训练(18) 函数模型及其应用-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十八)　函数模型及其应用 1．函数的零点 函数的零点与方程的根的关系 零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得____________ 2.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 3.三种函数模型的性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与____平行 随x的增大，逐渐表现为与____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 一、选择题 1．函数f(x)＝2x＋x－4的零点所在区间为(　　) A．(－1,0) B. C. D. 2．震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级．能量E与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的(　　) A．100倍 B．512倍 C．1 000倍 D．1 012倍 3．三个函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<c<a 4．已知函数f(x)＝－a，g(x)＝x2－4＋2－a，则(　　) A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 5．已知函数f(x)＝2sin ＋1在区间上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6．已知函数f(x)＝，如果关于x的方程af2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实数根，则下列说法一定正确的是(　　) A．3a＋b>0 B．3a＋b<0 C．abc≥0 D．ab<0 7．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是(　　) A.＝0 B．函数y＝cos x－有3个零点 C．y＝的最小正周期为2π D．y＝的值域为 8. (多选)某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了A，B两种计件工资核算方案，员工的计件工资y(单位：千元)与其生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用A，B方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用A方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用B方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1 000时，该员工的计件工资最多为14 200元 9．已知函数f(x)＝若实数a，b，c满足f＝f＝f，则a＋b＝____；a＋b＋c的取值范围是________． 10．某商店销售A，B两款商品，利润(单位：元)分别为y1＝－x2＋23x和y2＝4x，其中x为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为__________． 11．已知函数f(x)＝的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是____________． 三、解答题 12.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟，0≤x≤60)的函数关系式，要求如下： (ⅰ)函数的图象接近图示； (ⅱ)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； (ⅲ)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； (ⅳ)每天得分最多不超过12分． 现有以下三个函数模型供选择： ①y＝k＋b(k>0)；②y＝k·1.01x＋b(k>0)；③y＝3log3＋m(k>0)． (1)请根据函数图象性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ (参考值：log3163≈4.63) 13．丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量φ(x)(单位：千克)与单株施肥量x(单位：千克)之间的关系为φ(x)＝且单株投入的年平均成本为10x元．若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为f(x)(单位：元)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 1．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 答案 训练(十八)　函数模型及其应用 【知识整合】 1．x轴　零点　f(a)·f(b)＜0　(a，b)　f(x0)＝0 3．递增　递增　y轴　x轴 【知能演练】 1．C　2.C　3.B　4.D　5.D　6.D 7．ACD　对于A，＝＝0，A正确； 对于B，当x＝＋kπ，k∈Z时，cos x＝0，则y＝cos x－＝0， 此时x＝＋kπ，k∈Z为y＝cos x－的零点，有无数个，B错误； 对于C，在区间[0,2π]上， y＝＝ 结合y＝cos x的最小正周期为2π，由此可得y＝的最小正周期为2π，C正确； 对于D，结合C的分析可知y＝的值域为，D正确． 8．ACD　从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3 000元，采用B方案核算的计件工资为×200＝元， 因为>3 000，所以该员工采用B方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当x>3时，员工采用A方案核算的计件工资y(单位：千元)与生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系式为y＝1.6x－1.8， 则当x＝10时，y＝14.2，即当某员工生产的产品件数为1 000时，该员工的计件工资最多为14 200元，D正确． 9．解析　由f(x)＝故f(x)在，上单调递减，在上单调递增，且有f(1)＝0，f(2)＝1，f(0)＝1，f＝1，f＝0,5－2＝3； 由f＝f＝f，则0≤a<1<b≤2<4≤c<5， 由x∈时，f(x)＝，则f(x)关于x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈. 答案　2　 10．170 11．解析　令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m＜2. 答案　[－1,2) 12．解析　(1)模型①y＝k＋b(k>0)，由图象过点，， 得解得k＝2，b＝0，y＝2，当x≥36时，y≥12，不符合； 模型②y＝k·1.01x＋b(k>0)为爆炸增长型函数，不符合， 故选模型③y＝3log3＋m(k>0)． 由题知，解得m＝－3，k＝， 所以y＝3log3－3，x∈. (2)由(1)知，y＝3log3－3， 令3log3－3≥9，得log3≥4， 解得x≥29.25， 所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟． 13．解析　(1)当0≤x≤3时，f(x)＝×10－10x＝10x2－10x＋320， 当3<x≤6时，f(x)＝×10－10x＝450－10x－， 故f(x)＝ (2)当0≤x≤3时，f(x)＝10x2－10x＋320开口向上，其对称轴为x＝， 所以其最大值为f(3)＝10×32－10×3＋320＝380， 当3<x≤6时，f(x)＝450－10x－＝450－≤450－2＝370， 当且仅当10x＝，即x＝4时，等号成立， 综上，施肥量为3 kg时，单株年利润最大为380元． 【真题体验】 1．D　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，所以＝－＝，且ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 则f＝sin，则f＝sin＝.故选D. 2．解析　设A，B，则x2－x1＝， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，ω(x2－x1)＝， ∴ω＝4.f＝sin＝0，＋φ＝kπ(k∈Z)， φ＝－π＋kπ(k∈Z)， k＝2时，φ＝－π，f(x)＝sin满足条件． ∴f(π)＝sin＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$