△ADP≌Rt△CB′P，所以AP＝PC＝a. 在Rt△ADP中，由勾股定理得AD2＋DP2＝AP2， 即(2－x)2＋(x－a)2＝a2，解得a＝， 所以DP＝x－a＝. 所以△ADP的面积S＝AD·DP＝(2－x)·＝3－. 所以S≤3－2＝3－2，当且仅当x＝，即当x＝时等号成立，此时△ADP的面积最大，最大值为3－2. 9．BC　对于A：v(x)＝＝因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数v(x)＝x2－2x＋2与u＝t2－2t＋2定义域相同，解析式一致，故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 024的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为f(x)＝－x，所以f＝－＝0， 则f＝f(0)＝－0＝1，故D错误． 10．ABC　对于A：由＝λ＋μ，λ，μ∈，得点P在侧面BCC1B1内(含边界)， 若λ＝μ，则＝λ(＋)＝λ，故点P的轨迹为线段BC1，故A正确； 对于B：若λ＋μ＝1，则＝λ＋，所以－＝λ，即＝λ， 又λ∈，故点P的轨迹为线段B1C，故B正确； 对于C：分别取棱BC，B1C1的中点D，E，连接DE，由题意易证BC⊥平面ADEA1， 当点P在线段DE上时，AP⊥BC，故存在λ，μ∈，使得AP⊥BC，故C正确； 对于D：若使AP∥平面A1B1C1，则点P必在棱BC上，此时μ＝0，故不存在λ，μ∈， 使得AP∥平面A1B1C1，故D错误． 11．BD　函数f(x)＝ex＋aln x的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝ex＋， 当a>0时，f′(x)＝ex＋>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)＝ex＋aln x在(0，＋∞)上单调递增，故A错误； 对于∀a<0，设g(x)＝ex＋，x∈， 则g′(x)＝ex－>0，所以g(x)＝ex＋在(0，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当x→0时，f′(x)→－∞， f′(－a)＝e－a－1>0， 所以存在x0>0，使f′(x0)＝ex0＋＝0， 所以当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)在(0，x0)上单调递减， 当x>x0时，f′(x)>0，函数f(x)在上单调递增， 所以对于任意a∈，函数f(x)存在最小值f(x0)，故B正确； 因为当a<0时，函数f(x)存在最小值f(x0)，且ex0＋＝0，所以f(x0)＝ex0＋aln x0＝－＋aln x0＝a， 当a＝－ee＋1时，x0＝e，此时f(x0)<0， 所以存在a∈，使f(x0)＝ex0＋aln x0<0， 当x→0时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 此时函数f(x)在D上有两个零点，故D正确； 函数y＝ex，y＝－aln x，a>0的图象在(0，＋∞)有公共点， 所以对于任意a>0，f(x)有零点，故C错误． 12．解析　已知向量a＝，b＝， 若a⊥b，则a·b＝4＋λ＋4＝0，解得λ＝－8. 答案　－8 13．解析　因为P(A)＝0.3，所以P()＝0.7， 因为A⊆B，P(A)＝0.3，P(B)＝0.8， 所以P(B)＝P－P＝P－P＝0.5， 所以P＝＝. 答案　 14．解析　∵f(x)＝－x＋aln x(x>0)， ∴f′(x)＝－－1＋. ①若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f′(x)＝－－1＋≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴a≥x＋在(0，＋∞)上恒成立， 由于y＝x＋在(0，＋∞)上无最大值， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上不单调递增． ②若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 则f′(x)＝－－1＋≤0在(0，＋∞)上恒成立， ∴a≤x＋在(0，＋∞)上恒成立， 又x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， ∴a≤2. 综上可得当函数f(x)在其定义域上不单调时，实数a的取值范围是(2，＋∞)，此时f(x)有极值． 答案　 15．解析　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为或， 所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0， 所以解得 即a＝1，b＝2. (2)由(1)知于是有＋＝1， 故2x＋y＝＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，结合＋＝1，即时，等号成立， 依题意有min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2， 得k2＋k－6≤0，即－3≤k≤2， 所以k的取值范围为. 16．解析　(1)因为ABCD­A1B1C1D1是直棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD， 因为BC∥AD，AB⊥BC，所以AB⊥AD，所以AA1，AB，AD两两垂直， 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 由图可知A， C，D， N，M， 则＝，＝，＝， 设平面NMD的法向量n1＝， 则即 得所以可取n1＝， 同理可得平面MDA的法向量n2＝， 所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，所以＝. (2) 由图可知B， B1，C， 则＝(0，－2,0)， ＝， 因为点G在BB1上，设＝λ＝，则＝＋＝＋＝， 因为CG∥平面MND，所以⊥n1，即·n1＝·＝－6＋24λ＝0， 所以λ＝，即＝，BG＝BB1＝. 17．解析　(1)提出假设H0：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关． 依题意，得2×2列联表如下： 市民 春节旅游意愿 愿意 不愿意 合计 青年人 80 20 100 老年人 40 60 100 合计 120 80 200 所以χ2＝＝≈33.33>7.879＝x0.005. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立， 即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. (2)从样本中按比例分配选取10人， 则青年人愿意出游、青年人不愿意出游、老年人愿意出游、老年人不愿意出游的人数分别为4人、1人、2人、3人， 再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数X的所有可能取值为0,1,2,3,4， 且P＝＝＝， P＝＝＝， P＝＝＝， P＝＝＝， P＝＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 18．解析　(1)当0<x<30时，W(x)＝(0.3×1 000x)－200－5x2－50x＝－5x2＋250x－200， 当x≥30时，W(x)＝(0.3×1 000x)－200－301x－＋3 150＝2 950－x－， 所以W(x)＝ (2)当0<x<30时，W(x)＝－5(x－25)2＋2 925，当x＝25时，W(x)取得最大值2 925万元； 当x≥30时，W(x)＝2 950－. 因为x＋≥2＝120，当且仅当x＝60时，等号成立， 所以当x＝60时，W(x)取得最大值2 830万元． 因为2 925>2 830，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2 925万元． 19．解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－2x－，x∈， 则f′(x)＝－2＋＝ ＝， 当0<x<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x>1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 故函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是， 函数f(x)的极大值为f(1)＝－3，没有极小值． (2)由题意得f′(x)＝－2＋＝－＝－. 若a≥1，当x∈时，f′(x)≥0，f(x)在区间上单调递增， 此时f(x)的最大值为f(1)＝－2－a2； 若0<a<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 此时f(x)的最大值为f＝aln a－3a； 若－2<a<0，则0<－<1，当x∈时， f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 此时f(x)的最大值为f＝aln＋3a； 若a≤－2，则－≥1，当x∈时，f′(x)≥0， f(x)在区间上单调递增， 此时f(x)的最大值为f(1)＝－2－a2. 综上可得，f(x)max＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$