训练(9) 条件概率与全概率公式-2024年高二数学暑假作业（江苏专版）

训练(九)　条件概率与全概率公式 1．条件概率的定义及性质 (1)定义：一般地，设A，B为两个事件，P(A)＞0，称为事件__________发生的条件下事件________发生的条件概率，记为P(B|A)． (2)性质 ①P(Ω|A)＝____________； ②P(∅|A)＝____________； ③若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝____________. 2．乘法公式及其推广 (1)乘法公式：对任意两个事件A与B，P(AB)＝____________，其中P(A)＞0. (2)乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝________________________________________________________________________. 其中____________表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，____________表示A1A2A3同时发生的概率． 3．全概率公式 若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i＝Ω，P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 一、选择题 1．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 2．某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是(　　) A. B. C. D. 3．在某电路上有M，N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M，N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是(　　) A. B. C. D. 4．某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为20 ℃和30 ℃的条件下进行培育．已知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为，选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为30 ℃的条件下培育出来的概率为.从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为30 ℃的条件下培育出来的概率为(　　) A. B. C. D. 5．质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫作“孪生素数”．在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”；事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—————”和阴爻“——　——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 7．(多选)某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是(　　) A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 8．(多选)关于随机事件A，B，C，下列说法正确的是(　　) A．若P(B|A)＝P(B|)，则A，B独立 B．若P＝PP，则P()＝P()P() C．若P＝P＋P，则P＝PP D．若事件B和C是两个互斥事件，则P＝P＋P 二、填空题 9．小张、小王两家计划假期去嘉定游玩，他们分别从“古猗园、秋霞圃、州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B表示“两家选择景点不同”，则概率P＝________. 10．已知A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(A|B)＝，P(B|A)＝，则＝__________. 11．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%,35%,20%，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为2%和5%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测乙车间的次品率为________． 三、解答题 12．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率． 13．某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是，三分球投篮命中的概率是，乙同学两分球投篮命中的概率是，三分球投篮命中的概率是. (1)求甲同学通过测试的概率； (2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率． 1．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2．(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________． 答案 训练(九)　条件概率与全概率公式 【知识整合】 1．(1)A　B　(2)①1　②0　③P(B1|A)＋P(B2|A) 2．(1)P(A)P(B|A)　(2)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A3|A1A2)　P(A1A2A3) 【知能演练】 1．C　2.C　3.A　4.B　5.C　6.C 7．ABD　对于选项A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为， 所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为××2＝，故选项A正确； 对选项B，第二次抽到党参的概率为＝，至少抽到一袋党参的概率为××2＋×＝＋＝， 所以所求概率为＝，故选项B正确； 对于选项C，因为不放回抽取，抽两次有A种取法，第二次抽到党参的取法为CC＋A，所以C选项的算法是错误的，故选项C错误； 对于选项D，至少取出一袋党参的概率为＝，取到一袋党参一袋黄芪的概率为＝，所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为＝，故选项D正确． 8．ABD　对于A，若P(B∣A)＝P(B∣)，则P＝PP＋PP ＝P(A)·＋[1－P(A)]·＝， ∴P＝PP，∴A，B独立，∴A选项正确． 对于B，若P＝PP，则A，B独立，，独立，∴P( )＝P()P()，∴B选项正确． 对于C，投掷一枚质地均匀的骰子，设出现偶数点为事件A，出现奇数点为事件B，事件A和B是两个对立事件， 则P＋P＝1，P(A)＝P(B)＝，P＝0， ∴P≠PP，∴C选项错误． 对于D，若事件B和C是两个互斥事件，由互斥事件的概率加法公式， 则P＝P＋P，∴D选项正确． 9．解析　根据题意，两家分别从“古猗园、秋霞圃、州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，有3×3＝9种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有9－2×2＝5种情况，故P＝， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有2×2＝4种情况，即P＝. 所以P＝＝. 答案　 10．解析　因为P＝，所以＝， 即P(B)＝2P(AB)， 同理，由P＝得P(A)＝3P(AB)， 因为P(B)＝P(B)＋P(AB)＝2P(AB)， 所以P(B)＝P(AB)， P(A)＝P(A)＋P(AB)＝3P(AB)， 所以P(A)＝2P(AB)， 所以＝＝3. 答案　3 11．3% 12．解析　(1)记 “甲跑第一棒”为事件A1，“甲跑第二棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B. 则P＝PP＋PP＋PP＋PP ＝0.3×0.6＋0.2×0.8＋0.2×0.7＋0.3×0.7＝0.69， 所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69. (2)P＝＝＝＝， 所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为. 13．解析　(1)设甲同学累计得分为X分， 则P(X＝4)＝××＝0.225， P(X＝5)＝×＋××＝0.075， 故甲同学通过测试的概率P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.225＋0.075＝0.3； (2)设乙同学累计得分为Y分， 则P(Y＝4)＝××＝0.128， P(Y＝5)＝×＋××＝0.128， 故乙同学通过测试的概率P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝0.128＋0.128＝0.256， 设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过测试”为事件B， 则P(AB)＝P(X＝5)·P(Y＝4)＝0.075×0.128＝0.009 6， P(B)＝[P(X＝4)＋P(X＝5)]·[P(Y＝4)＋P(Y＝5)] ＝0.3×0.256＝0.076 8， 故P＝＝＝， 即在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，甲得分比乙得分高的概率为. 【真题体验】 1．A　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A. 2．解析　设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n， 所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n； 乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n； 丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以， P＝0.4×0.25×0.5＝0.05； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B， 黑球总共有2n＋n＋3n＝6n个，白球共有9n个， 所以，P＝＝. 答案　0.05　 学科网（北京）股份有限公司 $$