训练(16) 函数概念与性质-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十六)　函数概念与性质 1．函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有____________，那么称y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有____________，那么称y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈A，都有________； (2)∃x0∈A，使得________ (1)∀x∈A，都有________； (2)∃x0∈A，使得________ 结论 M为最大值 M为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果∀x∈A，都有－x∈A，并且________，那么称函数y＝f(x)是偶函数 关于________对称 奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A，并且________，那么称函数y＝f(x)是奇函数 关于________对称 4.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且____________，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个________的正数，那么，这个________就叫作f(x)的最小正周期． 一、选择题 1．已知函数f(x)＝则f＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．已知f(x)对于任意x，y∈R，都有f＝f(x)·f，且f＝2，则f＝(　　) A．4 B．8 C．64 D．256 4．若定义在R上的偶函数f(x)在上单调递增，则f，f，f的大小关系为(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f D．f>f>f 5．函数f(x)＝的大致图象为(　　) 6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，若f＝0，则xf(x)>0的解集是(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(0,3) D．(－3,0)∪(0,3) 7．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．若a，b∈I，当a<b时，f<f，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数f(x)＝x2在上单调递增 C．函数f(x)＝－在定义域内为增函数 D．函数f(x)＝的单调增区间为∪ 8．(多选)对于函数f(x)，若存在非零常数T，m，使得∀x∈R，都有f＝f(x)＋m，则称f(x)为广周期函数，广周期为T.已知函数g(x)满足∀x∈R，g＝g(x)，h(x)＝g(x)＋x，则下列结论正确的是(　　) A．若g(1)＝1，则g＝1 B．h(x)是广周期函数 C．若f(x)为广周期函数，则f(x)的广周期只有一个 D．若h(x)在上的值域为，则h(x)在上的值域为 二、填空题 9．已知函数y＝f(x)的值域为，则函数y＝f的值域为__________． 10．定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f(x)＝min，若f(x)>1，则x的取值范围是____________． 11．若函数f(x)与g(x)对于任意x1，x2∈，都有f·g≥m，则称函数f(x)与g(x)是区间上的“m阶依附函数”．已知函数f(x)＝3x－2与g(x)＝x2－ax－a＋6是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题 12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2. (1)请画出函数f(x)的图象，并求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝4－x2，对∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max，写出函数M(x)的解析式(不需要写解答过程)，并求M(x)的最小值． 13.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同．上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定．设上课开始x分钟时，学生的接受能力为f(x)(f(x)值越大，表示接受能力越强)，f(x)与x的函数关系为： f(x)＝ (1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)若一个数学难题，需要56及以上(即f(x)≥56)的接受能力以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？ 1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 2．(2023·上海卷)已知函数f(x)＝(a，c∈R)． (1)当a＝0时，是否存在c，使得f(x)为奇函数？ (2)若函数f(x)的图象过点(1,3)，且f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点，求c的值及a的取值范围． 答案 训练(十六)　函数概念与性质 【知识整合】 1．f(x1)＜f(x2)　f(x1)＞f(x2) 2．f(x)≤M　f(x0)＝M　f(x)≥M　f(x0)＝M 3．f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点 4．(1)f(x＋T)＝f(x)　(2)最小　最小的正数 【知能演练】 1．B　2.B　3.D　4.A　5.B　6.A 7．ACD　对A：根据单调性的定义，A选项中的a，b不具有任意性，故A错误；对B：f(x)＝x2，根据二次函数的单调性易知，其在[0，＋∞)上单调递增，故B正确；对C：f(x)＝－在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增，在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调增函数，故C错误；对D：函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递减，没有单调增区间，故D错误． 8．ABD　对于选项A：因为∀x∈R，g＝g(x)，可知1为g(x)的周期， 若g(1)＝1，则g＝g(1)＝1，故A正确； 对于选项B：因为h＝g＋x＋1＝g(x)＋x＋1＝h(x)＋1， 可知h(x)是广周期函数，且1为广周期，故B正确； 对于选项C：若f(x)为广周期函数，可知存在非零常数T，m，使得∀x∈R，都有f＝f(x)＋m，则对任意k∈N*， 则f＝f＋m＝f(x＋(k－2)T)＋2m＝…＝f(x)＋km， 注意到km≠0，可知kT为f(x)的广周期， 所以f(x)的广周期不唯一，故C错误； 对于选项D：由选项B、C可得：h＝h(x)＋k，k∈N*， 即h(x)＝h＋k，k∈N*， 因为x∈，h(x)∈， 若x∈，则x－2∈，h∈， 所以h(x)＝h＋2∈； 同理可得：若x∈，x－3∈，则h(x)＝h＋3∈； 若x∈，x－4∈，则h(x)＝h＋4∈； 综上所述：h(x)在上的值域为，故D正确． 9．解析　函数y＝f的图象是通过以下操作得到的： 首先将函数y＝f(x)上所有点的横坐标缩小到原来的得到y＝f， 然后将函数y＝f的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f的图象， 以上操作过程中不改变函数图象的“高度”， 也就是说函数y＝f的值域和函数y＝f(x)的值域一样，都是.故答案为：. 答案　 10．解析　令x2－3x＋3≥3－|x－3|，解得x≤1或x≥3， 令x2－3x＋3<3－|x－3|，解得1<x<3， 当x≤1或x≥3时，f(x)＝3－|x－3|，由f(x)>1，可得：1<x<5，所以3≤x<5； 当1<x<3时，f(x)＝x2－3x＋3，由f(x)>1，可得：x<1或x>2，所以2<x<3. 综上，由f(x)>1，可得2<x<5. 答案　 11．解析　因为函数 f(x)＝3x－2 在上单调递增， 所以当x∈[1,2] 时， 1≤f(x)≤4， 依题意， 对任意x1，x2∈[1,2] 时， 都有f·g≥2， 对任意x1，x2∈[1,2] 时， 都有g≥， 即g(x)min≥max，因为max＝2, 所以当<1, 即a<2 时， g(x)min＝g(1)＝7－2a≥2, 解得 a≤， 又因为a<2，故a<2. 当>2, 即 a>4 时， g(x)min＝g(2)＝10－3a≥2, 解得a≤ (舍去)； 当1≤≤2, 即 2≤a≤4 时， g(x)min＝g＝－－a＋6≥2，化简得a2＋4a－16≤0，解得－2－2≤a≤－2＋2， 又因为2≤a≤4，解得2≤a≤－2＋2. 综上， 实数a 的取值范围为 . 答案　 12．解析　(1)设x<0，则－x>0，则f＝－x＋2， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)＝f＝－x＋2， 则f(x)＝函数f(x)的图象，如图所示． (2)因为M(x)＝max， 当x<0时，令－x＋2＝4－x2，解得x＝－1， 则当x<－1时，－x＋2>4－x2， 当x>0时，令x＋2＝4－x2，解得x＝1， 则当x>1时，x＋2>4－x2， 所以M(x)＝ 画出函数M(x)的图象，如图所示，结合图象可知，当x＝±1时，M(x)min＝3. 13．解析　(1)由题意可知，当0<x≤10时， f(x)＝－0.12＋60.9， 所以当x＝10时，f(x)的最大值为60， 因为当10<x≤15时，f(x)＝60， 当15<x≤25时，f(x)<f＝60， 当25<x≤40时，f(x)＝30. 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟． (2)当0<x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋44≥56， 解得6≤x≤10， 当10<x≤15时，f(x)＝60>56，满足要求， 当15<x≤25时，f(x)＝－3x＋105≥56， 解得15<x≤16， 因为16－6＝10(分钟)<12(分钟)， 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题． 【真题体验】 1．B　f(x)＝－1＋，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y＝f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x－1)＋1的图象，且该图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x－1)＋1是奇函数，故选B. 2．解析　(1)当a＝0时，f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(1)＝2＋c，f(－1)＝－c，显然f(1)≠－f(－1)，∴当a＝0时，f(x)不可能为奇函数， ∴当a＝0时，不存在c，使得f(x)为奇函数． (2)由题意得f(1)＝＝3， ∴3a＋c＋2＝3a＋3，∴c＝1， ∴f(x)＝. ∵f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点， ∴关于x的方程x2＋(3a＋1)x＋1＝0有两个不同负实数根x1，x2，且x1≠－a，x2≠－a， ∴解得a>且a≠， ∴实数a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$