训练(15) 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十五)　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1．不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔________ ⇔ 传递性 a＞b，b＞c⇒________ ⇒ 可加性 a＞b⇔________ ⇔ 可乘性 ⇒________ ⇒________ c的符号 同向可加性 ⇒________ ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac＞bd ⇒ 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(a＞0) 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ __________ R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ∅ ________ 3.基本不等式 (1)基本不等式≤成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立． (3)其中________称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． 一、选择题 1．下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－d>b－c C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a>b，则> 2．若a>0，b>0，则“a＋b＝1”是“ab≤”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．定义二阶行列式＝ad－bc，则“>”是“x2－3x>0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 5．若关于x的不等式x2－x＋m<0的解集中恰有三个整数，则实数m的取值范围为(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D. 6．当x>0，y>0时，≥.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：10×9≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039 7．(多选)若关于x的不等式ax2＋bx＋>0的解集为，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．a＝2b C．－ax2＋x＋b≥0的解集为(－∞，－1]∪ D．f(x)＝ax2＋bx＋的最小值为 8．(多选)已知正实数x，y满足2x＋y＝xy，则(　　) A．xy≥16 B．x＋2y≥9 C．x＋y>6 D.＋≥3 二、填空题 9．已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为____________． 10．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则______(填“甲”或“乙”)的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)． 11．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使<<成立．这样的n的最大值是________________________________________________________________________． 三、解答题 12．已知函数f(x)＝ax2＋x＋c满足：①f(1)＝5；②f(2)<12. (1)求f(x)的解析式； (2)若对任意的实数x∈，f(x)－mx≤1恒成立，求实数m的取值范围． 13. 为了丰富学生的课余生活，给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园ABCD的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园AMPN.为了方便施工，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝30 m，AD＝20 m. (1)当DN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积； (2)要使矩形AMPN的面积大于3 200 m2，则DN的长应在什么范围内？ 1．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 2．(2021·上海卷)不等式<1的解集为________． 答案 训练(十五)　从函数观点看一元二次方程 和一元二次不等式 【知识整合】 1．b＜a　a＞c　a＋c＞b＋c　ac＞bc　ac＜bc　a＋c＞b＋d 2．{x|x＜x1或x＞x2}　{x|x≠x1}　{x|x1＜x＜x2}　∅ 3．(2)a＝b　(3) 【知能演练】 1．B　2.A　3.A　4.B　5.A　6.C 7．BC　根据题意，关于x的不等式ax2＋bx＋>0的解集为， 所以ax2＋bx＋＝0的两根为x1＝－1，x2＝， 则解得 所以a<0，a＝2b，即A错误，B正确； 且－ax2＋x＋b≥0为x2＋x－≥0， 解得x≤－1或x≥， 所以－ax2＋x＋b≥0的解集为∪，C正确； f(x)＝ax2＋bx＋＝－x2－x＋＝－2＋， 所以f(x)＝ax2＋bx＋的最大值为，D错误． 8．BD　正实数x，y满足2x＋y＝xy，则＋＝1， 对于A，xy＝2x＋y≥2，则xy≥8， 当且仅当即x＝2，y＝4时，等号成立，故A错误； 对于B，x＋2y＝＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当即x＝y＝3时，等号成立，故B正确； 对于C，由选项A知，当x＝2，y＝4时，2x＋y＝xy成立，此时x＋y＝6，故C错误； 对于D，由＋＝1，得＝，x>1，则 ＋＝－1＋≥2－1＝3， 当且仅当＝，即x＝2时，等号成立，故D正确． 9．解析　∵＝＝a－b，又a>b>0，∴>1， a－b>0，∴ a－b>1，即>1.又abba>0，aabb＞0，故aabb＞abba. 答案　aabb>abba 10．解析　由题意得甲购买该用品的平均单价为＝， 乙购买该用品的平均单价为＝， 因为a≠b，可得－＝>0， 所以>， 即乙的购买方式更优惠． 答案　乙 11．解析　由<<得，>1＋>， 即n<k<n. 又由整数k的唯一性知，n－n≤2，解得n≤112， 而n＝112时，n＝96，n＝98，满足n<k<n的整数k只有97，故符合． 答案　112 12．解析　(1)依题意可得 ②－①得3a＋1<7，则a<2， 又a∈N*，所以a＝1，代入①得c＝3，所以f(x)＝x2＋x＋3. (2)因为x2＋x＋3－mx≤1在x∈上恒成立， 整理得x2＋x＋2≤0在x∈上恒成立， 记g(x)＝x2＋x＋2， 则解得m≥. 故实数m的取值范围为. 13．解析　(1)设DN的长为x m， 则AN＝ m，AB＝30 m，AD＝20 m. ∵CD∥AM，∴＝，∴AM＝， ∴矩形AMPN的面积S＝·＝＝30x＋＋1 200(x>0)， 由基本不等式得30x＋＋1 200≥2＋1 200＝2 400， 当且仅当30x＝，即x＝20时，等号成立， ∴当x＝20，即DN＝20 m时，Smin＝2 400 m2； (2)由(1)得>3 200， 即3x2－200x＋1 200>0，∴(x－60)(3x－20)>0， ∴0<x<或x>60，∴DN的范围为∪. 【真题体验】 1．BC　由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤32， 当且仅当x＝y＝±1时，等号成立，所以(x＋y)2≤4， 即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 因为－≤xy≤， 所以－≤x2＋y2－1≤， 所以≤x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC. 2．解析　<1⇔－1<0⇔<0⇔(x＋7)·(x－2)<0，解得－7<x<2.故答案为{x|－7<x<2}． 答案　{x|－7<x<2} 学科网（北京）股份有限公司 $$