训练(17) 幂函数、指数函数和对数函数-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十七)　幂函数、指数函数和对数函数 1．幂函数的图象与性质 常见的5种幂函数的图象 性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过点________，即x＝____时，y＝____ 当x>1时，____；当0<x<1时，____ 当x>1时，____；当0<x<1时，____ 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 3.指数函数的图象与性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴________，过定点(0,1) 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 性 质 定义域 R 值域 ________ 单调性 ________ ________ 函数值 变化规 律 当x＝0时，________ 当x<0时，____；当x>0时，____ 当x<0时，____；当x>0时，____ 一、选择题 1．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c＝t，那么(　　) A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝ 2．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3．设a＝0.8－0.4, b＝log0.50.8, c＝log0.40.9，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－6x＋2)，则f的值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．1 5．函数f(x)＝log在上单调递减的一个充分不必要条件是(　　) A．a<－1 B．a≤0 C．a<1 D．a≤2 6．设方程2x＋x＋3＝0和方程log2x＋x＋3＝0的根分别为p，q，设函数f(x)＝，则(　　) A．f(2)＝f(0)<f(3) B．f(0)＝f(3)>f(2) C．f(3)<f(2)＝f(0) D．f(0)<f(3)<f(2) 7．(多选)已知函数f(x)＝2x－2－x，若x1<0，x1＋x2>0，则(　　) A．f－f>0 B．f－f<0 C．f＋f>0 D．f＋f<0 8．(多选)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则(　　) A．g(x)≥1 B．∀x∈R，f(2x－1)≤f恒成立，则0<m≤1 C．g2(x)≥f2(x)＋sin x D．f(x)f(y)＋g(x)g(y)＝g(x＋y) 二、填空题 9．若函数f(x)是幂函数，且满足f·f＝16，则f的值为________． 10．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点____________． 11．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：__________. ①f＝ff；②当x∈时，f(x)单调递增；③f(x)为R上的偶函数． 三、解答题 12．已知函数f(x)＝log(4－x2)＋2. (1)求f(x)的定义域； (2)求f(x)的单调区间； (3)求不等式f(x＋1)≤f(2x)的解集． 13．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”． (1)若函数f(x)＝log2(x＋m)在区间[－1,1]上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x)＝9x－m·3x＋1＋5在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 1．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案 训练(十七)　幂函数、指数函数和对数函数 【知识整合】 2．(1,0)　1　0　y>0　y<0　y<0　y>0 3．上方　(0，＋∞)　单调递增　单调递减　y＝1　0<y<1　y>1　y>1　0<y<1 【知能演练】 1．D　2.C　3.D　4.B　5.A　6.B 7．AC　因为f＝2－x－2x＝－f(x)且定义域为R，所以f(x)是奇函数． 因为函数y＝2x和y＝－2－x都是增函数，所以f(x)是增函数． 因为x1<0，x1＋x2>0，所以x1>－x2，f>f， 即f－f>0.故A正确，B错误； 因为f＝－f，所以f＋f>0，故C正确，D错误． 8．ACD　由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝ax，得f(－x)＋g(－x)＝a－x， 于是解得f(x)＝， g(x)＝，a>0且a≠1， 对于A，ax>0，a－x>0，则g(x)＝≥＝1，当且仅当x＝0时等号成立，A正确； 对于B，当a>1时，函数y＝ax在R上递增，y＝a－x在R上递减，则f(x)在R上递增， 因此∀x∈R，f(2x－1)≤f(mx2)⇔2x－1≤mx2⇔mx2－2x＋1≥0， 当m≤0时，取x＝1，mx2－2x＋1＝m－1<0不符合题意，则解得m≥1，B错误； 对于C，g2(x)－f2(x)＝(g(x)＋f(x))(g(x)－f(x))＝ax·a－x＝1≥sin x，C正确； 对于D，f(x)f(y)＋g(x)g(y)＝·＋·＝＝g(x＋y)，D正确． 9．解析　设f(x)＝xa，由f·f＝16，可得8a×a＝4a＝16，可得a＝2. 故f(x)＝x2，则f＝16. 答案　16 10. 11．解析　由性质①可联想到幂函数， 由性质②可知该幂函数的指数大于0， 由性质③可考虑将该幂函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数， 综上，可考虑f(x)＝a或f(x)＝xa(a为正偶数)或f(x)＝x， 不妨取a＝2，得f(x)＝x2. 答案　f(x)＝x2(答案不唯一) 12．解析　(1)函数f(x)＝log(4－x2)＋2中，由4－x2>0，解得－2<x<2， 所以f(x)的定义域为. (2)函数y＝4－x2在上单调递增，在上单调递减，函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是. (3)由f(－x)＝log(4－x2)＋2＝f(x)，得函数f(x)为偶函数， 由(2)知，f(x)在上单调递增，则f(x＋1)≤f(2x)⇔f(|x＋1|)≤f(|2x|)， 因此|x＋1|≤|2x|<2，即(x＋1)2≤4x2<4， 解得－1<x≤－， 所以原不等式的解集是. 13．解析　(1)由x＋m>0在[－1，上有意义， 故－1＋m>0，即m>1， 因为f(x)＝log2(x＋m)在区间[－1，上为“局部奇函数”， 故在[－1，上存在实数x满足f(－x)＝－f(x)， 所以log2(－x＋m)＝－log2(x＋m)，即log2(m2－x2)＝0， 所以m2－x2＝1，故m2＝x2＋1∈[1，，又m>1， 故m的取值范围为(1，)； (2)由题意得，存在x∈R，使得f(－x)＝－f(x)， 则9－x－m·3－x＋1＋5＝－9x＋m·3x＋1－5， 整理得，9x＋9－x－3m·(3x＋3－x)＋10＝0， 即(3x＋3－x)2－3m·(3x＋3－x)＋8＝0①， 令3x＋3－x＝t，则t≥2， 可化为m＝＝， 所以m＝在t≥2时有解， 令g(t)＝，t≥2，故t＋≥4，当且仅当t＝2时等号成立，所以m≥. 故m的取值范围为. 【真题体验】 1．D　因为f＝为偶函数，则f－f＝－＝＝0，又x不恒为0，可得ex－ex＝0，即ex＝ex，则x＝x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 2．B　∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)， ∴(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，∴a＝0.经检验，a＝0符合题意，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$