训练(10) 离散型随机变量及其分布列、数字特征-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(十)　离散型随机变量及其分布列、数字特征 1．离散型随机变量的分布列 (1)对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X为随机变量．像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． (2)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为离散型随机变量X的____________，简称为X的分布列． (3)分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P ________ p 我们称离散型随机变量X服从0－1分布或两点分布． 3．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1. (1)均值 称E(X)＝____________________＝ipi为随机变量X的均值或________，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的________，记作σ(X)． 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度． (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝____________； ②D(aX＋b)＝____________.(a，b为常数) 一、选择题 1．已知离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y＝2X＋1，则P(Y≥5)＝(　　) X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 2．已知随机变量ξ的分布列，则E(ξ)＝(　　) ξ 0 1 2 P a 2a－ A. B. C. D. 3．已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，X表示抽到的次品的件数，则D(X)＝(　　) A．9.5 B．10.5 C．11.5 D．12.5 4．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望E(X)＝(　　) A. B. C. D. 5．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则D(1－3ξ)＝(　　) ξ －1 0 1 P a a2 A. B．2 C. D. 6．已知随机变量Xi(i＝1,2)的分布列如表所示： Xi 0 ＋pi 1＋pi p pi －pi 其中0<pi<，若p1<p2，且p1＋p2＝，则(　　) A．E＝E，D＝D B．E>E，D>D C．E＝E，D>D D．E<E，D<D 7．(多选)甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为Pi，第i次回答问题结束后甲的得分是Ki，则(　　) A．P2＝ B．P＝ C．Pi＋1＝Pi＋ D．E＝Pi＋Ki－1 8．(多选)甘肃省人民政府于2021年9月11日印发实施《甘肃省深化高等学校考试招生综合改革实施方案》，规定“从2021年秋季入学的普通高中一年级学生开始，实行基于统一高考和高中学业水平考试成绩、参考综合素质评价的高校考试招生模式”，即：统一高考科目为语文、数学、外语3门，使用全国统一试卷，不分文理科；选择性考试中首选科目为物理或历史；再选科目为思想政治、地理、化学、生物学(从4门中选择2门)．某市一高中学校为科学设定学校设置组合的种类，在高一年级进行了一次预选科，结果显示全年级选物理的学生占，选物理后再选政治的占，选历史后再选政治的占，则(　　) A．若记“选政治”为事件A，则P(A)＝ B．若记“选政治”为事件A，“选物理”为事件B，则P＝ C．从全年级的学生中任选5人，记选政治的人数为随机变量X，则P(X＝2)＝ D．从全年级的学生中任选100人，记选政治的人数为随机变量X，则E(X)＝30 二、填空题 9．若X，Y是离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则有E＝aE(X)＋b，利用这个公式计算E＝__________. 10．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生．为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为__________． 11．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表： ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 记“函数f(x)＝x2－13x＋1在区间上单调递增”为事件A，则事件A的概率是________． 三、解答题 12．盒中有大小、颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过(称之为新球)，2个使用过(称之为旧球)．每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球． (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； (2)设两局比赛后盒中新球的个数为X，求X的分布列． 13．2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路(简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到95%，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟．新高速全线设置主线收费站两处(分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、消水和斋堂)．新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查(问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下： (假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择下表中的一个高速出口下高速). 项目 斋堂出口 清水出口 安家庄出口 雁翅出口 火村出口 西台子出口 上班 40 8 2 5 3 2 旅游 30 20 10 10 12 8 探亲 16 10 10 5 5 4 (1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率； (2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “ξ1＝1”表示此人从斋堂出口下高速，“ξ1＝0”表示此人不从斋堂出口下高速，从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “ξ2＝1”表示此人从斋堂出口下高速，“ξ2＝0”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 D(ξ1)，D(ξ2)的大小关系. (结论不要求证明) (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别为s和s. (1)求，，s，s； (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)． 答案 训练(十)　离散型随机变量及 其分布列、数字特征 【知识整合】 1．(2)概率分布列 2．1－p 3．(1)p1x1＋p2x2＋…＋pnxn　数学期望 (2)标准差　(3)①aE(X)＋b　②a2D(X) 【知能演练】 1．A　2.B　3.B　4.D　5.D　6.A 7．BCD　设“第i次答题者是甲”为事件Ai，“第i次答题者是乙”为事件Bi， 由第1题的顺序由抛掷硬币决定可得P＝P＝ ， 又P＝，P＝， 由全概率公式，得 P＝P＋P＝PP＋PP＝×＝，故A错误； 第2次回答问题结束后甲的得分是K2＝1，即两次回答中只有一次答对， 所以P＝P＝×＝，故B正确； 由题意知P＝Pi，P＝1－Pi， P＝P＋P ＝PP＋PP， 所以Pi＋1＝Pi·＋·＝Pi＋，故C正确； 第i次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i次答题后甲的得分加上1分，则第i次必由甲答题且得1分； ②第i次答题后甲的得分加上0分，则第i次由甲答题且不得分或第i次由乙答题， 所以E＝Pi＋Ki－1＝Pi＋Ki－1，其中i≥2，故D正确． 8．AD　记“选政治”为事件A，“选物理”为事件B，则“选历史”为事件， 由题意可知：P＝，P＝，P＝，P＝，故B错误； 对于A：由全概率公式可知：P＝PP＋PP＝，故A正确； 对于C：若从全年级的学生中任选5人， 可知X～B， 所以P＝C23＝，故C错误； 对于D：若从全年级的学生中任选100人， 可知X～B， 所以E(X)＝100×＝30，故D正确．故选AD. 9．解析　由题意E＝E(X)－E(X)＝0. 答案　0 10．解析　设B组出男生为事件C1，B组出女生为事件C2， A组出男生为事件D1，A组出女生为事件D2， 根据已知条件有：P＝＝，P＝＝， P＝＝，P＝＝； 两组各自出哪个人相互独立，设交换后A组中男生的人数为X， 则X的可能取值为1,2,3； P＝PP＝×＝， P＝PP＋PP＝×＋×＝， P＝PP＝×＝； 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案　 11．解析　因为函数f(x)＝x2－13x＋1在区间上单调递增，所以ξ≥＝6.5， 结合ξ的分布列，可得P＝P＋P＋P＋P＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 答案　0.88 12．解析　(1)因为一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球． 因为一共有6个球，则总情况数为C＝15，取到一个新球，一个旧球的情况数为CC＝8， 则相应概率为 ； (2)设第一局取到两个旧球为事件B1，取到新旧两个球为C1，取到两个新球为A1， 第二局取到两个旧球为事件B2，取到新旧两个球为C2，取到两个新球为A2， 则两局比赛后新球的个数可能为0,1,2,3,4. P＝P＝PP＝·＝×＝； P＝P＋P ＝PP＋PP ＝·＋·＝×＋×＝； P＝P＋P＋P ＝PP＋PP＋PP ＝·＋·＋· ＝×＋×＋×＝； P＝P＋P ＝PP＋PP ＝·＋·＝×＋×＝； P＝P＝PP＝·＝×＝. 则分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 13.解析　(1)样本中被调查的居民人数为200， 其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10， 所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为＝. (2)从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为； 从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为， 由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3. P＝2×＝， P＝C×××＋2×＝， P＝C×××＋2×＝， P＝2×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)D(ξ1)＝D(ξ2)． 【真题体验】 解析　(1)各项所求值如下所示． ＝(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7)＝10.0， ＝(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5)＝10.3， s＝×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036， s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04. (2)由(1)中数据得－＝2＝2，2＝2. 显然－＞2.所以可认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 学科网（北京）股份有限公司 $$