训练(11) 二项分布、超几何分布与正态分布-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十一)　二项分布、超几何分布与正态分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验． (2)n重伯努利试验 ①定义：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验； ②特征：(ⅰ)同一个伯努利试验重复做n次；(ⅱ)各次试验的结果相互独立． 2．二项分布 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，称随机变量X服从二项分布，记作____________． 3．超几何分布 一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3，…，l，l＝min{n，M})，则称X服从超几何分布． 4．正态分布 (1)正态密度函数：P(x)＝e－，x∈R. (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线________对称； ②曲线在________处达到峰值 . 一、选择题 1．已知随机变量X～N，Y～B，且P＝，E(X)＝E，则p＝(　　) A. B. C. D. 2．下列命题正确的是(　　) A．数据－1,1,2,4,5,6,8,9的中位数是5 B．若随机变量X满足D(X)＝2，则D＝1 C．已知随机变量X～B，若E＝9，则n＝4 D．若随机变量X～N，P(X>2)＝0.62，则P(3<X<4)＝0.12 3．已知正态分布N的正态密度曲线如图所示，X～N，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是(　　) A.－P B.－P C.－P D.P－P 4．下列命题错误的是(　　) A．若数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为S，则数据3x1,3x2,3x3，…，3xn的标准差为3S B．若X～B，D(X)＝，则P＝ C．若X～N，P(X>0)＝0.75，则P(0<X<2)＝0.5 D．若X为取有限个值的离散型随机变量，则2≥E 5．重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩X～N，那么D等级的原始分最高大约为(　　) 附：①若X～N，Y＝，则Y～N(0,1)；②当Y～N(0,1)时，P(Y≤1.5)≈0.9. A．23 B．29 C．26 D．43 6．某电器厂购进了两批电子元件，其中第一批电子元件的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布，且使用寿命不少于1 200小时的概率为0.1，使用寿命不少于800小时的概率为0.9.第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8，使用寿命不少于1 000小时的概率为0.6，且这两批电子元件的使用寿命互不影响．若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个，则在1 000小时内这两个元件都能正常工作的概率为(　　) A. B. C. D. 7．(多选)已知某地区十二月份的昼夜温差X～N，P＝，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝8 B．若P＝，则P＝ C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为 8．(多选)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B，那么当n比较大时，X近似服从正态分布N，其密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈R.任意正态分布X～N，可通过变换Z＝转化为标准正态分布Z～N.当Z～N时，对任意实数x，记Φ(x)＝P(Z<x)，则(　　) A．Φ(x)＋Φ＝ B．当x>0时，P(－x≤Z<x)＝2Φ(x)－1 C．随机变量X～N，当μ减小，σ增大时，概率P(<σ)保持不变 D．随机变量X～N，当μ，σ都增大时，概率P(<σ)增大 二、填空题 9．已知随机变量X，Y满足2X＋Y＝4，若X～B，则D＝__________. 10．袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则随机变量X的数学期望为________． 11．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式．若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布N1(38,25)；若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布N2(45,9)；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布N3(36,16)．若小明上午8：12从家里出发，则选择________(填“自驾”“公交”或“地铁”)上班迟到的可能性最小． 参考数据：若X～N ，则P≈68.3%，P≈95.4%，P≈99.7% 三、解答题 12．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择． 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答． 已知这6个问题中，甲、乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲、乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二． (1)求甲、乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由． 13.襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用(单位：千元)，寒假期间对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 (支出费用) [10,12] [12，14] [14，16] 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于10 000元的概率； (2)若襄阳市民的旅游支出费用X近似服从正态分布N(μ，σ2)，μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，σ近似为样本标准差s，并已求得s≈3，利用所得正态分布模型解决以下问题： (ⅰ)假定襄阳市常住人口为500万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在15 000元以上； (ⅱ)若在襄阳市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9 000元以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 2．(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________. 答案 训练(十一)　二项分布、超几何分布与正态分布 【知识整合】 2．X～B(n，p) 4．(2)①x＝μ　②x＝μ 【知能演练】 1．D　2.D　3.C　4.D　5.C　6.B 7．ABD　对于A，因为X～N，P＝， 所以E(X)＝μ＝8，故A正确； 对于B，∵P＝， ∴P＝＝，故B正确； 对于C，P＝1－＝1－＝，故C错误； 对于D，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2， 所以E＝＝＝，故D正确． 8．BC　对于A，根据正态曲线的对称性可得：Φ(－x)＝P(Z<－x)＝P(Z≥x)＝1－P(Z<x)＝1－Φ(x)， 即Φ(x)＋Φ＝1，故A不正确； 对于B, 当x>0时，P(－x≤Z<x)＝1－P(Z＜－x)－P(Z≥x)＝1－2P(Z≥x)＝1－2＝2Φ(x)－1，故B正确； 对于C，D，根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值， x＝μ即为图象的对称轴，根据3σ原则可知X数值分布在的概率是常数， 故由P(<σ)＝P(μ－σ<X<σ＋μ)可知，C正确，D错误． 9．解析　由X～B，得D(X)＝9××＝2，由2X＋Y＝4，得Y＝4－2X， 所以D(Y)＝D(4－2X)＝4D(X)＝8. 答案　8 10．解析　设袋中白球数为n. 设从中任摸2个球至少得到1个白球为事件A，任取两球无白球为事件， 所以P＝＝， 解得n＝5，即袋中有5个白球． 所以离散型随机变量X的取值可能为：0,1,2,3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案　 11．解析　由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到； 若选择自驾，则P(X>48)＝P(X>μ＋2σ)≈； 若选择地铁，则P(X>48)＝P(X>μ＋σ)≈； 若选择公交，则P(X>48)＝P(X>μ＋3σ)≈， 而>>， 故选择公交上班迟到的可能性最小． 答案　公交 12．解析　(1)设甲、乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件A与事件B， 则P＝C2·2＝，P＝＝＝； 所以P＝×＝； (2)设甲教师得分数为X，则答对题数为，有～B， 故E(X)＝2E＝2×4×＝，D(X)＝4D＝4×4××＝， 设乙教师得分数为Y，则Y的可能取值为4,6,8， P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝＝，P(Y＝8)＝＝， 则E(Y)＝4×＋6×＋8×＝＝， D(Y)＝×2＋×2＋×2＝， 所以E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，则乙老师更为稳定，故选择乙老师． 13．解析　(1)样本中总共100人，其中旅游支出不低于10 000 元的有33人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于10 000元的概率为P＝＝＝； (2)(ⅰ)计算＝1×＋3×＋5×＋7×＋9×＋11×＋13×＋15×＝9， 所以μ＝9，σ＝3，X服从正态分布N(9,32)， P(X≥15)＝P(X≥9＋2×3)＝×[1－P(9－6≤X≤9＋6)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75， 500×0.022 75＝11.375(万)， 估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15 000 元以上； (ⅱ)由(ⅰ)知，μ＝9 000，则P(X>9 000)＝， ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝C·3＝， P(ξ＝1)＝C··2＝， P(ξ＝2)＝C·2·＝， P(ξ＝3)＝C·3＝； 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 均值为E(ξ)＝3×＝. 【真题体验】 1．D　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D. 2．解析　P(ξ＝2)＝＝. ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 答案　　 学科网（北京）股份有限公司 $$